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1、 海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷（文科）2016.4 本试卷共4 页，150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项 1已知集合A|23xzx，B|21xx，则ABI A2,1,0 B2,1,0,1 C|21xx D|21xx 2、已知向量(1,),(,9)at btrr，若abrrP，则t A1 B2 C3 D4 3某程序的框图如图所示，若输入的zi（其中i为虚数单位），则输出的S 值为 A1
2、B1 Ci Di 4若x，y 满足20400 xyxyy，则12zxy的最大值为 A52 B3 C72 D4 5某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为 A33 B32 C2 33 D2 63 6、已知点P00(,)xy在抛物线W：24yx上，且点P到W的准线的距离与点P到x轴的距离相等，则0 x的值为 A、12 B、1 C、32 D、2 7已知函数sin(),0()cos(),0 xa xf xxb x，则“4”是“函数()f x是偶函数“的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值
3、 如表所示若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是 A甲只能承担第四项工作 B乙不能承担第二项工作 C丙可以不承担第三项工作 D获得的效益值总和为78 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分 9函数22xy 的定义域为 10已知数列 na的前n项和为nS，且24nSnn，则21aa_ 11已知l 为双曲线C：22221xyab的一条渐近线，其倾斜角为4，且C 的右焦点为（2,0），点C的右顶点为，则C 的方程为_ 12在1331,2.log 22这三个数中，最小的数是_ 13已知函数()sin(2)f xx，若5()()21212ff，则函数
4、()f x的单调增区间为 14给定正整数k2，若从正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点中任取k个顶点，组成一个集合M12,kXXXg g g，均满足,ijstXXMXXM，使得直线ijstX XX X，则k的所有可能取值是 三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程 15（本小题满分13 分）在ABC 中，C23，6a （）若c14，求sinA的值；（）若ABC的面积为33，求c的值 16（本小题满分13 分）已知数列 na是等比数列，其前n项和为nS，满足210Sa，312a。（I）求数列 na的通项公式；（II）是否存在正整数n，使得nS2016？若存在，求
5、出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由。17（本小题满分14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N 分别为线段PB，PC 上的点，MNPB （）求证：平面PBC平面PAB；（）求证：当点M 不与点P，B 重合时，M N 平面ABCD；（）当AB3，PA4时，求点A到直线MN距离的最小值。18（本小题满分13 分）一所学校计划举办“国学”系列讲座。由于条件限制，按男、女生比例采取分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动，在活动前，对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图所示。（I）根据这10名同学的
6、测试成绩，分别估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（II）这10名同学中男生和女生的国学素养测试成绩的方差分别为21s，22s，试比较21s与22s的大小（只需直接写出结果）；（III）若从这10名同学中随机选取一男一女两名同学，求这两名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率。（注：成绩大于等于75分为优良）19（本小题满分14 分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，椭圆C 与y 轴交于A，B 两点，且AB2（）求椭圆C 的方程；（）设点P是椭圆C上的一个动点，且直线PA，PB与直线x4分别交于M，N 两点是否存在点P使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出
7、点P的横坐标；若不存在，说明理由。20（本小题满分13 分）已知函数f(x)1xxe（）求曲线y f(x)在点（0，f（0）处的切线方程；（）求函数f(x)的零点和极值；（）若对任意12,)x xa，都有1221()()ef xf x 成立，求实数a的最小值。海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案 数学（文科）2016.4 阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C A B A B 二、填空题（本大题
8、共 6 小题,每小题 5 分,有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分）说明：1.第 9 题,学生写成 1x 的不扣分 9 1,)10 2 11.22(2,0),122xy 1212 135,1212kkkZ 14 5 6 7 8，2.第 13 题写成开区间 5(,),1212kkkZ的不扣分,没有写k Z的,扣 1 分 3.第 14 题有错写的，则不给分 只要写出 7 或 8 中之一的就给 1 分，两个都写出，没有其它错误的情况之下给 1 分 写出 5，6 中之一的给 2 分，两个都写出，且没有错误的情况之下给 4 分 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)15.解
9、：()方法一：在ABC中，因为sinsinacAC，.2分 即614sin32A .3分 所以3 3sin14A.5分 方法二：过点B作线段AC延长线的垂线，垂足为D 因为23BCA，所以3BCD .1 分 在Rt BDC中，33 32BDBC .3 分 在Rt ABD中，3 3sin14BDAAB .5 分（）方法一：因为1sin2ABCSa bC .7分 所以133 3622b，解得2b.9分 又因为2222coscaba bC.11分 所以21436226()2c ,所以522 13c.13 分 14623DCBA 方法二：过点A作线段BC延长线的垂线，垂足为D 因为23ACB,所以3A
10、CD.又因为12ABCSBC AD,.7分 即13 362AD ,所以3 ,1ADCD.9分 在Rt ABD中，222ABBDAD.11分 所以522 13AB.13 分 16.解：()设数列 na的公比为q，因为210Sa，所以1120aa q.1 分 因为10,a 所以2,q .2 分 又因为23112aa q，.3 分 所以13a,.4分 所以13(2)nna （或写成3(2)2nna ）.7分 说明：这里的 公式都单独有分，即如果结果是错的，但是通项公式或者下面的前 n 项和公式正确写出的，都给 2 分 ()因为31(2)1(2)1(2)nnnS .10分 令2016nS,即1(2)2
11、016n，整理得(2)2015n.11分 当n为偶数时，原不等式无解；当n为奇数时，原不等式等价于22015n，解得11n，所以满足2016nS 的正整数n的最小值为 11.13分 17 解：（）证明：在正方形ABCD中，ABBC.1 分 因为PA 平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PABC.2 分 又ABPAAI，,AB PA 平面PAB，.3 分 所以BC 平面PAB.413ABCD236 分 因为BC 平面PBC,所以平面PBC 平面PAB.5分 （）证明：由（）知,BC 平面PAB，PB 平面PAB，所以BCPB.6 分 在PBC中，BCPB，MNPB，所以/MNBC，.7 分 又
12、BC 平面ABCD，MN 平面ABCD，.9分 所以MN/平面ABCD.10分 （）解：因为/MNBC,所以MN 平面PAB，.11分 而AM 平面PAB，所以MN AM，.12分 所以AM的长就是点A到MN的距离，.13 分 而点M在线段PB上 所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在Rt PAB中，3,4,ABPA所以A到直线MN的最小值为125.14分 18.解:（）设这 10 名同学中男女生的平均成绩分别为12,x x.则16476777873.754x .2 分 2567976708887766x .4分 （）女生国学素养测试成绩的方差大于男生国学素养成绩的方差.7 分
13、 （）设“两名同学的成绩均为优良”为事件A，.8 分 男生按成绩由低到高依次编号为1234,a a a a，女生按成绩由低到高依次编号为123456,b b b b b b，则从 10 名学生中随机选取一男一女两名同学共有 24 种取法 .10 分 11(,)a b，12(,)a b，13(,)a b，14(,)a b，15(,)a b，16(,)a b，21(,)a b，22(,)a b，23(,)a b，24(,)a b，25(,)a b，26(,)a b，31(,)a b，32(,)a b，33(,)a b，34(,)a b，35(,)a b，36(,)a b，41(,)a b，42(,
14、)a b，43(,)a b，44(,)a b，45(,)a b，46(,)a b，其中两名同学均为优良的取法有 12 种取法 .12 分 23(,)a b，24(,)a b，25(,)a b，26(,)a b，33(,)a b，34(,)a b，35(,)a b，36(,)a b，42(,)a b，43(,)a b，44(,)a b，45(,)a b，46(,)a b 所以121()242P A，即两名同学成绩均为优良的概率为12.13分 19.解：（）由已知2AB，得知22b，1b,.1分 又因为离心率为32，所以32ca.2分 因为222abc，所以2,a,.4分 所以椭圆C的标准方程为2
15、214xy.5分 （）解法一：假设存在.设00(,)(4,)(4,)P xyMmNn 由已知可得(0,1)(0,1)AB，所以AP的直线方程为0011yyxx，.6分 BP的直线方程为0011yyxx，令4x，分别可得004(1)1ymx，004(1)1ynx，.8 分 所以082MNmnx，.9 分 线段 MN的中点004(4,)yx，.10分 若以MN为直径的圆经过点(2,0)，则22200044(42)(0)(1)yxx,.11分 因为点P在椭圆上，所以220014xy，代入化简得0810 x，.13分 所以08x，而02 2x ，矛盾，所以这样的点P不存在.14 分 解法二：假设存在，
16、记(2 0)D，.设00(,)(4,)(4,)P xyMmNn 由已知可得(0,1)(0,1)AB，所以AP的直线方程为0011yyxx，.6 分 BP的直线方程为0011yyxx，令4x，分别可得004(1)1ymx，004(1)1ynx，.8 分 所以 004(1)(4,1),yMx004(1)(41)yNx，因为MN为直径，所以0DM DMuuuu r uuuu r .9分 所以 DM DNuuuu r uuur00004(1)4(1)(2,1)(2,1)0yyxx 所以 22002016(4)40yxDM DNxuuuu r uuur .11分 因为点P在椭圆上，所以220014xy，
17、.12 分 代入得到22200000220048840 xxxxxDM DNxxuuuu r uuur .13分 所以 08x，这与 02,2x 矛盾 .14 分 所以不存在 法三：假设存在，记(2 0)D，,(4 0)H，设00(,)(4,)(4,)P xyMmNn 由已知可得(0,1)(0,1)AB，所以AP的直线方程为0011yyxx，.6 分 BP的直线方程为0011yyxx，令4x，分别可得004(1)1ymx，004(1)1ynx，.8 分 所以 004(1)(4,1),yMx004(1)(41)yNx，因为DHMN,所以2DHHN HM .9 分 所以 4 00004(1)4(1
18、)|1|1|yyxx 所以2200020161684=|yxxx .11 分 因为点P在椭圆上，所以220014xy，.12 分 代入得到00854|xx,解得08x 或089x .13分 当08x 时，这与 02,2x 矛盾 当089x 时，点,M N在x轴同侧，矛盾 所以不存在 .14分 20.解：（）因为2()exxfx，.1分 所以(0)2f.2分 因为(0)1f，所以曲线()f x在(0,(0)f处的切线方程为210 xy.4 分（）令1()0exxf x，解得1x，所以()f x的零点为1x.5分 由2()0exxfx解得2x，则()f x及()f x的情况如下：x(,2)2(2,
19、)()f x 0 ()f x 极小值21e Z .7 分 所以函数()f x在2x 时,取得极小值21e .8 分 （）法一：当1x 时，1()0exxf x.当1x 时，1()0exxf x.9 分 若1a，由（）可知()f x的最小值为(2)f，()f x的最大值为()f a，.10分 所以“对任意12,)x xa，有1221()()ef xf x 恒成立”等价于21(2)()eff a 即22111eaaee，.11分 解得1a.12分 所以a的最小值为 1.13分 法二：当1x 时，1()0exxf x.当1x 时，1()0exxf x.9 分 且由（）可知，()f x的最小值为21(
20、2)ef，.10分 若1a，令122,1)xxa，则12,)x xa 而121121()()()0()(2)ef xf xf xf xf，不符合要求，所以1a.11 分 当1a 时，12,1,)x x,12()0,()0f xf x 所以12121()()()0(2)ef xf xf xf，即1a 满足要求，.12 分 综上，a的最小值为 1.13 分 法三：当1x 时，1()0exxf x.当1x 时，1()0exxf x.9 分 且由（）可知，()f x的最小值为21(2)ef，.10分 若2,)a，即2a 时，令12,x 则任取2,)xa,有12222211()()(2)()()eef xf xff xf x 所以2()0f x对2,)xa成立，所以必有21x 成立，所以,)1,)a ，即1a.11分 而当1a 时，12,1,)x x,12()0,()0f xf x 所以12121()()()0(2)ef xf xf xf，即1a 满足要求，.12分 而当2a 时，求出的a的值，显然大于 1，综上，a的最小值为 1.13分 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org