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1、1类型一 新定义型例 1、对任意一个三位数 n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)例如 n 123，对调百位与十位上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为 213321132666，6661116，所以 F(123)6（1）计算：F(243)，F(617);（2）若 s，t 都是“相异数”，其中 s 100 x 32，t 150y(1x 9，1y 9，x，y 都是
2、正整数），规定：k F(s)F(t),当 F(s)F(t)18 时，求 k 的最大值【解答】解：(1)F(243)(423342234)1119；F(617)(167716671)11114（2）s，t 都是“相异数”，s 100 x 32，t 150y，F(s)(30210 x 230 x 100 x 23)111x 5，F(t)(510y 100y 5110510y)111y 6F(t)F(s)18，x 5y 6x y 1118，x y 71x 9，1y 9，且 x，y 都是正整数，x 1y 6或x 2y 5或x 3y 4或x 4y 3或x 5y 2或x 6y 1s 是“相异数”，x 2，
3、x 3t 是“相异数”，y 1，y 5x 1y 6或x 4y 3或x 5y 2，F(s)6F(t)12或F(s)9F(t)9或F(s)10F(t)8，k F(s)F(t)12或 k F(s)F(t)1 或 k F(s)F(t)54,k 的最大值为542例 2、如图 1，在正方形 ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形 EFGH是正方形类比探究如图 2，在正ABC的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF 两两相交于 D，E，F三点(D，E，F三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证
4、明（2）DEF是否为正三角形？请说明理由（3）进一步探究发现，ABD 的三边存在一定的等量关系，设 BD a，AD b，AB c，请探索 a，b，c 满足的等量关系【解答】解：(1)ABDBCECAF;理由如下：ABC是正三角形，CABABCBCA60，AB BC，ABDABC2，BCEACB3，23，ABDBCE，在ABD 和BCE中，12AB BCABDBCE，ABDBCE(ASA);(2)DEF是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD，DEF 是正三角形；（3）作 AG BD 于 G，如图所示：DEF 是正三角形，3ADG60，在 RtADG 中，
5、DG 12b,AG 32b,在 RtABG 中,c2 a 12b232b2,c2a2abb2例 3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 y 1kx 与y kx(k 0）的图象性质小明根据学习函数的经验，对函数 y 1kx 与 y kx,当 k 0 时的图象性质进行了探究下面是小明的探究过程：（1）如图所示，设函数 y 1kx 与 y kx图象的交点为 A，B，已知 A点的坐标为(k，1)，则 B点的坐标为_；（2）若点 P为第一象限内双曲线上不同于点 B的任意一点设直线 PA 交 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N 求证：PM PN 证明过程如下：
6、设Pm,km,直线 PA 的解析式为 y axb(a 0）则kab 1ma b km，解得a b _直线 PA 的解析式为_请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明当 P点坐标为(1，k)(k 1）时，判断PAB的形状，并用 k 表示出PAB的面积【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点 A、B关于原点 O对称，4A点的坐标为(k，1)，B点的坐标为(k，1)故答案为：(k，1)（2）证明过程如下，设Pm,km,直线 PA 的解析式为 y axb(a 0）则kab 1ma b km，解得：a 1mb km1，直线 PA 的解析式为 y 1mx km1当 y 0 时，x m
7、k，M点的坐标为(m k，0)过点 P作 PH x 轴于 H，如图 1 所示，P点坐标为 m,km,H点的坐标为(m，0)，MH xHxMm(m k)k 同理可得：HN k MH HN，PM PN 故答案为：a 1mb km1；y 1mx km1由可知，在PMN 中，PM PN，PMN 为等腰三角形，且 MH HN k 当 P点坐标为(1，k)时，PH k，MH HN PH，PMHMPH45，PNHNPH45，MPN90，即APB90，PAB为直角三角形5当 k 1 时，如图 1，SPABSPMNSOBNSOAM,12MN PH 12ON yB12OM|yA|,122k k 12(k 1)11
8、2(k 1)1,k21;当 0k 1 时，如图 2，SPABSOBNSPMNSOAM,12ON yBk212OM|yA|,12(k 1)1k212(1k)1,1k2例 4、问题呈现：如图 1，点 E、F、G、H分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA上，AE DG，求证：2S四边形EFGHS矩形ABCD（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH BF，点 G在 CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 E、G作 BC边的平行线，再分别过点 F、H作 AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1,得到矩形A1B1C1D1如图 2，当 AH BF
9、时，若将点 G向点 C靠近(DG AE)，经过探索，发现：2 S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1如图 3，当 AH BF时，若将点 G向点 D靠近(DG AE)，请探索 S四边形EFGH、S矩形ABCD与 S矩形A1B1C1D1,之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图 4，点 E、F、G、H分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已知 AH BF，AE DG，S四边形EFGH11，HF 29,求 EG 的长（2）如图 5，在矩形 ABCD 中，AB3，AD 5，点 E、H分别在边 AB、AD上，BE 1，DH
10、 2，点 F、G分别是边 BC、CD 上的动点，且 FG 10,连接 EF、HG，请直接写出四边形 EFGH面积的最大值6【解答】问题呈现：证明：如图 1 中，四边形 ABCD是矩形，AB CD，A 90，AE DG，四边形 AEGD是矩形，SHGE12S四边形EFGH，同理SEGF12S矩形BEGC，S四边形EFGHSHGESEFG12S矩形ABCD实验探究：结论：2 S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D17理由：=12，=12，=12，=12，S四 边 形EFGH=+，2S四 边 形EFGH=2+2+2+22，2S四边形EFGH=S矩形ABCDS矩形A1B1C1D1迁移应用：
11、解：（1）如图 4 中，2S四边形EFGH=S矩形ABCDS矩形A1B1C1D1，S矩形A1B1C1D1=25211=3=A1B1A1D1，正方形的面积为 25，边长为 5，A1D12=HF252=2925=4，A1D1=2，A1B1=32，EG2=A1B12+52=1094，EG=1092（2）2 S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形A1B1C1D1四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形 EFGH的面积最大如图 51 中，当 G与 C重合时，四边形A1B1C1D1面积最大时，四边形 EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积1(102)102如图 52 中，当 G与 D重合时，四边形A
12、1B1C1D1面积最大时，四边形 EFGH的面积最大此时矩形A1B1C1D1面积212，2 102,四边形 EFGH的面积最大值172例 5、定义：点 P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点 P是ABC的自相似点例如：如图 1，点 P在ABC的内部，PBCA，BCPABC，则BCPABC，故点 P是ABC的自相似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：8在平面直角坐标系中，点 M是曲线 y 33x(x 0)上的任意一点，点 N是 x 轴正半轴上的任意一点（1）如图 2，点 P是 OM上一点，ONPM，试说明点 P是MON
13、 的自相似点；当点M的坐标是(3,3),点 N的坐标是(3,0)时，求点 P的坐标；（2）如图 3，当点 M的坐标是(3,3),点 N的坐标是(2，0)时，求MON 的自相似点的坐标；（3）是否存在点 M和点 N，使MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）ONPM，NOPMON，NOPMON，点 P是MON 的自相似点；过 P作 PD x 轴于 D，则 tanPODMNON 3,MON 60，当点 M的坐标是(3,3),点 N的坐标是(3,0),MNO 90，NOPMON，NPOMNO 90，在 RtOPN 中，OP ON cos6032,OD
14、 OP cos60321234,PD OP sin60323234,dbc5494c.pngP34,34;（2）作 MH x 轴于 H，如图 3 所示：9点 M的坐标是(3,3),点 N的坐标是(2，0)，OM 32(3)22 3,直线 OM的解析式为 y 33x,ON 2，MOH 30，分两种情况：如图 3 所示：P是MON 的相似点，PONNOM，作 PQ x 轴于 Q，PO PN，OQ 12ON 1，P的横坐标为 1，y 33133,eb10936e.pngP1,33;如图 4 所示：由勾股定理得：MN(3)2122，P是MON 的相似点，PNMNOM，PNONMNMO,即PN222 3,解得：PN 2 33,即 P的纵坐标为2 33,代入 y 33得：2 3333x,解得：x 2，P2,2 33;综上所述：MON 的自相似点的坐标为 1,33或 2,2 33;（3）存在点 M和点 N，使MON 无自相似点,M(3,3),N(2 3,0);理由如下：M(3,3),N(2 3,0),OM 2 3ON，MON 60，MON 是等边三角形，点 P在MON 的内部，PONOMN，PNOMON，存在点 M和点 N，使MON 无自相似点