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1、 1 2013 中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)例 1已知ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2(2k 3)xk 2 3k 2 0 的两个实数根，第三边长为5 （1）当k为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形；（2）当k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长 解析：（1）AB、AC方程x 2(2k3)xk 23k20 的两个实数根 ABAC2k3，ABACk 23k2 ABC是 以BC为斜边的直角三角形，且BC5 AB 2AC 2BC 2，(ABAC)2ABAC25 即(2k3)22(k 23k2)25 k 23k100，k15，k,22 当k5 时，方程为
2、x 27x120，解得x13，x24（均不合题意，舍去）当k2 时，方程为x 27x120，解得x13，x24 当k2 时，ABC是以BC为斜边的直角三角形（2）若ABC是等腰三角形，则有ABAC；ABBC；ACBC三种情况(2k3)24(k 23k2)1 0 ABAC，故第种情况不成立 当ABBC或ACBC时，5 是方程x 2(2k3)xk 23k20 的根 5 25(2k3)k 23k20 即k 27k120，解得k13，k24 当k3 时，方程为x 29x200，解得x14，x25 此时ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14 当k4 时，方程为x 211x300，解得x15，x26
3、此时ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16 例 2 已知ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2 2(ab)xc 2 2ab0 有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程(m 5)x 2(2m 5)xm 8 0 的两个实数根（1）求m的值；（2）若ABC的外接圆面积为25，求ABC的内接正方形的边长 解析：（1）关于x的方程x 22(ab)xc 22ab0 有两个相等的实数根 4(ab)24(c 22ab)0，即a 2b 2c 2 ABC是直角三角形 sinA、sinB是关于x的方程(m5)x 2(2m5)xm80 的两个实数根 sinAsinB 2m5 m5 ，sinA
4、sinB m8 m5 在RtABC中，sin2Asin2Bsin2Acos2A1 2 (sinAsinB)22sinAsinB1 即(2m5 m5 )22 m8 m5 1 m 224m800，解得m14，m220 当m4 时，方程为9x 23x40，解得x1 3 153 18 ，x2 3 153 18 0 在RtABC中，sinA 0，sinB 0 m4 不合题意，舍去 当m20 时，方程为25x 235x120，解得x1 3 5 ，x2 4 5 ，符合题意 m20（2）ABC的外接圆面积为25 外接圆半径为5，c10 由（1）知，sinA 3 5 或 sinA 4 5 ABC的两条直角边长分
5、别为6，8 设ABC的内接正方形的边长为t 若正方形的两边在ABC的两直角边上，则 8t 8 t 6 解得t 24 7 若正方形的一条边在ABC的斜边上，易得斜边上的高为 24 5 ，则 t 10 24 5 t 24 5 解得t 120 37 例 3 已知关于x的方程x 2(mn 1)xm 0（n 0）的两个实数根为、，且 （1）试用含有、的代数式表示m和n；（2）求证：1 ；（3）若点P（，）在ABC的三条边上运动，且ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1 2 ，1），C（1，1），问是否存在点P，使mn 5 4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 解析：（1）解：、为方程x
6、2(mn1)xm0（n 0）的两个实数根(mn1)24m(mn1)24n 0，且 mn1，m m ，nm1 1 2 分 A B C t t A B C t t t 3（2）证明：(1)(1)1()n 0（n 0），又 1 4 分 （3）解：要使mn 5 4 成立，只需 mn1 9 4 当点P（，）在BC边上运动时 由B（1 2 ，1），C（1，1），得 1 2 1，1 而 9 4 9 4 1 5 4 1 在BC边上不存在满足条件的点 6 分 当点P（，）在AC边上运动时 由A（1，2），C（1，1），得 1，1 2 此时 9 4 9 4 1 5 4 ，又1 5 4 2 在AC边上存在满足条件的点，其坐标为（1，5 4）8 分 当点P（，）在AB边上运动时 由A（1，2），B（1 2 ，1），得 1 2 1，1 2 由对应线段成比例得 1 1 1 2 2 21，2 由 9 4 2 解得 3 4 ，3 2 又1 2 3 4 1，1 3 2 2 在AB边上存在满足条件的点，其坐标为（3 4 ，3 2）综上所述，当点点P（，）在ABC的三条边上运动时，存在点（1，5 4）和点（3 4 ，3 2），使mn 5 4 成立 10 分