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1、 1 江苏省 2013 届高考数学（苏教版）二轮复习专题 6 三角函数的图象与性质 回顾 20082012 年的考题，2008 年第 1 题考查了三角函数的周期性，2009 年第 4 题考查了函数 yAsinx的图象和周期，2010 年第 10 题考查了三角函数的图象和性质，2011年第 9 题考查了函数 yAsinx的图象和性质，2012 年没有考查.预测在 2013 年的高考题中：1填空题依然是考查三角函数图象与性质，随着题目设置的顺序，难度不一.2在解答题中，三角函数的化简以及三角函数的性质依然是解答题第一题的考查点，也可能与解三角形或平面向量结合命题.1.(2011江苏高考)函数 f(
2、x)Asin(x)(A，为常数，A0，0)的部分图象如图所示，则 f(0)的值是_ 解析：由图象可得 A 2，周期为 47123，所以 2.将712，2 代入得 27122k32，即 2k3，所以 f(0)2sin 2sin362.答案：62 2 (2012 南 京 第 二 次 模 拟)已 知 函 数y Asin(x)A0，0，|2的部分图象如图所示，则 的值为_ 解析：由图可知函数的最大值为 2，故 A2.由 f(0)2，可得 sin 22，而|12，即 T3，故 00，22，给出以下四个论断：它的图象关于直线 x12对称；它的图象关于点3，0 对称；它的周期为；在区间6，0 上是增函数 以
3、其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出你认为正确的两个命题：(1)_；(2)_ 解析：成立时，f(x)的图象可能为下图中的一个但图 2 不能满足22.在图中可得端点 A6，0，B3，0，故成立同理成立时，成立 答案：；5(2012江苏命题专家原创卷)已知函数 f(x)3sin(x)cos(x)(00)为偶函数，且函数 yf(x)的图象的两条对称轴之间的最小距离为2，则 f(x)的解析式为_ 解析：f(x)3sin(x)cos(x)2sinx6，由题意得222，所以 2.则 f(x)2sin2x6.因为 f(x)为偶函数，所以 f(0)2sin62，6k2(kZ)，又因为 00，0，0,2
4、)的图象如图所示，则 _.解析(1)ysin x，ysinx3，ysinx23，或 ysin x，ysin12x，ysin12x23sinx23.(2)T2(73)8，284，A3，f(x)3sin4x，将(3,0)代入得342k，即 2k4.又 0,2)，所以 4.答案(1)或(填出其中一种即可)(2)4 (1)三角函数图象进行变换时，要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异 4(2)A，这三个值求解以 最困难，其中如果图象上没有给出最高点和最低点坐标，而只给了函数的零点时，要区分对待，如点(3,0)在减区间内，则 32k，如点(7,0)在增区间内，则 72k.本题也可由对称性
5、得到最低点坐标(5，3)，代入函数式求.演练1 使函数 yf(x)图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12，然后再将其图象沿 x 轴向左平移6个单位，得到的曲线与 ysin 2x 相同(1)求 f(x)的表达式；(2)求 yf(x)的单调递增区间 解：(1)ysin 2x 的图象沿 x 轴向右平移6个单位得 ysin 2x6即 ysin2x3，再将每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的 2 倍得 ysinx3.f(x)sinx3.(2)由 2k2x32k2，kZ，解得 2k6x2k56，kZ.函数 yf(x)的单调递增区间是 2k6，2k56(kZ)典例2(1)已知函数 f(x
6、)2sin(x)(0)的图象关于直线 x3对称，且 f120，则 的最小值为_(2)设函数 f(x)sin(x)cos(x)0，|0，所以 的最小值为 2.(2)f(x)2sinx4，由题意知2，且 4k2(kZ)，解得 2，k4(kZ)又|0，|0，函数 ysinx32 的图象向右平移43个单位后与原图象重合，则 的最小值是_ 解析：(1)由于任意实数 t，函数 f(x)有 ft3ft3成立，故 f(x)的图象关于直线 x3对称，即 sin3 1，从而 cos3 0，故 g31.(2)将 ysinx32 的图象向右平移43个单位后为 ysinx4332sinx3432，所以有432k，即 3
7、k2.又因为 0，所以 k1，故 3k232，所以 的最小值是32.答案：(1)1(2)32 典例3 已知函数 f(x)sin2x6cos2x3sin xcos x，xR.(1)求 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的值；(2)求 f(x)在0，上的单调增区间 6 解(1)f(x)1cos2x321cos2x23212sin 2x 112(sin 2xcos 2x)22sin2x41.当 2x42k2，即 xk38，kZ 时，f(x)取得最大值为221.(2)由 2k22x42k2，得 k8xk38，kZ.又因为 0 x，所以 f(x)在0，上的增区间为0，38和78，.三角函数性质的研究
8、，关键是三角函数的化简，本题所给函数的解析式中方次均为二次，故需要用二倍角公式进行降幂，再观察角分别为 2x3与 2x，还需要用和差角公式进行统一，最终化归为 yAsin(x)B 的形式，即可将 x 看做整体，研究函数的性质 演练3 已知函数 f(x)sin2x6cos 2x32cos2x.(1)求 f12的值；(2)求 f(x)的最大值及相应 x 的值 解：(1)f12sin2126cos21232cos212 sin3cos21cos6 320132 31.(2)f(x)sin2x6cos2x32cos2x sin 2xcos6cos 2xsin6cos 2xcos3sin 2xsin3c
9、os 2x1 3sin 2xcos 2x12sin2x61，当 sin2x61 时，f(x)max213，此时，2x62k2，即 xk6(kZ)7 专题技法归纳 (1)三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数，首先需要对所给函数进行化简，在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一，化简后的函数需要整体处理(换元)，再研究其性质，对 ysin x，ycos x，ytan x 的性质必须掌握(2)在三角函数的性质研究时，要注意“形”和“式”之间的联系，即 A，x，对函数性质和图象的影响(3)三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差异 1把
10、函数 f(x)sin(x)(0，为锐角)的图象沿 x 轴向右平移8个单位长度或向左平移38个单位长度都可以得到 g(x)的图象，若 g(x)为奇函数，则函数 f(x)的图象的对称轴方程为_ 解析：根据题意可以画出函数 f(x)的部分草图，如图所示故易知函数 f(x)的一条对称轴应为 y 轴，其方程为 x0，再结合函数的周期性，可得所求的对称轴方程为 x12388k0(kZ)，即 xk4(kZ)答案：xk4(kZ)2已知函数 f(x)2sin x(0)在区间3，4上的最小值是2，则 的最小值等于_ 解析：f(x)2sin x(0)的最小值是2 时，x2k2(kZ)，32k24.6k32且 8k2
11、.min32.答案：32 3(2012盐城第二次模拟)函数 f(x)sin 2xsin6cos 2xcos56在2，2上的单调递增区间为_ 8 解析：依题意得 f(x)cos2x6，当 2k2x62k，即 k512xk12，其中 kZ 时，函数 f(x)是增函数，因此函数 f(x)在区间2，2上的单调递增区间是512，12.答案：512，12 4函数 yAsin(x)其中A0，0，|0，函数 f(x)sinx4在2，上单调递减则 的取值范围是_ 解析：函数 f(x)sinx4的图象可看作是由函数 f(x)sin x 的图象先向左平移4个单位得 f(x)sinx4的图象，再将图象上所有点的横坐标
12、缩小到原来的1倍，纵坐标不变得到的，而函数 f(x)sinx4的减区间是4，54，所以要使函数 f(x)sinx4在2，上是减函数，需满足 412，541，解得1254.答案：12，54 9已知 f(x)sinx3(0)，f6f3，且 f(x)在区间6，3有最小值，无最大值，则 _.解析：由题意知4332，解之得 143.答案：143 10设 f(x)asin 2xbcos 2x，其中 a，bR，ab0，若 f(x)f6对一切 xR 恒成立，则 f11120；f7100.所以 f(x)3bsin 2xbcos 2x2bsin2x6.f11122bsin11660，故正确；10 f7102bsi
13、n7562bsin47302bsin1330，f52bsin2562bsin1730 2bsin1330，所以f710f5，故不正确；f(x)f(x)，所以正确；因为 f(x)3bsin 2xbcos 2x2bsin2x6，b0，由 2k22x62k2，得k3xk6，所以不正确；由以上知 a 3b0，要使经过点(a，b)的直线与函数 f(x)的图象不相交，则此直线与横轴平行，又 f(x)的振幅为 2bb，所以直线必与 f(x)图象有交点，不正确 答案：11.如图，函数 y2sin(x)，xR，其中02的图象与 y 轴交于点(0,1)(1)求 的值；(2)设 P 是图象上的最高点，M、N 是图象
14、与 x 轴的交点，求PM 与PN夹角的余弦值 解：(1)因为函数图象过点(0,1)，所以 2sin 1，即 sin 12.又因为 02，所以 6.(2)由函数 y2sinx6及其图象，得 M16，0，P13，2，N56，0，所以PM 12，2，PN12，2，从而 cosPM，PNPM PN|PM|PN|1517，即PM 与PN夹角的余弦值为1517.12(2012湖北高考)设函数 f(x)sin2x2 3sin xcos xcos2x(xR)的图象关于直线 x 对称，其中，为常数，且 12，1.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 yf(x)的图象经过点4，0，求函数 f(x)的值域 解：(1)因为 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x 11 2sin2x6.由直线 x 是 yf(x)图象的一条对称轴，可得 sin261.所以 26k2(kZ)，即 k213(kZ)又 12，1，kZ，所以 k1，故 56.所以 f(x)的最小正周期是65.(2)由 yf(x)的图象过点4，0 得 f40，即 2sin56262sin4 2，即 2.故 f(x)2sin53x6 2.函数 f(x)的值域为2 2，2 2