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1、第十八章专题：矩形中的动点问题1.已知，矩形 ABCD 中，AB=4cm，BC=8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点E、F，垂足为 O（1）如图 1，连接 AF、CE求证：四边形 AFCE 为菱形（2）如图 1，求 AF 的长（3）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AFBA 停止，点 Q 自 CDEC 停止在运动过程中，点 P 的速度为每秒 1cm，设运动时间为 t 秒问在运动的过程中，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间 t 和点 Q 的速度；若不可能，请说明
2、理由若点 Q 的速度为每秒 0.8cm，当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求 t的值【解答】（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，ADBC，AEO=CFO，AC 的垂直平分线 EF，AO=OC，ACEF，在AEO 和CFO 中AEOCFO，AOECOF，AOOC，AEOCFO（AAS），OE=OF，OA=OC，四边形 AECF 是平行四边形，ACEF，平行四边形 AECF 是菱形；（2）解：设 AF=acm，四边形 AECF 是菱形，AF=CF=acm，BC=8cm，BF=（8-a）cm，在 RtABF 中，由勾股定理得：42+（8-a）2=a2，a=5，即 AF=5cm；
3、（3）解：在运动过程中，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，只有当 P 运动到 B 点，Q 运动到 D 点时，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，P 点运动的时间是：（5+3）1=8，Q 的速度是：48=0.5，即 Q 的速度是 0.5cm/s；分为三种情况：第一、P 在 AF 上，P 的速度是 1cm/s，而 Q 的速度是 0.8cm/s，Q 只能在 CD 上，此时当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；第二、当 P 在 BF 上时，Q 在 DE 上，如图，AQ=8-（0.8t-4），CP=5+（t-5），8-（0.8t-4）=5+（t-5），t
4、=，320第三情况：当 P 在 AB 上时，Q 在 DE 或 CE 上，此时当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；即 t=3202.如图，长方形 ABCD 中，AB=9，AD=4E 为 CD 边上一点，CE=6（1）求 AE 的长；（2）点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着边 BA 向终点 A 运动，连接PE设点 P 运动的时间为 t 秒当 t 为何值时，CP=AE；当 t 为何值时，PAE 是以 AE 为腰的等腰三角形【解答】（1）四边形 ABCD 是长方形，CD=AB=9，BC=AD=4，D=90，CE=6，DE=CD-CE=3，AE=5；（2）根据题意
5、得：BP=t，CP=，216tCP=AE，=5，解得：t=3；216t若 AP=AE=5，BP=AB-AP=9-5=4，t=4；若 PE=AE=5，则过点 E 作 EFAB 于点 F，则四边形 ADEF 是矩形，PF=AF=DE=3，AP=AF+PF=6，t=BP=AB-AP=3综上所述，当 t=3 或 t=4 时，PAE 是以 AE 为腰的等腰三角形 3.如图，在长方形 ABCD 中，AB=5cm，AD=3cm点 E 从点 A 出发，以每秒 2cm 的速度沿折线 ABC 方向运动，点 F 从点 C 出发，以每秒 1cm 的速度沿线段 CD 方向向点 D 运动已知动点 E、F 同时发，当点 E
6、 运动到点 C 时，E、F 停止运动，设运动时间为 t（1）当 E 运动到 B 点时，求出 t 的值；（2）在点 E、点 F 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得 EF=3cm？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）AB=5cm，2t=5，解得：t=2.5，即当 E 运动到 B 点时，t 的值是 2.5 秒；（2）当 0t2.5 时，如图 1，过 E 作 EMDC 于，则 EM=BC=3cm，由勾股定理得：（3t-5）+32=32，解得：t=；35当 2.5t4 时，如图 2，由勾股定理得：（8-2t）2+t2=32，此方程无解；即在点 E、点 F 的运动过程中，存在某一
7、时刻，使得 EF=3cm，此时 t 的值是秒 35 4.在四边形 ABCD 中，ADBC，BCCD，AD=6cm，BC=10cm，点 E 从 A 出发以 1cm/s 的速度向 D 运动，点 F 从点 B 出发，以 2cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为 t，（1）t 取何值时，四边形 EFCD 为矩形？（2）M 是 BC 上一点，且 BM=4，t 取何值时，以 A、M、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？【解答】（1）当 DE=CF 时，四边形 EFCD 为矩形，则有 6-t=10-2t，解得 t=4，（2）当点 F 在线段 BM 上，AE=FM
8、 时，以 A、M、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，则有 t=4-2t，解得 t=，34 当 F 在线段 CM 上，AE=FM 时，以 A、M、E、F 为顶点的四边形是平行四边形，则有 t=2t-4，解得 t=4，综上所述，t=4 或s 时，以 A、M、E、F 为顶点的四边形是平行四边形 345.如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，B=90，AB=8cm，AD=20cm，BC=24cm，P、Q 分别从 A、C 同时出发，向 D，B 运动当一个点到达端点时，停止运动，另一个点也停止运动（1）如果 P、Q 的速度分别为 1cm/s 和 3cm/s运动时间为 t 秒，则 t 为何值时，PQ=D
9、C并说明理由（2）如果 P 的速度为 1cm/s，其他条件不变，要使四边形 APQB 是矩形，且矩形的长宽之比为 2：1，求 Q 点运动的速度【解答】（1）如图 1 中，作 DHBC 于 H则四边形 ABHD 是矩形AD=BH=20，CH=BC-BH=4，当四边形 PQCD 是平行四边形时，PD=CQ，20-t=3t，解得 t=5当四边形 PQCD 是等腰梯形时，PQ=CD，易知 CQ-PD=2CH，3t-（20-t）=8，解得 t=7综上所述，t=5 或 7s 时，PQ=CD（2）设 Q 点运动的速度 xcm/s 时，四边形 APQB 是矩形，且矩形的长宽之比为 2：1，PA=BQ=4 或
10、PA=BQ=16，t=4 或 16，24-4x=4 或 24-16x=16，解得 x=5 或，21要使四边形 APQB 是矩形，且矩形的长宽之比为 2：1，Q 点运动的速度为 5cm/s 或cm/s216.如图长方形 OABC 的位置如图所示，点 B 的坐标为（8，4），点 P 从点 C 出发向点 O 移动，速度为每秒 1 个单位；点 Q 同时从点 O 出发向点 A 移动，速度为每秒 2 个单位，设运动时间为 t（0t4）（1）点 A 的坐标为 ，点 C 的坐标为 ，点 P 的坐标为 （用含 t 的代数式表示）（2）当 t 为何值时，P、Q 两点与原点距离相等？（3）在点 P、Q 移动过程中，
11、四边形 OPBQ 的面积是否变化？说明理由【解答】（1）由题意可知点 A 的坐标为（8，0），点 C 的坐标为 （0，4），点 P 的坐标为（0，4-t）（2）依题意可知：OP=4-t，OQ=2t，若 OP=OQ，则有：4-t=2t 解之得，t=34 当 t=时，点 P 和点 Q 到原点的距离相等34（3）四边形 OPBQ 的面积不变理由如下：S四边形 OPBQ=S矩形 OABC-SPCB-SABQ=32-8t-4（8-2t）=32-4t-16+4t=162121 四边形 OPBQ 的面积不变 7.如图，长方形 OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，A 点的坐标为（4，0），C 点的坐标为
12、（0，6），点 B 在第一象限内，点 P 从原点 O 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿着 O-A-B-C-O 的路线移动（即沿长方形移动一周）（1）写出 B 点的坐标；（2）当点 P 移动 3 秒时，求三角形 OAP 的面积；（3）在移动过程中，当点 P 到 x 轴距离为 4 个单位长度时，求点 P 移动的时间【解答】（1）根据长方形的性质，可得 AB 与 y 轴平行，BC 与 x 轴平行；故 B 的坐标为（4，6）；（2）A（4，0）、C（0，6），OA=4，OC=6 32=64，点 P 在线段 AB 上PA=2SOAP=OAPA=42=42121（3）OC=AB=64，点 P 在 AB 上或 OC 上 当点 P 在 AB 上时，PA=4，此时点 P 移动路程为 4+4=8，时间为8=421 当点 P 在 OC 上时，OP=4，此时点 P 移动路程为 2（4+6）-4=16，时间为16=821 点 P 移动的时间为 4 秒或 8 秒