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1、1解三角形三角函数、解三角形、平面向量与数列考向预测正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题知识与技巧的梳理正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC 中，asinAbsinBcsinC 2R(R 为ABC 的外接圆半径)；变形：a 2RsinA，sinAa2R，a b c sinA sinB sinC 等(2)余弦定理在ABC 中，a2 b2 c2 2bccosA；变形：b2 c2 a2 2bccosA，cosAb2 c2 a22bc(3)三角形面积公式SABC12absinC12bcsinA12acsinB热点题型热点一利
2、用正(余)弦定理进行边角计算【例1】(2017 武汉二模)在ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C 的对边，且2cosAcosC(tan AtanC 1)1(1)求 B 的大小；(2)若 a c3 32，b3，求ABC 的面积解(1)由 2cosAcosC(tan AtanC 1)1，得 2(sin AsinC cosAcosC)1，即cos(A C)12，cosBcos(A C)12，又 0B，B32(2)由余弦定理得cosBa2 c2 b22ac12，（a c）2 2ac b22ac12，又a c3 32，b3，274 2ac 3 ac，即ac54，SABC12acsinB1254325
3、 316探究提高1高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形2关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口【训练1】(2017 全国 卷)ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sin(A C)8sin2B2(1)求 cosB；(2)若 a c 6，ABC 面积为2，求b解(1)由题设及A B C，得sinB 8sin2B2，故 sinB 4(1 cosB)上式两
4、边平方，整理得17cos2B 32cosB 15 0，解得cosB 1(舍去)，cosB1517(2)由 cosB1517得 sinB817，故 SABC12acsinB417ac又 SABC 2，则ac172由余弦定理及a c 6 得b2 a2 c2 2accosB(a c)2 2ac(1 cosB)36 217211517 4所以b 2热点二应用正、余弦定理解决实际问题【例2】(2017 衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处(点 C 在水平地面下方，O 为 CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，
5、B 两地相距100米，BAC 60，其中A 到 C 的距离比B 到 C 的距离远40米A 地测得该仪器在C处的俯角为OAC 15，A 地测得最高点H 的仰角为HAO 30，则该仪器的垂直弹射高度CH 为()3A 210(62)米B 1406米C 2102米D 20(62)米解析由题意，设AC x米，则BC (x 40)米，在ABC 内，由余弦定理：BC2 BA2 CA2 2BACA cos BAC，即(x 40)2 x2 10000 100 x，解得x 420米在ACH 中，AC 420米，CAH 30 15 45，CHA 90 30 60，由正弦定理：CHsin CAHACsin AHC可得
6、CH AC sin CAHsin AHC 140 6(米)答案B探究提高1实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解【训练2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75 的方向上，仰角为30，则此山的高度CD _m解析由题意，在ABC 中，BA
7、C 30，ABC 180 75 105，故ACB 45又 AB 600m，故由正弦定理得600sin45BCsin30，解得BC 300 2(m)在 Rt BCD 中，CD BC tan 30 300 233 100 6(m)答案100 6热点三解三角形与三角函数的交汇问题【例3】(2017 长沙质检)已知函数f(x)2 3sinxcosx 2cos2x 1，x R(1)求函数f(x)的最小正周期和最小值；4(2)在ABC 中，A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知c3，f(C)0，sinB 2sinA，求a，b 的值解(1)f(x)3sin2x 2cos2x 13sin2x(cos2x 1
8、)13sin2x cos2x 2 2sin2x6 2，所以函数f(x)的最小正周期T22，最小值为4(2)因为f(C)2sin2C6 2 0，所以sin2C6 1，又C(0，)，知62C6b，a 5，c 6，sinB35(1)求 b 和 sinA 的值；(2)求 sin2A4 的值精准预测题1(2017 南昌模拟)已知cosx3 13，则cos2x53 sin23 x的值为()A19B19C53D532(2017 郑州二模)在ABC 中，三内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且c b2c asinAsinB sinC，则角B7_ 3设f(x)sinxcosx cos2x4(1)求 f(x)
9、的单调区间；(2)在锐角ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c若fA2 0，a 1，求ABC 面积的最大值4(2017 衡水中学调研)在ABC 中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若(a c)sin A bsinB(a b c)sin C 0(1)求角A；(2)当 sinB sinC 取得最大值时，判断ABC 的形状8参考答案经典常规题1【解题思路】由 cosAb2 c2 a22bc结合已知条件代入消元即可【答案】因为b c，a2 2b2(1 sinA)，所以cosAb2 c2 a22bc2b2 2b2（1 sinA）2b2，则cosA sinA在ABC 中，A4故选C2【
10、解题思路】由BAC 消去角B，再化简即可得到A，再利用正弦定理求C【答案】由题意得sin(A C)sinA(sin C cosC)0，sinAcosC cosAsinC sinAsinC sinAcosC 0，则 sinC(sin A cosA)2sinCsinA4 0，因为sinC0，所以sinA4 0，又因为A(0，)，所以A4，所以A34由正弦定理asinAcsinC，得2sin342sinC，则 sinC12，得C6故选B3【解题思路】ABC中已知三边，可求ABC 的余弦，进而由互补关系得到DBC 的余弦【答案】依题意作出图形，如图所示，则 sin DBC sin ABC 由题意知AB
11、 AC 4，BC BD 2，则 sin ABC 154，cos ABC 14所以SBDC12BC BD sin DBC 1222154152因为cos DBC cos ABC 14BD2 BC2 CD22BD BC8 CD28，所以CD 109由余弦定理，得cos BDC 4 10 422 10104故分别填152，1044【解题思路】AD 把ABC 分为两个直角三角形，由长度关系即可得到相应的三角函数值【答案】设 BC 边上的高AD 交 BC 于点D，由题意B4，BD 13BC，DC 23BC，tan BAD 1，tan CAD 2，tan BAC 1 21 123，所以cos BAC 10
12、10故选C高频易错题1【解题思路】由余弦定理结合c2(a b)2 6 可得ab 的值【答案】c2(a b)2 6，即c2 a2 b2 2ab 6 C3，由余弦定理得c2 a2 b2 ab，由和得ab 6，SABC12absinC126323 32故选C2【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及+=A B C 朝能约的方向进行化简【答案】等式右边2sinAcosC cosAsinC sinAcosC sin(A C)sin AcosC sinB等式左边2sinBcosC sinB，则 2sinBcosC sinB sinAcosC sinB，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cosC
13、不为0所以2sinB sinA，根据正弦定理，得a 2b故选A3【解题思路】边化角再利用和差角公式即可【答案】由正弦定理得2sinBcosB sinAcosC sinCcosA sin(A C)sinB 2sinBcosB sinB，又 sinB0，cosB12，故B3故填34【解题思路】(1)由余弦定理求出b，再由正弦定理求出sinA(2)利用和差角公式和二倍角公式即可【答案】解(1)在ABC 中，因为ab，故由sinB35，可得cosB45由已知及余弦定理，有b2 a2 c2 2accosB 13，所以b13由正弦定理asinAbsinB，得sinAasinBb3 1313所以，b 的值为
14、13，sinA 的值为3 131310(2)由(1)及 ac，得cosA2 1313，所以sin2A 2sinAcosA1213，cos2A 1 2sin2A513故 sin2A4 sin2Acos4 cos2Asin47 226精准预测题1【解题思路】注意角度关系：52233xx【答案】cos2x53 sin23 xcos2x23 sin2x3 1 2cos2x3 1 cos2x3 2 3cos2x3 53故选C2【解题思路】角化边即可得【答案】由c b2c asinAsinB sinC及正弦定理，得c b2c aab c，则a2 c2 b22ac，cosBa2 c2 b22ac22，从而B
15、4故填43【解题思路】(1)利用二倍角公式进行化简(2)利用余弦定理结合均值不等式求解【答案】解(1)由题意知f(x)sin2x21 cos2x22sin2x21 sin2x2 sin2x12由2 2k 2x2 2k，k Z,可得4 k x4 k，k Z；由2 2k 2x32 2k，k Z,可得4 k x34 k，k Z所以f(x)的单调递增区间是4 k，4 k(k Z)；11单调递减区间是4 k，34 k(k Z)(2)由 fA2 sinA12 0，得sinA12，由题意知A 为锐角，所以cosA32由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA，可得13bc b2 c2 2bc，即bc 23，
16、且当b c时等号成立因此12bcsinA234所以ABC 面积的最大值为2344【解题思路】(1)角化边(2)由 B C23，消元留一个未知量，再化sinyAx形式，进而根据角度范围确定其值域【答案】解(1)由正弦定理asinAbsinBcsinC 2R，可得sinAa2R，sinBb2R，sinCc2R代入(a c)sin A bsinB(a b c)sin C 0 化简整理得：b2 c2 a2 bc，则b2 c2 a22bc12，所以cosA12又因为A 为三角形内角，所以A3(2)由(1)得 B C23，所以sinB sinC sinB sin23 B sinB sin23cosB cos23sinB32sinB32cosB3sinB6 因为0B23，所以6B656，所以当B3时，B62，sinB sinC 取得最大值3，因此C (A B)3，所以ABC 为等边三角形