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1、 1 通用版高考数学考前 3 个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题7解析几何第30练与抛物线有关的热点问题文 题型分析高考展望 抛物线是三种圆锥曲线之一，应用广泛，是高考的重点考查对象，抛物线方程、几何性质、直线与抛物线结合的问题都是高考热点考查形式有选择题、填空题也有解答题，小题难度一般为低中档层次，解答题难度为中档偏上 体验高考 1(2015四川)设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有 4 条，则r的取值范围是()A(1,3)B(1,4)C(2,3)D(2,4)答案 D 解析 设A(x1，y1)，B
2、(x2，y2)，M(x0，y0)，则 y214x1，y224x2，相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，当直线l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1x2，则有y1y22y1y2x1x22，即y0k2，由CMAB得，ky00 x051，y0k5x0,25x0，x03，即M必在直线x3 上，将x3 代入y24x，得y212，2 3y02 3，点M在圆上，(x05)2y20r2，r2y20412416，又y2044，4r216，2r4.故选 D.2(2015浙江)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在
3、抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()2 A.|BF|1|AF|1 B.|BF|21|AF|21 C.|BF|1|AF|1 D.|BF|21|AF|21 答案 A 解析 由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于|BC|AC|.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，|BC|AC|BM|AN|BF|1|AF|1.3(2016四川
4、)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y22px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()A.33 B.23 C.22 D1 答案 C 解析 如图，由题意可知Fp2，0，设P点坐标为y202p，y0，显然，当y00 时，kOM0 时，kOM0，要求kOM的最大值，不妨设y00.则OMOFFMOF13FPOF13(OPOF)13OP23OFy206pp3，y03，3 kOMy03y206pp32y0p2py022 222，当且仅当y202p2时等号成立 故选 C.4(2016课标全国乙)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D
5、，E两点已知|AB|4 2，|DE|2 5，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8 答案 B 解析 不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2 2)，Dp2，5，点A(x0,2 2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2 2)在圆x2y2r2上，x208r2，点Dp2，5 在圆x2y2r2上，p225r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为p4，故选 B.5(2015上海)抛物线y22px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为 1，则p_.答案 2 解析 根据抛物线的性质，我们知道当且仅当动点Q运动到原点的时
6、候，才与抛物线焦点的距离最小，所以有|PQ|minp21p2.高考必会题型 题型一 抛物线的定义及其应用 例 1 已知P为抛物线y26x上一点，点P到直线l：3x4y260 的距离为d1.(1)求d1的最小值，并求此时点P的坐标；(2)若点P到抛物线的准线的距离为d2，求d1d2的最小值 4 解(1)设P(y206，y0)，则d1|12y204y026|5 110|(y04)236|，当y04 时，(d1)min185，此时x0y20683，当P点坐标为(83，4)时，(d1)min185.(2)设抛物线的焦点为F，则F(32，0)，且d2|PF|，d1d2d1|PF|，它的最小值为点F到直线
7、l的距离|9226|56110，(d1d2)min6110.点评 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 变式训练 1(1)(2016浙江)若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为 10，则点M到y轴的距离是_(2)已知点P在抛物线y24x上，那么点P到Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A(14，1)B(14，1)C(1,2)D(1，2)答案(1)9(2)B 解析(1)抛物线y24x的焦点F(1,0)
8、准线为x1，由M到焦点的距离为 10，可知M到准线x1 的距离也为 10，故M的横坐标满足xM110，解得xM9，所以点M到y轴的距离为 9.(2)抛物线y24x焦点为F(1,0)，准线为x1，作PQ垂直于准线，垂足为M，根据抛物线定义，|PQ|PF|PQ|PM|，5 根据三角形两边之和大于第三边，直角三角形斜边大于直角边知：|PQ|PM|的最小值是点Q到抛物线准线x1 的距离 所以点P纵坐标为1，则横坐标为14，即(14，1)题型二 抛物线的标准方程及几何性质 例 2(2015福建)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程
9、；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切 方法一(1)解 由抛物线的定义得|AF|2p2.因为|AF|3，即 2p23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明 因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2 2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2 2)由A(2,2 2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2 2(x1)由 y2 2x1，y24x，得 2x25x20，解得x2 或x12，从而B12，2.又G(1,0)，所以kGA2 20212 23，kGB 201212 23.所以kGAkGB0，从而AGFBG
10、F，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切 方法二(1)解 同方法一 6(2)证明 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2 2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2 2)由A(2,2 2)，F(1,0)可得直线AF的方程为 y2 2(x1)由 y2 2x1，y24x，得 2x25x20.解得x2 或x12，从而B12，2.又G(1,0)，故直线GA的方程为 2 2x3y2 20.从而r|222 2|894 217.又直线GB的方程为 2 2x3y2 20.所以点F到直线GB的距离 d|2 2
11、2 2|894 217r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切 点评(1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 变式训练 2 已知抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于y轴对称且经过点M(2,1)(1)求抛物线C的方程；(2)若一个等边三角形的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求该等边三角形的面积；(3)过点M作抛物线C的两
12、条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1k22 时，试证明直线AB的斜率为定值，并求出该定值 解(1)设抛物线C的方程为x22py(p0)，由点M(2,1)在抛物线C上，得 42p，7 则p2，抛物线C的方程为x24y.(2)设该等边三角形OPQ的顶点P，Q在抛物线上，且P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，则x2P4yP，x2Q4yQ，由|OP|OQ|，得x2Py2Px2Qy2Q，即(yPyQ)(yPyQ4)0.又yP0，yQ0，则yPyQ，|xP|xQ|，即线段PQ关于y轴对称 POy30，yP 3xP，代入x2P4yP，得xP4 3，该等边三角形边长为 8 3，S
13、POQ48 3.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x214y1，x224y2，k1k2y11x12y21x22 14x211x1214x221x22 14(x12x22)2.x1x212，kABy2y1x2x114x2214x21x2x1 14(x1x2)3.题型三 直线和抛物线的位置关系 例 3 已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线 2xy20 交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为 3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的
14、直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由 解(1)抛物线C：x21my，它的焦点F(0，14m)8(2)|RF|yR14m，214m3，得m14.(3)存在，联立方程 ymx2，2xy20，消去y得mx22x20，依题意，有(2)24m(2)0m12.设A(x1，mx21)，B(x2，mx22)，则 x1x22m，x1x22m，(*)P是线段AB的中点，P(x1x22，mx21mx222)，即P(1m，yP)，Q(1m，1m)得QA(x11m，mx211m)，QB(x21m，mx221m)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QAQB0，即(x11m)(x21m)(
15、mx211m)(mx221m)0，结合(*)化简得4m26m40，即 2m23m20，m2 或m12，而 2(12，)，12(12，)存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解 变式训练3(201
16、5课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C：yx24与直线l：ykxa(a0)交于M，N两点，9(1)当k0 时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有OPMOPN？说明理由 解(1)由题设可得M(2a，a)，N(2a，a)，或M(2a，a)，N(2a，a)又yx2，故yx24在x2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x2a)，即axya0.yx24在x2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为yaa(x2a)，即axya0.故所求切线方程为axya0 和axya0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意
17、的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将ykxa代入C的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.从而k1k2y1bx1y2bx2 2kx1x2abx1x2x1x2kaba.当ba时，有k1k20，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点P(0，a)符合题意 高考题型精练 1如图所示，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为()Ay29x By26x Cy23x Dy2 3x 10 答案 C 解析 如图，分别过点A，B作准线
18、的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30.在直角三角形ACE中，|AF|3，|AE|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得a1，BDFG，1p23，求得p32，因此抛物线方程为y23x，故选 C.2已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为 3，则|OM|等于()A2 2 B2 3 C4 D2 5 答案 B 解析 设抛物线方程为y22px，则点M(2，2p)焦点p2，0，点M到该抛物线焦点的距离为 3，2p224p9，解得p2(负值舍去)，故M(2，2 2)|OM|482 3.3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|54x0，则x0等于()A1 B2 C4 D8 答案 A 解析 由题意知抛物线的准线为x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得x014|AF|54x0，解得x01.4已知抛物线C：y28x的焦点为F，点M(2,2)，过点F且斜率为k的直线与C交于A，