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1、高考真题分类汇编：函数与方程 一、选择题 1.【高考真题重庆理 7】已知)(xf是定义在 R 上的偶函数，且以 2 为周期，则“)(xf为 1,0上的增函数”是“()f x为4,3上的减函数”的（A）既不充分也不必要的条件 （B）充分而不必要的条件 （C）必要而不充分的条件 （D）充要条件 【答案】D【解析】因为)(xf为偶函数，所以当)(xf在 1,0上是增函数，则)(xf在0,1上则为减函数，又函数)(xf的周期是 4，所以在区间4,3也为减函数.若)(xf在区间4,3为减函数，根据函数的周期可知)(xf在0,1上则为减函数，又函数)(xf为偶函数，根据对称性可知，)(xf在 1,0上是增
2、函数，综上可知，“)(xf在 1,0上是增函数”是“)(xf为区间4,3上的减函数”成立的充要条件，选 D.2.【高考真题北京理 8】某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高。m 值为（）A.5 B.7 C.9 D.11 【答案】C【解析】由图可知 6,7,8,9 这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选 C。3.【高考真题安徽理 2】下列函数中，不满足：(2)2()fxf x的是（）()A()f xx ()B()f xxx ()C()f xx ()D()f xx 【答案】C【命题立意】本题考查函数的概念与解析式的判断。
3、【解析】()f xkx与()f xk x均满足：(2)2()fxf x得：,A B D满足条件 4.【高考真题天津理 4】函数22)(3xxfx在区间(0,1)内的零点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】B 【解析】因为函数22)(3xxfx的导数为032ln2)(2xxfx，所以函数22)(3xxfx单调递增，又0121)0(f，01212)1(f，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为 1 个，选 B.5.【高考真题全国卷理 9】已知 x=ln，y=log52，21 ez，则(A)xyz （B）zxy (C)zyx (D)yzx【答案】D【解析】1lnx
4、，215log12log25y，eez121，1121e，所以xzy，选 D.6.【高考真题新课标理 10】已知函数1()ln(1)f xxx；则()yf x的图像大致为（）【答案】B【解析】排除法，因为022ln1)2(f，排除 A.02ln12121ln1)21(ef，排除C,D，选 B.7.【高考真题陕西理 2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A.1yx B.2yx C.1yx D.|yx x【答案】D.【解析】根据奇偶性的定义和基本初等函数的性质易知 A 非奇非偶的增函数；B 是奇函数且是减函数；C 是奇函数且在)0,(，),0(上是减函数；D 中函数可化为0,0,22xxxx
5、y易知是奇函数且是增函数.故选 D.8.【高考真题重庆理10】设平面点集221(,)()()0,(,)(1)(1)1Ax yyx yBx yxyx，则AB所表示的平面图形的面积为（A）34 （B）35 （C）47 （D）2 【答案】D【解析】由0)1)(xyxy可知010 xyxy或者010 xyxy，在同一坐标系中做出平面区域如图：，由图象可知BA的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积为2，选 D.9.【高考真题山东理 3】设0a 且1a，则“函数()xf xa在R上是减函数”，是“函数3()(2)g xa x在R上是增函数”的（A）充分不必要条件 （B
6、）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数xaxf)(在 R 上为减函数，则有10 a。函数3)2()(xaxg为增函数，则有02a，所以2a，所以“函数xaxf)(在 R 上为减函数”是“函数3)2()(xaxg为增函数”的充分不必要条件，选 A.10.【高考真题四川理 3】函数29,3()3ln(2),3xxf xxxx在3x 处的极限是（）A、不存在 B、等于6 C、等于3 D、等于0 【答案】A.【解析】29,3()3ln(2),3xxf xxxx即为3,3()ln(2),3xxf xxx，故其在3x 处的极限不存在，选 A.11.【高考真
7、题四川理 5】函数1(0,1)xyaaaa的图象可能是（）【答案】D【解析】当1a 时单调递增，10a，故 A 不正确；因为1xyaa恒不过点(1,1)，所以 B 不正确；当01a时单调递减，10a，故 C 不正确；D 正确.12.【高考真题山东理 8】定义在R上的函数()f x满足(6)()f xf x.当31x 时，2()(2)f xx，当13x 时，()f xx。则(1)(2)(3)(2012)ffff（A）335 （B）338 （C）1678 （D）【答案】B【解 析】由)()6(xfxf，可 知 函 数 的 周 期 为 6，所 以1)3()3(ff，0)4()2(ff，1)5()1(
8、ff，0)6()0(ff，1)1(f，2)2(f，所以在一个周期内有1010121)6()2()1(fff，所以33833351335)2()1()2012()2()1(fffff，选 B.13.【高考真题山东理 9】函数cos622xxxy的图像大致为 【答案】D【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除 A,令0y得06cosx，所以kx26，612kx，函数零点有无穷多个，排除 C,且y轴右侧第一个零点为)0,12(，又函数xxy22为增函数，当120 x时，022xxy，06cosx，所以函数0226cosxxxy，排除 B，选 D.14.【高考真题山东理 12】设函数21(),
9、()(,0)f xg xaxbx a bR ax，若()yf x的图象与()yg x图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x yB xy,则下列判断正确的是 A.当0a 时，12120,0 xxyy B.当0a 时，12120,0 xxyy C.当0a 时，12120,0 xxyy D.当0a 时，12120,0 xxyy【答案】B【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当0a时，要想满足条件，则有如图，做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐标为),(11yx，由图象知,2121yyxx即0,02121yyxx，同理当0a时，则有0,02121yyxx，故答案选
10、B.另法：32()1F xxbx，则方程()0F x 与()()f xg x同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x.由()0F x得0 x 或23xb.这样，必须且只须(0)0F或2()03Fb，因为(0)1F，故 必 有2()03Fb 由 此 得3322b.不 妨 设12xx，则32223xb.所 以231()()(2)F xxxx，比较系数得3141x，故31122x .3121202xx，由此知12121212110 xxyyxxx x，故答案为 B.15.【高考真题辽宁理 11】设函数 f(x)()xR满足 f(x)=f(x)，f(x)=f(2x)，且当0,1x时，f(x)=x3.
11、又函数 g(x)=|xcos()x|，则函数 h(x)=g(x)-f(x)在1 3,2 2上的零点个数为(A)5 (B)6 (C)7 (D)8【答案】B【解析】因为当0,1x时，f(x)=x3.所以当1,2-)0,1xx时，(2，f(x)=f(2x)=(2x)3，当10,2x时，g(x)=xcos()x；当1 3,2 2x时，g(x)=xcos()x，注意到函数 f(x)、g(x)都是偶函数，且 f(0)=g(0)，f(1)=g(1)，13()()022gg，作出函数 f(x)、g(x)的大致图象，函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外，分别在区间1113,0 12222、0,、,1、,上
12、各有一个零点，共有 6 个零点，故选 B【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点，考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想，难度较大。16.【高考真题江西理 2】下列函数中，与函数31xy 定义域相同的函数为 Axysin1 B.xxyln C.y=xex D.xxysin【答案】D【命题立意】本题考查函数的概念和函数的性质定义域。【解 析】函 数31xy 的 定 义 域 为0 xx。xysin1的 定 义 域 为,0sinZkkxxxx,xxyln的定义域为0 xx，函数xxysin的定义域为0 xx，所以定义域相同的是 D,选 D.17.【高考真题
13、江西理 3】若函数1,lg1,1)(2xxxxxf，则 f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0【答案】B 【命题立意】本题考查分段函数的概念和求值。【解析】110lg)10(f，所以211)1()10(2 fff，选 B.18.【高考真题江西理 10】如右图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为 1，点 E 是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SExx截面下面部分的体积为(),V x则函数()yV x的图像大致为 【答案】A【解析】（定性法）当102x时，随着x的增大，观察图形可知，V x单调递减，且递减的速度越来越快；当112x时，
14、随着x的增大，观察图形可知，V x单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有 A 图象符合.故选 A.【点评】对于函数图象的识别问题，若函数 yf x的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.19【高考真题湖南理 8】已知两条直线1l：y=m 和2l：y=821m(m0)，1l与函数2logyx的图像从左至右相交于点 A，B，2l与函数2logyx的图像从左至右相交于 C,D.记线段 A
15、C和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时，ba的最小值为 A16 2 B.8 2 C.8 4 D.4 4 【答案】B【解析】在同一坐标系中作出 y=m，y=821m(m0)，2logyx图像如下图，由2log x=m，得122,2mmxx，2log x=821m，得821821342,2mmxx.依照题意得8218218218212222,22,22mmmmmmmmbaba8218212 22mmmm.8141114312122222mmmm，min()8 2ba.【点评】在同一坐标系中作出 y=m，y=821m(m0)，2logyx图像，结合图像可解得.20.【高考真
16、题湖北理 9】函数2()cosf xxx在区间0,4上的零点个数为 A4 B5 C6 D7【答案】C【解析】0)(xf，则0 x或0cos2x，Zkkx,22，又 4,0 x，4,3,2,1,0k 所以共有 6 个解.选 C.21.【高考真题广东理 4】下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是 A.y=ln（x+2）B.y=-1x C.y=（12）x D.y=x+1x【答案】A 【解析】函数 y=ln（x+2）在区间（0，+）上为增函数；函数 y=-1x在区间（0，+）上为减函数；函数 y=（12）x在区间（0，+）上为减函数；函数 y=x+1x在区间（0，+）上为先减后增函数故选 A x8
17、21ym2logyxym1OABCD22.【高考真题福建理 7】设函数,01)(为无理数，为有理数，xxxD则下列结论错误的是 A.D（x）的值域为0,1 B.D（x）是偶函数 C.D（x）不是周期函数 D.D（x）不是单调函数【答案】【解析】根据解析式易知和正确；若x是无理数，则x和1x也是无理数，若x是有理数，则x和1x也是有理数，所以)()1(),()(xDxDxDxD，从而可知正确，错误故选 23.【高考真题福建理 10】函数 f（x）在a,b上有定义，若对任意 x1，x2a,b，有则称f（x）在a,b上具有性质 P.设 f（x）在1,3上具有性质P，现给出如下命题：f（x）在1,3上
18、的图像时连续不断的；f（x2）在1,3上具有性质 P；若 f（x）在 x=2 处取得最大值 1，则 f（x）=1，x1,3；对任意 x1，x2，x3，x41,3，有 其中真命题的序号是 A.B.C.D.【答案】D 【解析】若函数)(xf在3x时是孤立的点，如图，则可以排除；函数xxf)(具有性质 p，而函数22)(xxf不具有性质 p，所以可以排除；设3,1,222121xxxx，则)2()(21)()(21)2(121fxfxfxff,即1)2()(1 fxf，又1)(1xf，所以1)(1xf，因此正确；)()()()(41)2()2(21)4(432143214321xfxfxfxfxxf
19、xxfxxxxf 所以正确.故选 D.二、填空题 24.【高考真题福建理 15】对于实数 a 和 b，定义运算“”：baabbbaababa,22，设)1()12()(xxxf，且关于 x 的方程为 f（x）=m（mR）恰有三个互不相等的实数根 x1，x2，x3，则 x1x2x3的取值范围是_.【答案】)0,1631(【命题立意】本题属于新概念型题目，考查了根据条件确定分段函数解析式的能力，以及数形结合的思想和基本推理与计算能力，难度较大【解析】由新定义得0,0,21212112),1)(12()1(),1)(12()12()(2222xxxxxxxxxxxxxxxxxf，所以可以画出草图，若
20、方程mxf)(有三个根，则410 m，且当0 x时方程可化为02mxx，易知mxx32；当0 x时方程可化为022mxx，可解得48111mx，所以4811321mmxxx，又易知当41m时4811mm有最小值，所以0481143141mm，即01631321xxx.25.【高考真题上海理 7】已知函数|)(axexf（a为常数）。若)(xf在区间),1 上是增函数，则a的取值范围是 。【答案】1,(【解析】令axt，则axt在区间),a上单调递增，而tey 为增函数，所以要是函数axexf)(在),1 单调递增，则有1a，所以a的取值范围是 1,(。26.【高考真题上海理 9】已知2)(xx
21、fy是奇函数，且1)1(f，若2)()(xfxg，则)1(g 。【答案】1-【解 析】因 为2)(xxfy为 奇 函 数，所 以22)()(xxfxxf，所 以22)()(xxfxf，32)1()1(fg，所以1)1(22)1(2)1()1(fffg。27.【高考江苏 5】（5 分）函数xxf6log21)(的定义域为 【答案】0 6，。【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得 12660006112log0log6=620 xxxxxx。28.【高考真题北京理 14】已知)3)(2()(mxmxmxf，22)(xxg，
22、若同时满足条件：Rx，0)(xf或0)(xg；)4,(x,)(xf0)(xg。则 m 的取值范围是_。【答案】)2,4(m【解析】根据022)(xxg，可解得1x。由于题目中第一个条件的限制Rx，0)(xf或0)(xg成立的限制，导致)(x在1x时必须是0)(xf的。当0m时，0)(xf不能做到)(xf在1x时0)(xf，所以舍掉。因此，)(xf作为二次函数开口只能向下，故0m，且此时两个根为mx21，32 mx。为保证此条件成立，需要421131221mmmxmx，和大前提0m取交集结果为04m；又由于条件 2：要求)4,(x，)()(xgxf0 的限制，可分析得出在)4,(x时，)(xf恒
23、负，因此就需要在这个范围内)(xg有得正数的可能，即4应该比21,xx两根中小的那个大，当)0,1(m时，43m，解得，交集为空，舍。当1m时，两个根同为42，舍。当)1,4(m时，42m，解得2m，综上所述)2,4(m 29.【高考真题天津理 14】已知函数112xxy的图象与函数2 kxy的图象恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是_.【答案】10 k或41 k【解析】函数1)1)(1(112xxxxxy，当1x时，11112xxxxy，当1x时，1,111,11112xxxxxxxy，综上函数1,111,111112xxxxxxxxy，做出函数的图象(蓝线)，要使函数y与2 kxy有两个
24、不同的交点，则直线2 kxy必须在四边形区域 ABCD 内(和直线1 xy平行的直线除外，如图，则此时当直线经过)2,1(B，401)2(2k，综上实数的取值范围是40 k且1k，即10 k或41 k。30.【高考江苏 10】（5 分）设()f x是定义在R上且周期为 2 的函数，在区间 1 1，上，0111()201xxaxf xbxx，其中abR，若1322ff，则3ab的值为 【答案】10。【考点】周期函数的性质。【解析】()f x是定义在R上且周期为 2 的函数，11ff，即21=2ba。又311=1222ffa，1322ff，141=23ba。联立，解得，=2.=4ab。3=10ab
25、。三、解答题 31.【高考真题江西理 22】（本小题满分 14 分）若函数 h(x)满足（1）h(0)=1，h(1)=0；（2）对任意 0,1a，有 h(h(a)=a；（3）在（0,1）上单调递减。则称 h(x)为补函数。已知函数（1）判函数 h(x)是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在 0,1m，使得 h(m)=m，若 m 是函数 h(x)的中介元，记时 h(x)的中介元为 xn，且，若对任意的nN，都有 Snk，。2202020=10112kxkkk，当且仅当=1k时取等号。炮的最大射程是 10 千米。（2）0a，炮弹可以击中目标等价于存在0k，使221(1)=3.220kaka成立
26、，即关于k的方程2222064=0a kaka有正根。由222=204640aaa得6a。此时，22222020464=02aaaaka（不考虑另一根）。当a不超过 6 千米时，炮弹可以击中目标。【考点】函数、方程和基本不等式的应用。【解析】（1）求炮的最大射程即求221(1)(0)20ykxkxk与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解。（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解。36【高考真题湖南理 20】（本小题满分 13 分）某企业接到生产 3000 台某产品的 A，B，三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为,（单位：件）.已知每个工人每天可生产部
27、件件，或部件件，或部件件.该企业计划安排名工人分成三组分别生产这三种部件，生产部件的人数与生产部件的人数成正比，比例系数为 k（k 为正整数）.（）设生产部件的人数为，分别写出完成，三种部件生产需要的时间；（）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数 k 的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.【答案】解：（）设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 123(),(),(),T x T x T x由题设有 1232 3000100020001500(),(),(),6200(1)T xT xT xxxkxk x 期中,200(1)x kx
28、k x均为 1 到 200 之间的正整数.（）完成订单任务的时间为123()max(),(),(),f xT x T x T x其定义域为 2000,.1xxxNk易知，12(),()T x T x为减函数，3()T x为增函数.注意到 212()(),T xT xk于是（1）当2k 时，12()(),T xT x 此时 1310001500()max(),()max,2003f xT x T xxx，由函数13(),()T x T x的单调性知，当100015002003xx时()f x取得最小值，解得 4009x.由于 134002503004445,(44)(44),(45)(45),(
29、44)(45)91113fTfTff而.故当44x 时完成订单任务的时间最短，且最短时间为250(44)11f.（2）当2k 时，12()(),T xT x 由 于k为 正 整 数，故3k，此 时1375(),()max(),()50T xxT x T xx易知()T x为增函数，则 13()max(),()f xT x T x 1max(),()T x T x 1000375()max,50 xxx.由函数1(),()T x T x的单调性知，当100037550 xx时()x取得最小值，解得40011x.由于14002502503752503637,(36)(36),(37)(37),11
30、9111311TT而 此时完成订单任务的最短时间大于25011.（3）当2k 时，12()(),T xT x 由 于k为 正 整 数，故1k，此 时232000750()max(),()max,.100f xT x T xxx由函数23(),()T x T x的单调性知，当2000750100 xx时()f x取得最小值，解得80011x.类似（1）的讨论.此时 完成订单任务的最短时间为2509，大于25011.综上所述，当2k 时完成订单任务的时间最短，此时生产，三种部件的人数 分别为 44,88,68.【解析】【点评】本题为函数的应用题，考查分段函数、函数单调性、最值等，考查运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型；第二问利用单调性与最值来解决，体现分类讨论思想.