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1、线性卷积和循环卷积的关系 这个例子说明了如何建立线性卷积和循环卷积之间的等价关系。线性卷积和循环卷积是本质不同的运算。然而，在某些条件下，线性卷积和循环卷积是等效的。建立这种等效关系具有重要意义。对于两个向量 x 和 y，循环卷积等于二者的离散傅里叶变换(dft)之积的逆 dft 变换。了解线性卷积和循环卷积等效的条件，可让您使用 dft 来高效地计算线性卷积。包含 n 个点的向量 x 和包含 l 个点的向量 y 的线性卷积长度为 n+l-1。为了使 x 和 y 的循环卷积与之等效，在进行 dft 之前，必须用零填充向量，使长度至少为 n+l-1。对 dft 的积求逆后，只保留前 n+l-1
2、个元素。创建两个向量 x 和 y，并计算两个向量的线性卷积。x=2 1 2 1;y=1 2 3;clin=conv(x,y);输出长度为 4+3-1。用 0 填充两个向量，使长度为 4+3-1。求出两个向量的 dft，将其相乘，并求乘积的逆 dft。xpad=x zeros(1,6-length(x);ypad=y zeros(1,6-length(y);ccirc=ifft(fft(xpad).*fft(ypad);填零后的向量 xpad 和 ypad 的循环卷积等效于 x 和 y 的线性卷积。保留 ccirc 的所有元素，因为输出长度为 4+3-1。绘制线性卷积的输出和 dft 之积的逆，
3、以显示二者等效。subplot(2,1,1)stem(clin,filled)ylim(0 11)title(linear convolution of x and y)subplot(2,1,2)stem(ccirc,filled)ylim(0 11)title(circular convolution of xpad and ypad)将向量填充到长度为 12，并使用 dft 之积的逆 dft 求得循环卷积。仅保留前 4+3-1 个元素，以产生与线性卷积等效的结果。n=length(x)+length(y)-1;xpad=x zeros(1,12-length(x);ypad=y zeros(1,12-length(y);ccirc=ifft(fft(xpad).*fft(ypad);ccirc=ccirc(1:n);signal processing toolbox 软件提供了函数 cconv，该函数返回两个向量的循环卷积。您可以通过以下代码使用循环卷积来求 x 和 y 的线性卷积。cconv 内部使用的就是上例中基于 dft 的步骤。