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1、精品资料.综合除法与余数定理 精品资料.第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(xf除以除式)0)(),(xgxg得商式)(xq及余式)(xr时，就有下列等式：)()()()(xrxqxgxf。其中)(xr的次数小于)(xg的次数，或者0)(xr。当0)(xr时，就是)(xf能被)(xg整除。下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算综合除法。例 1、用综合除
2、法求3474142xxx除以2x所得的商和余式。解：余式商的各项的系数82632241264414072)2()74142(34xxxx的商是263223xxx，余式是 8。上述综合除法的步骤是：精品资料.（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。（2）把除式的第二项-2 变成 2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。（3）把被除式的第一项的系数 2 移到横线的下面，得到商的第一项的系数。（4）用 2 乘商的第一项的系数 2，得 4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7 相加，得到商的第二项系数-3。（5）用 2 乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数 0的下面，同 0 相
3、加，得到商的第三项的系数-6。（6）用 2 乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14 的下面，同 14 相加，得到商的第三项系数 2。（7）用 2 乘商的常数项 2，得 4，写在被除式的常数项 4 的下面，同 4 相加，得到余式 8。前面讨论了除式都是一次项系数为 1 的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是 1，能不能利用综合除法计算呢？例 2、求)23()1623103(23xxxx的商式 Q 和余式 R。解：把除式缩小 3 倍，那么商就扩大 3 倍，但余式不变。因此先用32x去除被除式，再把所得的商缩小 3 倍即可。精品资料.541615123332108
4、216231033 Q=542xx，R=6。下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。例 3、用综合除法求)23()4101173(2234xxxxxx的商 Q 和余式R。解：23123232346694101173 Q=5232xx，R=23 x。二、余数定理 余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（17301783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。余数定理：多项式)(xf除以ax 所得的余数等于)(af。略证：设RaxxQxf)()()(将 x=a 代入得Raf)(。精品资料.例 4、确定 m 的值使多项
5、式mxxxxxf1183)(345能够被 x-1 整除。解：依题意)(xf含有因式 x-1，故0)1(f。1311。可得17。求一个关于 x 的二次多项式，它的二次项系数为 1，它被 x-3 除余 1，且它被 x-1 除和被 x-2 除所得的余数相同。解：设baxxxf2)()(xf被3x除余 1，139)3(baf )(xf被1x除和2x除所得的余数相同，babaff241)2()1(即 由得3a，代入得1b 13)(2xxxf。注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。即：1)(3()(2()(1(2pxxRnxxRmxxbaxx 由RnxxRmxx)(2()(1(，可得1,2nm
6、再由1)(3()1)(2(pxxRxx，解得0p。13)(2xxxf。练习：1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。（1）)2()76543(234xxxxx；精品资料.（2）)4()81496(345xxxxx；（3）)()()(23axabcxcabcabxcbax；（4）)23()188859(334224yxyxxyyyxx；（5）)32()15151672(2234xXxxxx；（6）)253()712(23356xxxxxxx 2、一个关于 x 的二次多项式)(xf，它被 x-1 除余 2，被 x-3 除余 28，它可以被 x+1 整除，求)(xf。3、一个整系数四次多项式)(xf，有四个不同的整数4321,，可使,1)(,1)(21ff1)(,1)(43ff，求证：任何整数都不能使1)(f。