《黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023学年高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷(含解析)35350.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023学年高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷(含解析)35350.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的渐近线方程为34yx，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为（）A221916xy B221169xy C22134
2、xy D22143xy 2如图，点 E 是正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱 DD1的中点，点 F，M 分别在线段 AC，BD1（不包含端点）上运动，则（）A在点 F 的运动过程中，存在 EF/BC1 B在点 M 的运动过程中，不存在 B1MAE C四面体 EMAC 的体积为定值 D四面体 FA1C1B 的体积不为定值 3盒子中有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的 7 个相同的球，从中任取 3 个编号不同的球，则取的 3 个球的编号的中位数恰好为 5 的概率是（）A235 B835 C635 D37 4已知函数()2sin()(0,0)3f xxA，将函数()f x的图象向左平移3个单
3、位长度，得到函数()g x的图象，若函数()g x的图象的一条对称轴是6x，则的最小值为 A16 B23 C53 D56 5三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，5AB，8BC，60B，2 5SA，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A643 B2563 C4363 D2048327 6 已知函数()f x是奇函数，且22()()ln(1)ln(1)1f xfxxxx，若对1 1,6 2x，(1)(1)f axf x恒成立，则a的取值范围是（）A(3,1)B(4,1)C(3,0)D(4,0)7已知定义在R上的函数()2xf xx，3(log5)af，31(log)2bf，(ln3)cf，则a，b，
4、c的大小关系为（）Acba Bbca Cabc Dcab 8已知集合1,2,3,4,65,A的所有三个元素的子集记为123,*,nB BBB nN记ib为集合iB中的最大元素，则123nbbbb（）A45 B105 C150 D210 9若直线 ykx1 与圆 x2y21 相交于 P、Q 两点，且POQ120(其中 O 为坐标原点)，则 k 的值为()A 3 B 2 C 3或3 D 2和2 10 已知双曲线2222:1xyab(0,0)ab的一条渐近线为l，圆22:()4Cxcy与l相切于点A，若12AF F的面积为2 3，则双曲线的离心率为（）A2 B2 33 C73 D213 11对某两名
5、高三学生在连续 9 次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析 甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为 130 分；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步 其中正确的个数为（）A B C D 12已知集合2,1,0,1,2A，22|0Bx xx，则AB()A1,0 B 0,1 C1,0,1 D2,1,0,1,2 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知函数 2ln 2xef xaxe
6、有且只有一个零点，则实数a的取值范围为_.14某地区连续 5 天的最低气温（单位：）依次为 8，4，1，0，2，则该组数据的标准差为_.15已知实数x，y满足约束条件0401xyxyy，则32xyz的最大值是_.16如果抛物线22ypx上一点4,Am到准线的距离是 6，那么m _.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在平面直角坐标系xOy中，直线10ykxk与抛物线C：240 xpy p交于A，B两点，且当1k 时，8AB.（1）求p的值；（2）设线段AB的中点为M，抛物线C在点A处的切线与C的准线交于点N，证明：/MNy轴.18（12 分）已知函
7、数21()1ln()2f xm xx mR.（1）若1m，求证：()0f x.（2）讨论函数()f x的极值；（3）是否存在实数m，使得不等式111()xf xxe在(1,)上恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由.19（12 分）已知正项数列 na的前n项和22,*nnSanN.（1）若数列 na为等比数列，求数列 na的公比q的值；（2）设正项数列 nb的前n项和为nT，若11b，且2121nnTbn.求数列 nb的通项公式；求证：123122inibiaaaa.20（12 分）根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90
8、 万亿元，实际增长了 242倍多，综合国力大幅提升.将年份 1978，1988，1998，2008，2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为t；y表示全国 GDP 总量，表中ln1,2,3,4,5iizy i，5115iizz.t y z 521iitt 51iiittyy 51iiittzz 3 26.474 1.903 10 209.76 14.05（1）根据数据及统计图表，判断 ybta与dtyce（其中e2.718为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP 总量y关于t的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于t的回归方程.（2）使用参考数据，估计 20
9、20 年的全国 GDP 总量.线性回归方程ybxa中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：121niiiniixxyybxx，aybx.参考数据：n 4 5 6 7 8 ne的近似值 55 148 403 1097 2981 21（12 分）小丽在同一城市开的 2 家店铺各有 2 名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是12，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂 1 人到该店维持营业，否则该店就停业.（1）求发生调剂现象的概率；（2）设营业店铺数为 X，求 X 的分布列和数学期望.22（10 分）已知圆22:(2)(3)4Cxy外有一点41,，过点P
10、作直线l(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135时，求直线l被圆C所截得的弦长 2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【答案解析】试题分析：由题意得34ba，22225cab，所以4a，3b，所求双曲线方程为221169xy 考点：双曲线方程.2、C【答案解析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果.【题目详解】A 错误 由EF 平面AEC，1BC/1AD 而1AD与平面AEC相交，故可知1BC与平面A
11、EC相交，所以不存在 EF/BC1 B 错误，如图，作11B MBD 由11,ACBD ACBB BDBBB 又1,BD BB 平面11BB D D，所以AC 平面11BB D D 又1B M 平面11BB D D，所以1B MAC 由OE/1BD，所以1B MOE ACOEO，,AC OE 平面AEC 所以1B M 平面AEC，又AE 平面AEC 所以1B MAE，所以存在 C 正确 四面体 EMAC 的体积为13MAECAECVSh 其中h为点M到平面AEC的距离，由OE/1BD，OE 平面AEC，1BD 平面AEC 所以1BD/平面AEC，则点M到平面AEC的距离即点B到平面AEC的距离
12、，所以h为定值，故四面体 EMAC 的体积为定值 D错误 由AC/11AC，11AC 平面11AC B，AC 平面11AC B 所以AC/平面11AC B，则点F到平面11AC B的距离1h即为点A到平面11AC B的距离，所以1h为定值 所以四面体 FA1C1B 的体积1 11 1113FAC BAC BVSh为定值 故选：C【答案点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.3、B【答案解析】由题意，取的 3 个球的编号的中位数恰好为 5 的情况有1142C C，所有的情况有37C种，由古典概型的概率公式即得解.【题目详
13、解】由题意，取的 3 个球的编号的中位数恰好为 5 的情况有1142C C，所有的情况有37C种 由古典概型，取的 3 个球的编号的中位数恰好为 5 的概率为：114237835C CPC 故选：B【答案点睛】本题考查了排列组合在古典概型中的应用，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题.4、C【答案解析】将函数()f x的图象向左平移3个单位长度，得到函数()2sin()33g xx的图象，因为函数()g x的图象的一条对称轴是6x，所以sin()1633，即,6332kk Z，所以52,3k kZ，又0，所以的最小值为53故选 C 5、B【答案解析】由题，侧棱SA底面ABC
14、，5AB，8BC，60B，则根据余弦定理可得221582 5 872BC ，ABC的外接圆圆心772sin332BCrrB 三棱锥的外接球的球心到面ABC的距离15,2dSA 则外接球的半径 22764533R，则该三棱锥的外接球的表面积为225643SR 点睛：本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R 公式是解答的关键 6、A【答案解析】先根据函数奇偶性求得 ,f xfx，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【题目详解】因为函数()f x是奇函数，所以函数()fx是偶函数.22()()ln(1)ln(1)1fxfxxxx，即22()()ln(1)ln(1)1f x
15、fxxxx，又22()()ln(1)ln(1)1f xfxxxx，所以()ln(1)ln(1)f xxx，22()1fxx.函数()f x的定义域为(1,1)，所以22()01fxx，则函数()f x在(1,1)上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f xf，所以()f x为偶函数，且在(0,1)上单调递增.由(1)(1)f axf x，可得1111 1axxax ，对1 1,6 2x恒成立，则1120axxax，21120axax 对1 1,6 2x恒成立，得3140aa ，所以a的取值范围是(3,1).故选：A.【答案点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析
16、式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.7、D【答案解析】先判断函数在0 x 时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)bf，比较33log5,log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0 x 时的单调性，比较出三个数,a b c的大小.【题目详解】当0 x 时，()22()2ln 2 20 xxxxf xxxfxx，函数()f x在0 x 时，是增函数.因为()22()xxfxxxf x ，所以函数()f x是奇函数，所以有33311(log)(log)(log 2)22bfff，因为33log5loln31g 20，函数()f x在0 x 时，是增函数，
17、所以cab，故本题选 D.【答案点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.8、B【答案解析】分类讨论，分别求出最大元素为 3,4,5,6 的三个元素子集的个数，即可得解.【题目详解】集合M含有3个元素的子集共有3620C，所以20k 在集合1,2,3,iB ik（）中：最大元素为3的集合有221C 个；最大元素为4的集合有233C；最大元素为5的集合有246C；最大元素为6的集合有2510C；所以123453 14 35 66 10 105bbbbb 故选：B【答案点睛】此题考查集合相关的新定义问题，其本质在于弄清计数原理，分类讨论，分别求解.
18、9、C【答案解析】直线过定点，直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、Q 两点，且POQ=120（其中 O 为原点），可以发现QOx 的大小，求得结果【题目详解】如图，直线过定点（0，1），POQ=120OPQ=30，1=120，2=60，由对称性可知 k=3 故选 C【答案点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题 10、D【答案解析】由圆22:()4Cxcy与l相切可知，圆心(,0)C c到l的距离为2，即2b.又12222 3AF FAOFSSab，由此求出a的值，利用离心率公式，求出 e.【题目详解】由题意得2b，122 3AF FSab，3a，2
19、22113bea.故选：D.【答案点睛】本题考查了双曲线的几何性质，直线与圆相切的性质，离心率的求法，属于中档题.11、C【答案解析】利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可【题目详解】甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分，平均成绩为低于分，错误；根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内，正确；乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，正确；乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故不正确 故选：C【答案点睛】本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题
20、 12、D【答案解析】先求出集合 B，再与集合 A 求交集即可.【题目详解】由已知，22172()024xxx，故BR，所以AB 2,1,0,1,2.故选：D.【答案点睛】本题考查集合的交集运算，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、,0e【答案解析】当12x 时，转化条件得 2ln 2xeeax有唯一实数根，令 2ln 2xeeg xx，通过求导得到 g x的单调性后数形结合即可得解.【题目详解】当12x 时，10ef xe，故12x 不是函数的零点；当12x 时，0f x 即 2ln 2xeeax，令 2ln 2xeeg x
21、x，110,22x，222222121ln 2ln 2ln 2ln 2xxxeeeexexeexexgxxx，当110,22 2ex时，0gx；当,2ex时，0gx，g x的单调减区间为110,22 2e ，增区间为,2e，又 2lneeeegee，可作出 g x的草图，如图：则要使 ag x有唯一实数根，则,0ae.故答案为：,0e.【答案点睛】本题考查了导数的应用，考查了转化化归思想和数形结合思想，属于难题.14、4【答案解析】先求出这组数据的平均数，再求出这组数据的方差，由此能求出该组数据的标准差【题目详解】解：某地区连续 5 天的最低气温（单位：C)依次为 8，4，1，0，2，平均数为
22、：18410215，该组数据的方差为：2222221(81)(41)(1 1)(01)(21)165S ，该组数据的标准差为 1 故答案为：1【答案点睛】本题考查一组数据据的标准差的求法，考查平均数、方差、标准差的定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 15、14【答案解析】令3xyt，所求问题的最大值为max2t,只需求出maxt即可，作出可行域，利用几何意义即可解决.【题目详解】作出可行域，如图 令3xyt，则3yxt，显然当直线经过(1,1)B时，t最大，且max2t，故32xyz的最大值为2124.故答案为：14.【答案点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题，要做好此类
23、题，前提是正确画出可行域，本题是一道基础题.16、4 2【答案解析】先求出抛物线22ypx的准线方程，然后根据点4,Am到准线的距离为 6，列出462p，直接求出结果.【题目详解】抛物线22ypx的准线方程为2px ，由题意得462p，解得4p.点4,Am在抛物线22ypx上，22 4 4m ，4 2m ，故答案为：4 2.【答案点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1；（2）见解析【答案解析】（1）设11,A x y，22,B x y，联立直线和抛物线方程，得2440 xpxp，写出韦达定理，根据弦长公式，
24、即可求出1p；（2）由214yx，得12yx，根据导数的几何意义，求出抛物线在点A点处切线方程，进而求出NMxx，即可证出/MNy轴.【题目详解】解：（1）设11,A x y，22,B x y，将直线l代入C中整理得：2440 xpxp，124xxp，124x xp，22121224216168ABxxx xpp，解得：1p.（2）同（1）假设11,A x y，22,B x y，由214yx，得12yx，从而抛物线在点A点处的切线方程为21111142yxxxx，即2111124yx xx，令1y ，得21142Nxxx，由（1）知124x x，从而211212122NMxx xxxxxx，这
25、表明/MNy轴.【答案点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.18、（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.【答案解析】（1）1m，求出()fx单调区间，进而求出min()0f x，即可证明结论；（2）对()0fx（或()0fx）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出()0,()0fxfx的解，即可求出结论；（3）令111,(1,)()xhexxx，可证()0,(1,)h xx恒成立，而(1)0f，由（2）得，0,()mf x在(1,)为减函数，01,()mf x在11,m上单调递减，在
26、(1,)都存在()0f x，不满足()()f xg x，当m1时，设21111()1ln2xF xm xxxe，且(1)0F，只需求出()F x在(1,)单调递增时m的取值范围即可.【题目详解】（1）1m，21()1ln(0)2f xxx x，211()xfxxxx，当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x时，()0fx，min()(1)0f xf，故()0f x.（2）由题知，0 x，211()mxfxmxxx，当0m 时，21()0mxfxx，所以()f x在(0,)上单调递减，没有极值；当0m 时，21()0mxfxx，得1xm，当10,xm时，()0fx；当1,xm时，()0fx，所
27、以()f x在10,nn上单调递减，在1,m上单调递增.故()f x在1xm处取得极小值1111ln222fmmm，无极大值.（3）不妨令11111()xxxexh xxexe，设11(),(1,),()10 xxu xex xu xe 在(1,)恒成立，()u x在1,)单调递增，()(1)0u xu，10 xex在(1,)恒成立，所以，当(1,)x时，()0h x，由（2）知，当0,1mx时，()f x在(1,)上单调递减，()(1)0f xf恒成立；所以不等式111()xf xxe在(1,)上恒成立，只能0m.当01m时，11m，由（1）知()f x在11,m上单调递减，所以1(1)0f
28、fm，不满足题意.当m1时，设21111()1ln2xF xm xxxe，因为1,1mx，所以11111,1,01,10 xxxmxx eee ，322122111111()1xxxxF xmxxxxexxx ，即22(1)1()0 xxF xx，所以()F x在(1,)上单调递增，又(1)0F，所以(1,)x时，()0F x 恒成立，即()()0f xh x恒成立，故存在m1，使得不等式111()xf xxe在(1,)上恒成立，此时m的最小值是 1.【答案点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难
29、题.19、（1）152q；（2）nbn；详见解析.【答案解析】（1）依题意可表示1S，2S，相减得243aaa，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；（2）由题意可表示2nT，12nT，两式相减得2212121nnnbbb，由其都是正项并整理可得递推关系211nnbb，由等差数列的通项公式即可得答案；由已知22,*nnSanN关系，表示132nnSa并相减即可表示递推关系21nnnaaa，显然当1,2,3n 时，1232naaaP成立，当4n，*nN时，表示12323343221234512222222nnnnnnnaaaaaaaaaaaP，由分组求和与正项数列
30、性质放缩不等式得证.【题目详解】解：（1）依题意可得132Sa，242Sa，两式相减，得243aaa，所以2222aa qa q，因为0na，所以210qq，且0q，解得152q.（2）因为2121nnTbn，所以21222nnTbn，两式相减，得2212121nnnbbb，即22211nnbb.因为0nb，所以211nnbb，即211nnbb.而当1n 时，21222Tb，可得22b，故211bb，所以11nnbb对任意的正整数n都成立，所以数列 nb是等差数列，公差为 1，首项为 1，所以数列 nb的通项公式为nbn.因为22nnSa，所以132nnSa，两式相减，得132nnnaaa，即
31、312nnnaaa，所以对任意的正整数2n，都有21nnnaaa.令12345123451122222222ininnnbnniaaaaaaaaP，而当1,2,3n 时，1232naaaP显然成立，所以当4n，*nN时，12323343221234512222222nnnnnnnaaaaaaaaaaaP 123233234212345145122222222222nnnnnnnnaaaaaaaaaaa 123233212123421234512323451222222222222222nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa 1231211233212312123233345123451
32、22222222222222222nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa123123123213331111324224224nnnnnaaaaaaaaaPPPPP，所以1233324nnaaaPP，即1232naaaP，所以123122inibiaaaa，得证.【答案点睛】本题考查由前 n 项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式，属于难题.20、（1）dtyce，1.4052.3122.3121.405ttyeee；（2）148 万亿元.【答案解析】（1）由散点图知dtyce更适宜，对dtyce两边取自然对数得lnlny
33、cdt，令lnzy，lnac，bd，则zabt，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；（2）将5.2t 代入所求的回归方程中计算即可.【题目详解】（1）根据数据及图表可以判断，dtyce更适宜作为全国 GDP 总量y关于t的回归方程.对dtyce两边取自然对数得lnlnycdt，令lnzy，lnac，bd，得zabt.因为5152114.051.40510iiiiittzzbtt，所以1.9031.40532.312azbt，所以z关于t的线性回归方程为1.4052.312zt，所以y关于t的回归方程为1.4052.3122.3121.405ttyeee.（2）将5.2t 代入1.4052.3
34、12tye，其中1.405 5.22.3124.994，于是 2020 年的全国 GDP 总量约为：4.9945148yee万亿元.【答案点睛】本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.21、（1）18（2）见解析，138【答案解析】（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X 的所有可能取值为0,1,2，根据（1）和变量对应的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.【题目详解】（1）记 2 家小店分别为 A，B，A 店有 i 人休假记为事件iA（0i，1，2），B 店有 i 人，休假记为事件iB（0
35、i，1，2），发生调剂现象的概率为 P.则 2000211C24P AP B，211121122P AP BC，2222211C24P AP B.所以02201111144448PP A BP A B.答：发生调剂现象的概率为18.（2）依题意，X 的所有可能取值为 0，1，2.则2211104416P XP A B，122111111142244P XP ABP A B，11112101116416P XP XP X .所以 X 的分布表为：X 0 1 2 P 116 14 1116 所以 111113210164168E X .【答案点睛】本题是一道考查概率和期望的常考题型.22、（1）4
36、x 或3480 xy（2）2 2【答案解析】(1)根据题意分斜率不存在和斜率存在两种情况即可求得结果;(2)先求出直线方程，然后求得圆心C与直线l的距离,由弦长公式即可得出答案.【题目详解】解:(1)由题意可得2,3C,直线l与圆C相切 当斜率不存在时，直线l的方程为4x,满足题意 当斜率存在时，设直线l的方程为14ykx,即410kxyk 2234121kkk,解得34k 直线的方程为3480 xy 直线l的方程为4x 或3480 xy(2)当直线l的倾斜角为135时，直线l的方程为30 xy 圆心2,3C到直线l的距离为23322 弦长为222 2(2)2 2【答案点睛】本题考查了直线的方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及弦长公式，培养了学生分析问题与解决问题的能力.