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1、文档仅供参考 文档仅供参考 13.2 命题与证明 专题一 三角形中的计算与证明题 1.已知ABC 的高为 AD,BAD=70,CAD=20,求BAC 的度数.2.如图,已知 ABDE,试求证：A+ACD+D=3600（你有几种证法?）3.在研究三角形内角和等于 180的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明：在ABC 中,延长 BC 到 D,ACD=A+B（三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.又ACD+ACB=180（平角定义）,A+B+ACB=180（等式的性质）.小虎：在ABC 中,作 CDAB（如图 9）,CDAB（已知）,ADC=BDC=90（直角定义）.A+ACD=
2、90,B+BCD=90（直角三角形两锐角互余）.A+ACD+B+BCD=180（等式的性质）.A+B+ACB=180.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,与同伴交流.专题二 证明中的探究题 4.（1）如图1 2 与BC 有什么关系？为什么？（2）把图ABC 沿 DE 折叠,得到图,填空：1 2_BC(填“”“”“=”),当A40时,BC1 2 _.（3）如图,是由图的ABC 沿 DE 折叠得到的,如果A30,则 xy360（BC1 2）360 ,猜想BDACEA 与A 的关系为 A B C D 文档仅供参考 文档仅供参考 .5.如图
3、,已知ABCD,探究123，之间的关系,并写出证明过程 【知识要点】1.判断一件事情的语句叫命题,命题都由题设和结论两部分构成,分为真命题和假命题,都可以改写成“如果那么”的形式,任何一个命题都有逆命题.2.三角形内角和等于 180,可利用平行线的有关知识证明.三角形三个外角的和等于360,每个外角等于和其不相邻的两个内角的和,因此三角形的外角大于和它不相邻的任一个内角.【温馨提示】1.命题有逆命题,但定理不一定有逆定理.2.要说明一个命题不成立,只要举出一个反例即可,反例满足命题的题设,但不满足结论.3.“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”不能说成“三角形的一个外角大于一个内角”
4、.4.在证明一个命题的正确性时,每步都要有根据,根据可以是公理、定义、已知条件或已经证明的定理等.【方法技巧】1.要会判断一个语句是否为命题,需注意两点：（1）命题必须是一个完整的语句,通常是陈述句(包括肯定句和否定句);(2)必须对某件事情做出肯定或否定的判断.两者缺一不可.2.在证明或计算三角形的角度大小关系时,要注意“三角形三个内角的和等于 180”这一隐含条件,合理地构造方程或方程组,以便正确求解.3.要证明角的不等关系时,经常用三角形的外角性质来证明,在证明时,如果直接证明有难度,可连接两点,或延长某边,构造三角形,使求证的大角(或它的一部分)处于某个三角形的外角的位置上,小角处在内
5、角的位置上,再结合不等式的性质证明.yxADCBE12ADCBE12ADCBE图 图 图 文档仅供参考 文档仅供参考 参考答案 1.（1）当高 AD 在ABC 的内部时,因为BAD=70,CAD=20,所以BAC=BAD+CAD=70+20=90;（2）当高 AD 在ABC 的外部时,因为BAD=70,CAD=20,所以BAC=BAD-CAD=70-20=50.综合（1）、（2）可知BAC 的度数为 90或 50.2.证法一：如图 1,过点 C 作 CFAB.ABCD（已知）,CFDE（两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行）,A+1=1800 D+2=1800（两直线平行,同旁
6、内角互补）,A+1+2+D=3600（等式性质）,即A+ACD+D=3600 证法二：如图 2,过点 C 作 CFAB.ABCD（已知）,CFDE（两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行）,A=ACF D=DCF（两直线平行,内错角相等）,ACD+ACF+DCF=3600（周角定义）,A+ACD+D=3600（等式性质）3.两名同学的证法都不对.因为“三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角和”与“直角三角形两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.另证：已知：如图 10,ABC,求证：A+B+C=180.证明：过点 A 作 EFBC,EAB=B,FAC=C(两直线平行,内错角相等
7、).EAB+BAC+FAC=180(平角定义),B+BAC+C=180.4.(1)1+2+A=180,A+B+C=180(三角形内角和等于 180),1+2=B+C(等式的性质);(2)=280(3)300 60 BDACEA=2A 5.132180 证明：如图 6,连接ACABCD（已知）,180BACDCA（两直线平行,同旁内角互补）又2EACECA（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）,13BACEACDCAECA，,13180EACECA,也就是13()180EACECA,即132180 A E C B F 文档仅供参考 文档仅供参考 文档仅供参考 文档仅供参考 专题一 图形
8、平移中的规律探究题 1.）在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点 O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动 1 个单位其行走路线如下图所示 （1）填写下列各点的坐标：A4（,）,A8（,）,A12（,）；（2）写出点 A4n的坐标（n 是正整数）；（3）指出蚂蚁从点 A100到点 A101的移动方向 2.如图所示,矩形 ABCD 的顶点坐标分别为 A(1,1),B(2,1),C(2,3),D(1,3).(1)将矩形 ABCD 向上平移 2 个单位,画出相应的图形,并写出各点的坐标；(2)将矩形 ABCD 各个顶点的横坐标都减去 3,纵坐标不变,画出相应的图形；(3)观察（1）、
9、（2）中的到的矩形,你发现了什么？3.在直角坐标系中,ABC 的三个顶点的位置如图所示,现将ABC 平移使得点 A 移至图中的点 A的位置(1)在直角坐标系中,画出平移后所得ABC（其中B、C分别是 B、C 的对应点）(2)计算：对应点的横坐标的差：AAxx ,BBxx ,CCxx ；对应点的纵坐标的差：AAyy ,BByy ,CCyy .(3)从（2）的计算中,你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来(4)根据上述规律,若将ABC 平移使得点 A 移至 A（2,-2）,那么相应的点 B、C（其中 B、C分别是 B、C 的对应点）的坐标分别是 、O 1 A1 A2 A3 A4 A5 A
10、6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 x y 文档仅供参考 文档仅供参考 专题二 图形平移中的规律探究题 4.初三年级某班有 54 名学生,所在教室有 6 行 9 列座位,用（m,n）表示第 m 行第 n 列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为（m,n）,如果调整后的座位为（i,j）,则称该生作了平移 a,b=m-i,n-j,并称 a+b 为该生的位置数.若某生的位置数为 10,则当 m+n 取最小值时,mn 的最大值为 .5.国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格
11、,而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个 4 4 的小方格棋盘,图中的“皇后 Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.(1)在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后 Q”,她所在的位置可用“（2,3）”来表示,请说明“皇后 Q”所在的位置“（2,3）”的意义,并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后 Q”所控制的四个位置.(2)如图丙也是一个 4 4 的小方格棋盘,请在这个棋盘中放入四个“皇后 Q”,使这四个“皇后 Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母 Q 即可）.【知识要点】1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点(x,y)右（左）移 m 个单位,得对应点
12、(xm,y),点(x,y)上（下）移 n 个单位,得对应点(x,yn).2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点,转化为点的平移变换解决.【温馨提示】1.平移只改变物体的位置,不改变的物体的形状和大小,因此,平移前后图形的面积不变.2.一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之,如果图形上的点的坐标发生变化,那么这个图形进行了平移.【方法技巧】1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键,平移的方向决定了坐标是加还是减,平移的距离决定了加(或减)的数值.2.作平移后的图形时,可先作出平移后图形中某些特殊点,然后再连结即可得到所需要1 2 3 4
13、1 2 3 4 Q 甲 1 2 3 4 1 2 3 4 Q 行 列 乙 1 2 3 4 1 2 3 4 丙 第 5 题图 文档仅供参考 文档仅供参考 的图形.参考答案 1.A4（2,0）；A8（4,0）；A12（6,0）；A4n（2n,0）；向上 2.(1)将 矩 形 向 上 平 移 2 个 单 位,画 出 图 形（略）,矩 形 相 应 点 的 坐 标 为11(1,3),(2,3)AB,11(2,5),(1,5)CD.(2)22(2,1),(1,1)AB,22(1,3),(2,3)CD.图形略.（3）发现（1）、（2）中的两图形形状、大小完全相同.3.(1)平移后的图形如图;(2)5 5 5 1 1 1(3)对应点的横坐标的差都相等；对应点的纵坐标的差都相等（保持不变）;(4)（4,-3）,（6,0）.4.36 提示:由已知,得 a+b=m-i+n-j,即 m-i+n-j=10,所以 m+n=10+i+j,当m+n 取最小值时,i+j最小为 2,所以 m+n的最小值为 12,因为 m+n=12=3+9=4+8=5+7=6+6=,mn 的最大值为 6 6=36 5.(1)说 明 皇 后 在 第2 列,第3 行 的 位 置,不 能 被 控 制 的 位 置 有(4,4),(1,1),(3,1),(4,2);(2)放在如(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)四个位置.