考点46直线的倾斜角与斜率、直线的方程(解析版)43399.pdf

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1、 考点 46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 1（辽宁省葫芦岛市普通高中 2019 届高三第二次模拟考试数学理）当点(3,2)P到直线120mxym 的距离最大时，m 的值为（）A3 B0 C1 D1【答案】C【解析】直线120mxym 可化为21ym x，故直线过定点2,1Q，当PQ和直线垂直时，距离取得最大值，故2 111,132PQm kmmm ，故选 C.2（山东省日照市 2019 届高三 1 月校际联考数学理）若直线102430 xayxy 与垂直，则二项式521axx的展开式中x的系数为()A2 B52 C2 D52【答案】B【解析】由直线10 xay 与2430 xy垂直，可得

2、1 240a ，求得12a，则二项式55221112axxxx的展开式的通项公式 510 31511?2rrrrrTCx，令1031r，求得3r，可得展开式中 x 的系数为 23515122C.故答案为 B 3（黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第二次模拟考试数学理）已知双曲线22221(0,0)xyabab的焦距为4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为（）A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】因为双曲线22221(0,0)xyabab的两条渐近线为byxa，因为两条渐近线互相垂直，所以21ba，得ab 因为双曲线焦距为4 2，所以2 2c 由222cab可知228a，所以2a

3、，所以实轴长为24a.故选 B 项.4（宁夏银川一中 2019 届高三第一次模拟考试数学理）双曲线C：22221(0,0)xyabab和直线153xy，若过C的左焦点和点(0,)b的直线与l平行，则双曲线C的离心率为 A54 B53 C43 D5【答案】A【解析】过C的左焦点和点0,b的直线可写为：:1xylcb，即0bxcybc l与l平行 11053cb 35bc 又222bca 222925cca 221625ac 255164cea 本题正确选项：A 5（吉林省长春市 2019 届高三质量监测二）设直线2yx的倾斜角为，则cos2的值为（）A55 B2 55 C35 D45【答案】C【

4、解析】由题意可知，tan2，2223cos22cos11tan15 .故选 C.6（安徽省黄山市普通高中 2019 届高三 11 月“八校联考”数学理）已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数 的取值范围是 ()A B C D【答案】C 【解析】的几何意义，表示点与点连线斜率，实数在区间内，故和在内，不等式恒成立，函数图象上在区间内任意两点连线的斜率大于 1,故函数的导数大于 1 在内恒成立，在内恒成立，由函数的定义域知，所以在内恒成立，由于二次函数在上是单调递增函数，故时，在上取最大值为，故选 C.7（河南省信阳高级中学 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)数学理

5、）已知点 是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（）A至少存在两个点 使得 B对于任意点 都有 C对于任意点 都有 D存在点 使得【答案】C【解析】设点 的坐标为，则 对于 D，当时，一方面，另一方面容易证成立，所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此 D 不成立 对于 B，当时，所以，所以 B 不成立 对于 A，至少存在两个点 使得，也就是至少存在两解，即至少存在两解，恒成立，所以至多存在一解，所以 A 不成立 综合以上分析可得选项 C 正确 故选 C 8（2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理）过抛物线上两点分别作抛物线的切线,若两切线垂直且交

6、于点,则直线的方程为（）A B C D【答案】B【解析】由，得，设，则，抛物线在点 处的切线方程为，点 处的切线方程为，由解得，又两切线交于点，故得 过两点的切线垂直，故，故得抛物线的方程为 由题意得直线的斜率存在，可设直线方程为，由消去 y 整理得，由和可得且，直线的方程为 故选 B 9（江西省新余市第四中学 2018 届高三适应性考试数学理）已知 m 为实数，直线：，：，则“”是“”的（）A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 m=1 时，两直线方程分别为直线 l1：x+y1=0，l2：x+y2=0 满足 l1l2，即充分性成立，当 m=

7、0 时，两直线方程分别为 y1=0，和2x2=0，不满足条件 当 m0 时，则 l1l2，由得 m23m+2=0 得 m=1 或 m=2，由得 m2，则 m=1，即“m=1”是“l1l2”的充要条件，故答案为：A 10（湖北省宜昌市一中 2018 届高三考前适应性训练 2 数学理）若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（）A B C D 【答案】B【解析】画出表示的可行域，如图，由可得，即，将形为，表示可行域内的点与连线的斜率，由图知最小，最大 最大值为，故答案为.故选 B.11（河南安阳 2018 届高三第二次模拟考试理）已知圆：与圆：的公共弦所在直线恒过定点，且点 在直线上，则的取值范围

8、是（）A B C D【答案】D【解析】与,相减得公共弦所在直线方程：，即，所以由得，即，因此，选 D.12（北京市大兴区 2019 届高三 4 月一模数学理）设不等式组22(1)xyyk x所表示的平面区域为D，其 面积为S.若4S，则k的值唯一；若12S，则k的值有 2 个；若D为三角形，则203k；若D为五边形，则4k 以上命题中，真命题的个数是()A1 B2 C3 D4【答案】C【解析】由题得不等式|x|+|y|2，表示的是如图所示的正方形区域，不等式 y+2k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线 y+2=k(x+1)的一侧（与 k 的正负有关），所以不等式组221xyyk

9、 x所表示的平面区域D就是它们的公共部分，（1）因为大正方形的面积为 8，若4S，面积为正方形面积的一半，且过原点 O 的任意直线均可把正方形的面积等分，故当 S=4 时，直线必过原点，所以 k=2,k 的值唯一，命题正确;（2）左边阴影三角形的面积为 1，故当 k 取适当的负值左倾可以使三角形的面积为12，k 取适当的正值，使得阴影部分的面积为12，故 S=12时，k 的值有两个，故该命题正确；（3）由（2）的讨论可知，当 k-2 时，左边也有一个三角形，所以当 D 为三角形时，k 的取值范围为2-203（，）（，故该命题错误；(4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）

10、向左旋转一点，D 就是五边形，此时 k2-2=40-1（）（）.故命题正确.故选：C 13（湖北省黄冈市 2019 届高三上学期元月调研理）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为 A B C或 D或【答案】D【解析】当直线过原点时，可得斜率为，故直线方程为，即 当直线不过原点时，设方程为，代入点可得，解得，方程为，故所求直线方程为：或，故选 D 14（黑龙江省齐齐哈尔市 2019 届高三第二次模拟考试数学理）若曲线()xxf xaee在点(0,(0)f处的切线与直线30 xy垂直，则函数()f x的最小值为_ 【答案】4【解析】xxf xaee，01fa xxfxaee，代入切点

11、横坐标0 x 得到切线斜率 01fa，切线与直线30 xy垂直 1113a 得4a，44xxf xee.当且仅当14xxee时，即ln2x 时，等号成立 故答案为4 15（四川省成都市 2016 级高中毕业班摸底测试数学理）已知，若直线与直线互相垂直，则的最大值是_【答案】.【解析】因为直线与直线互相垂直，所以，又，所以，当且仅当，即时，等号成立。所以的最大值为。16（安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学理）已知等差数列 na，若点*,nn anN在经过点4,8的定直线l上，则数列 na的前 7 项和7S _【答案】56【解析】因为等差数列 na中，点*,nn anN在经过点4,8

12、的定直线l上，48a，数列 na的前 7 项和717477562Saaa，故答案为 56 17（山东省烟台市 2019 届高三高考一模考试数学理）已知F为抛物线2:2(0)C ypx p的焦点，过F的动直线交抛物线C与,A B两点，当直线与x轴垂直时，|4AB|=.（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为 1 且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线,PA PM PB的斜率成等差数列，求点P的坐标.【答案】(1)24yx(2)(1,2)P【解析】解：（1）因为,02pF，在抛物线方程22ypx中，令2px，可得yp 于是当直线与x轴垂直时，24ABp，解得2p 所以抛物

13、线的方程为24yx（2）因为抛物线24yx的准线方程为1x，所以1,2M 设直线AB的方程为1yx，联立241yxyx消去x，得2440yy 设11,A x y，22,B x y，则124yy，124y y .若点00,P x y满足条件，则2PMPAPBkkk，即0010200102221yyyyyxxxxx，因为点P，A，B均在抛物线上，所以2004yx，2114yx，2224yx 代入化简可得00122200120122224yyyyyyyyyy y，将124yy，124y y 代入，解得02y 将02y 代入抛物线方程，可得01x 于是点1,2P为满足题意的点 18（广东省百校联考 2

14、019 届高三高考模拟数学理）已知 为椭圆的右焦点，点在 上，且轴 （1）求 的方程；（2）过 的直线 交 于两点，交直线于点判定直线的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（1）因为点在 上，且轴，所以,由，得，故椭圆 的方程为（2）由题意可知直线 的斜率存在，设直线 的的方程为，令，得的坐标为 由，得 设，则有 设直线的斜率分别为，从而 因为直线的方程为，所以，所以 把代入，得 又，所以，故直线的斜率成等差数列 19（广东省珠海市 2019 届高三 9 月摸底考试）已知椭圆，是其左右焦点，为其左右顶点，为其上下顶点，若，。（）求椭圆 的方程；（）过分别作

15、 轴的垂线，椭圆 的一条切线，与交于二点，求证：。【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)由题设知解得，椭圆 的方程为 (2)由题设知，与 的方程联立消 得 与 相切 的 得 与、联立得，又 ，即 同理可得 20（河南省信阳高级中学 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟二数学理）已知椭圆 的方程为，在椭圆上，椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，的面积是的面积的倍（1）求椭圆 的方程；（2）直线（）与椭圆 交于，连接，并延长交椭圆 于，连接，指出与之间的关系，并说明理由【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）由的面积是的面积的倍，可得，即，又，所以，由在椭圆上，可得，所以，可得，所以

16、椭圆 的方程为 （2）设，则，故直线的方程为，由消去 整理得，又，代入上式化简得，设，则，所以，又直线的方程为，同理可得，所以，所以 21（黑龙江省齐齐哈尔市 2018 届高三第二次模拟数学理）设抛物线的顶点为坐标原点,焦点 在 轴的正半轴上,点 是抛物线上的一点，以 为圆心,2 为半径的圆与 轴相切,切点为.(I)求抛物线的标准方程:()设直线 在 轴上的截距为 6,且与抛物线交于,两点,连接并延长交抛物线的准线于点,当直线恰与抛物线相切时,求直线 的方程.【答案】（）.()直线 的方程为或.【解析】试题分析：（）设抛物线方程为，由以 为圆心，2 为半径的圆与 轴相切，切点为，可得，故所求方

17、程为（）由题意设出直线 的方程为，并设，由导数的几何意义 可得抛物线在点处的切线方程为，令，可得根据三点共线得，整理得，然后结合根与系数的关系可解得，于是可得直线的方程 试题解析：（）设抛物线方程为，以 为圆心，2 为半径的圆与 轴相切，切点为，该抛物线的标准方程为.（）由题知直线 的斜率存在，设其方程为，由消取 整理得，显然，设，则.抛物线在点处的切线方程为，令，得，可得点，由三点共线得，即，整理得,解得，即，所求直线 的方程为或.22（广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学理）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点 为极点，轴正半轴为极轴，长度

18、单位相同，建立极坐标系，直线 的参数方程为（为参数，为 的倾斜角），曲线 的根坐标方程为，射线，与曲线 分别交于不同于极点的三点.（1）求证：；（2）当时，直线 过,两点，求与 的值.【答案】（1）见解析;（2），.【解析】（1）证明：依题意，则.（2）当时，点的极坐标为，点的极坐标为 直线，.23（广东省珠海市 2018 届高三 3 月质量检测数学理）已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，与圆相切于点.（1）若直线 的斜率，求直线 和抛物线的方程；（2）设 为抛物线的焦点，设，的面积分别为，若，求 的取值范围.【答案】（1）：，：；（2）.【解析】（1）由题设知：，且，由 与相切知，到

19、 的距离，得，：.将 与的方程联立消 得，其得，：.综上，：，：.（2）不妨设，根据对称性，得到的结论与得到的结论相同.此时，又知，设，由消 得，其得，从而解得，由 与切于点 知到：的距离，得则，故.由得，故 .到：的距离为，又，.当且仅当即时取等号，与上同理可得，时亦是同上结论.综上，的取值范围是.24（广西桂林市、崇左市 2019 届高三下学期二模联考数学理）椭圆的离心率，过点和的直线与原点间的距离为.（1）求椭圆 的方程；（2）过点的直线 与椭圆交于、两点，且点 位于第一象限，当时，求直线 的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）据题知，直线的方程为.依题意得.解得，所以椭圆 的方

20、程为.（2）设，（，），设直线 的方程为.代入椭圆方程整理得：.，.由，依题意可得：，结合得，消去解得，（不合题意）.所以直线 的方程为.25（山东省聊城市 2019 届高三一模数学理）已知平行四边形OMAN的三个顶点MAN，都在椭圆221,2xCyO：为坐标原点 1（）当点A的坐标为21,2时，求直线MN的方程；2（）证明：平行四边形OMAN的面积为定值【答案】（1）21 0 xy；（2）62.【解析】1（）点A的坐标为21,2，OA的中点坐标为12,24，四边形OMAN为平行四边形，MN的中点坐标为12,24，设1122M xyN xy（，），（，），1212212xxyy，2211222

21、212,12xyxy两式相减可得12121212102xxxxyyyy（）（），即121212022xxyy（），121222MNyykxx，直线MN的方程为221422yx，即21 0 xy，证明2（）：设直线MN的方程为：ykxm与椭圆C相交于MN、两点，设1122M xyN xy（，），（，），将其代入221112xy得222214210kxkmxm（），2222168 2110k mkm 即2221km，又1224,21kmxxk 21222121mxxk，12122yyk xxm（）2421kmk 2m2221mk，四边形OMPAN为平行四边形 12122242,21 21kmmOA

22、OMONxxyykk，点A坐标为2242,21 21kmmkk 点A在椭圆C上，2222228412121k mmkk，整理得22421mk 2212121?4MNkxxx x 22222 2?211?21kmkk 22222 2?361?1?42mkkmm 点O到直线MN的距离为21mdk，12?2OMANSMN d 22661?221mkmk 26（新疆 2019 届高三第一次毕业诊断及模拟测试理）已知椭圆22221(0)xyabab过点0,1，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q、P，与椭圆分别交于点 M、N，各点均不重合且满足1

23、2,PMMQ PNNQ 1求椭圆的标准方程；2若123，试证明：直线 l 过定点并求此定点【答案】（1）2213xy；（2）见解析【解析】解：1椭圆22221(0)xyabab过点0,1，1b，设焦距为 2c，长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，222(2)(2)2(2)abc，又222abc 解得23.a 椭圆的方程为221.3xy 2由题意设0,Pm，0,0Q x，11,M x y，22,N xy，设 l 方程为xt ym，由1PMMQ，知111011,x ymxxy 111ymy，由题意10，111my，同理由2PNNQ知，221my，123，12120*y ym yy，联立2233xyxt ym，得222223230tymt yt m，需 2 422244330*m ttt m 且有22212122223,*33mtt myyy ytt，*代入*得222320t mmmt，2()1mt，直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点 Q、P，由题意0mt，1(mt 满足*)，得l方程为1xty，过定点1,0，即1,0为定点.