《专题11.4随机事件的概率(讲)(解析版)43255.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题11.4随机事件的概率(讲)(解析版)43255.pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 11.4 随机事件的概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.知识点一 概率与频率(1)频率：在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)nAn为事件 A 出现的频率.(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A).知识点二 事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件 A 发
2、生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系 若 BA 且 AB AB 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)AB(或 AB)互斥事件 若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥 AB 对立事件 若 AB 为不可能事件，AB 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件 AB P(AB)1 知识
3、点三 概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0.(4)互斥事件概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B).若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1P(B).【知识必备】1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件 A 的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集.2.概率加法公式的推广 当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广
4、，即 P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An).考点一 随机事件的关系【典例 1】（北京 101 中学 2019 届模拟）(1)把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件 B.是不可能事件 C.是互斥但不对立事件 D.不是互斥事件(2)设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】(1)C(2)A【解析】(1)显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，
5、因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.(2)若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)P(B)1；投掷一枚硬币 3 次，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不一定是对立事件，如：事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“出现 3 次正面”，则 P(A)78，P(B)18，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件.【方法技巧】1.准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.2.
6、判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有 且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.【变式 1】（湖南衡阳八中 2019 届模拟）从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.B.C.D.【答案】C【解析】从 1，2，3，4，5 这五个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，两个奇数，两个偶数.其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与
7、两个都是偶数构成对立事件.又中的事件可以同时发生，不是对立事件.考点二 随机事件的频率与概率【典例 2】(2017全国卷)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15)15，20)20，25
8、)25，30)30，35)35，40 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.【解析】(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表中数据可知，最高气温低于 25 的频率为21636900.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450
9、瓶时，若最高气温低于 20，则 Y2006(450200)24504100；若最高气温位于区间20，25)，则 Y3006(450300)24504300；若最高气温不低于 25，则 Y450(64)900，所以，利润 Y 的所有可能值为100，300，900.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为362574900.8.因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.【方法技巧】1.概率与频率的关系 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计
10、值.2.随机事件概率的求法 利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.【变式 2】（河北正定中学 2019 届模拟）如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100位从 A 地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)1020 2030 3040 4050 5060 选择 L1的人数 6 12 18 12 12 选择 L2的人数 0 4 16 16 4(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有 40
11、 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.【解析】(1)由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 121216444(人)，用频率估计相应的概率为 p441000.44.(2)选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟)1020 2030 3040 4050 5060 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1(3)设 A1，A2分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站；B
12、1，B2分别表示乙选择 L1和L2时，在 50 分钟内赶到火车站.由(2)知 P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)00.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择 L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)00.10.40.40.9，P(B1)P(B2)，乙应选择 L2.考点三 互斥事件与对立事件的概率【典例 3】（山西康杰中学 2019 届模拟）经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数 0 1 2 3 4 5 人及 5 人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多 2 人排队等候的概率；(2)(一
13、题多解)至少 3 人排队等候的概率.【解析】记“无人排队等候”为事件 A，“1 人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4 人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件 F，则事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥.(1)记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一 记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二 记“至少 3 人排队等候”为事件
14、 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44.【方法技巧】1.求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.2.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1P(A)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.【变式 3】（辽宁东北育才中学 2019 届模拟）一盒中装有 12 个球，其中 5 个红球，4 个黑球，2 个白球，1 个绿球.从中随机取出 1 球，求：(1)取出 1 球是红球或黑球的概率；(2)取出 1
15、 球是红球或黑球或白球的概率.【解析】法一(利用互斥事件求概率)记事件 A1任取 1 球为红球，A2任取 1 球为黑球，A3任取 1 球为白球，A4任取 1 球为绿球，则 P(A1)512，P(A2)41213，P(A3)21216，P(A4)112，根据题意知，事件 A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得(1)取出 1 球是红球或黑球的概率为 P(A1A2)P(A1)P(A2)51241234.(2)取出 1 球是红球或黑球或白球的概率为 P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)5124122121112.法二(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出 1 球为红球或黑球的对立事件为取出 1 球为白球或绿球，即 A1A2的对立事件为 A3A4，所以取出 1 球为红球或黑球的概率为 P(A1A2)1P(A3A4)1P(A3)P(A4)121211234.(2)因为 A1A2A3的对立事件为 A4，所以 P(A1A2A3)1P(A4)11121112.