《专升本高数复习资料(超新超全).docx30115.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专升本高数复习资料(超新超全).docx30115.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 实用标准文档 严格依据大纲编写：笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 复习考试要求 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。会求函数在一点 处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求 极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。第二节函数的连续性 复习考试要求 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关 系，掌握判断函数（
2、含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 复习考试要求 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点 处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一
3、阶微分。文案大全 实用标准文档 第二节导数的应用 复习考试要求 1.熟练掌握用洛必达法则求“0”、“-”型未定式的极限的方法。2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单 调性证明简单的不等式。3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 复习考试要求 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。2.熟练掌握不定积分的基本公式。3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三
4、角代换与简单的根式代换）。4.熟练掌握不定积分的分部积分法。5.掌握简单有理函数不定积分的计算。第二节定积分及其应用 复习考试要求 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。4.熟练掌握牛顿莱布尼茨公式。5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成 的旋转体的体积。第四章多元函数微分学 文案大全 实用标准文档 复习考试要求 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解
5、二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续的概念。3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握 二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。第五章概率论初步 复习考试要求 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。4.理解概率的古典型意义
6、，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。6.了解随机变量的概念及其分布函数。7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。第一章极限和连续 第一节极限 复习考试要求 1.了解极限的概念（对极限定义 等形式的描述不作要求）。会求函数在一点 处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）
7、。会运用等价无穷小量代换求 极限。4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。主要知识容 文案大全 实用标准文档 （一）数列的极限 1.数列 定 按一定 序排列的无 多个数 称 无 数列，称数列，作 xn，数列中每一个数称 数列的，第 n xn 数 列的一般 或通，例如 （1）1，3，5，（2n-1），（等差数列）（2）（等比数列）（3）（增数列）（4）1，0，1，0，（震 数列）都是数列。它 的一般 分 （2n-1）,。于每一个正整数 n，都有一个 xn 与之 ，所以 数列 xn 可看作自 量 n 的函数 xn=f（n），它的定 域是全体正整数，当自 量 n 依次取 1,2,3 一切正整数，的函
8、数 就排列成数列。在几何上，数列 xn 可看作数 上的一个 点，它依次取数 上的点 x1,x2,x3,.xn,。2.数列的极限 定 于数列 xn，如果当 n，xn 无限地 于一个确定的常数 A，称当 n 于无 大，数列 xn 以常数 A 极限，或称数列收 于 A，作比如：无限的 向 0 ，无限的 向 1 否，于数列 xn，如果当 n ，xn 不是无限地 于一个确定的常数，称数列 xn 没有极限，如果数列没有极限，就称数列是 散的。比如：1，3，5，（2n-1），1，0，1，0，数列极限的几何意：将常数 A 及数列的 依次用数 上的点表示，若数列 xn 以 A 极限，就表示当 n 于无 大，点
9、xn 可以无限靠近点 A，即点 xn 与点 A 之 的距离|xn-A|于 0。比如：文案大全 实用标准文档 无限的 向 0 无限的 向 1 （二）数列极限的性 与运算法 1.数列极限的性 定理 1.1（惟一性）若数列 xn 收，其极限 必定惟一。定理 1.2（有界性）若数列 xn 收，它必定有界。注意：个定理反 来不成立，也就是，有界数列不一定收。比如：1，0，1，0，有界：0，1 2.数列极限的存在准 定理 1.3（两面 准）若数列 xn,yn,zn 足以下条件：（1），（2），定理 1.4 若数列 xn 有界，它必有极限。3.数列极限的四 运算定理。定理 1.5 （1）（2）（3）当，（三
10、）函数极限的概念 1.当 xx0 函数 f（x）的极限 （1）当 xx0 f（x）的极限 定 于函数 y=f（x），如果当 x 无限地 于 x0 ，函数 f（x）无限地 于一个常 数 A，称当 xx0 ，函数 f（x）的极限是 A，作 或 f（x）A（当 xx0 ）例 y=f（x）=2x+1 x1,f（x）?x1x 1 文案大全 实用标准文档 （2）左极限 当 xx0 时 f（x）的左极限 定义对于函数 y=f（x），如果当 x 从 x0 的左边无限地趋于 x0 时，函数 f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 xx0 时，函数 f（x）的左极限是 A，记作 或 f（x0-0）=A （3）右极
11、限 当 xx0 时，f（x）的右极限 定义对于函数 y=f（x），如果当 x 从 x0 的右边无限地趋于 x0 时，函数 f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 xx0 时，函数 f（x）的右极限是 A，记作 或 f（x0+0）=A 例子：分段函数 ，求，解：当 x 从 0 的左边无限地趋于 0 时 f（x）无限地趋于一个常数 1。我们称当 x0 时，f（x）的左极限是 1，即有 当 x 从 0 的右边无限地趋于 0 时，f（x）无限地趋于一个常数-1。我们称当 x0 时，f（x）的右极限是-1，即有 显然，函数的左极限 右极限 与函数的极限 之间有以下关系：定理 1.6 当 xx0 时，函数
12、 f（x）的极限等于 A 的必要充分条件是 反之，如果左、右极限都等于 A，则必有。x1 时 f(x)?x1 文案大全 实用标准文档 x1f(x)2 对于函数，当 x1 时，f（x）的左极限是 2，右极限也是 2。2.当 x时，函数 f（x）的极限 （1）当 x时，函数 f（x）的极限 y=f(x)x f(x)?y=f(x)=1+xf(x)=1+1 定义对于函数 y=f（x），如果当 x时，f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 x 时，函数 f（x）的极限是 A，记作 或 f（x）A（当 x时）（2）当 x+时，函数 f（x）的极限 定义对于函数 y=f（x），如果当 x+时，f（x）无限地
13、趋于一个常数 A，则称当 x+时，函数 f（x）的极限是 A，记作 这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中 n+的 n 是正整数；而 在这个定义中，则要明确写出 x+，且其中的 x 不一定是正整数，而为任意实数。y=f(x)x+f(x)x？x+，f(x)=2+2 例：函数 f（x）=2+e-x ，当 x+时，f（x）？解：f（x）=2+e-x=2+，x+，f（x）=2+2 所以 （3）当 x-时，函数 f（x）的极限 文案大全 实用标准文档 定义对于函数 y=f（x），如果当 x-时，f（x）无限地趋于一个常数 A，则称当 x-时，f（x）的极限是 A，记作 x-f(x)？则 f
14、(x)=2+(x0)x-,-x+f(x)=2+2 例：函数，当 x-时，f（x）？解：当 x-时，-x+2，即有 由上述 x，x+，x-时，函数 f（x）极限的定义，不难看出：x时 f（x）的极限是 A 充分必要条件是当 x+以及 x-时，函数 f（x）有相同的极限 A。例如函数，当 x-时，f（x）无限地趋于常数 1，当 x+时，f（x）也无限 地趋于同一个常数 1，因此称当 x时 的极限是 1，记作 其几何意义如图 3 所示。f(x)=1+y=arctanx 不存在。但是对函数 y=arctanx 来讲，因为有 文案大全 实用标准文档 即虽然当 x-时，f（x）的极限存在，当 x+时，f（
15、x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当 x时，y=arctanx 的极限不存在。x)=1+y=arctanx 不存在。但是对函数 y=arctanx 来讲，因为有 即虽然当 x-时，f（x）的极限存在，当 x+时，f（x）的极限也存在，但这两 个极限不相同，我们只能说，当 x时，y=arctanx 的极限不存在。（四）函数极限的定理 定理 1.7（惟一性定理）如果 存在，则极限值必定惟一。定理 1.8（两面夹定理）设函数 在点 的某个邻域（可除外）满足条件：（1），（2）则有。注意：上述定理 1.7 及定理 1.8 对 也成立。下面我们给出函数极限的四则运算定理 定理 1.9 如
16、果 则 （1）（2）（3）当 时，时，上述运算法则可推广到有限多个函数的代数和及乘积的情形，有以下推论：（1）（2）（3）文案大全 实用标准文档 用极限的运算法 求极限，必 注意：些法 要求每个参与运算的函数的极限存 在，且求商的极限，要求分母的极限不能 零。另外，上述极限的运算法 于 的情形也都成立。（五）无 小量和无 大量 1.无 小量（称无 小）定 于函数，如果自 量 x 在某个 化 程中，函数 的极限 零，称在 化 程中，无 小量，一般 作 常用希腊字母，来表示无 小量。定理 1.10 函数 以 A 极限的必要充分条件是：可表示 A 与一个无 小量之和。注意：（1）无 小量是 量，它不
17、是表示量的大小，而是表示 量的 化 无限 于 零。（2）要把无 小量与很小的数 格区分开，一个很小的数，无 它多么小也不是无 小量。（3）一个 量是否 无 小量是与自 量的 化 密相关的。在不同的 化 程中，同一个 量可以有不同的 化 ，因此 也不尽相同。例如：振 型 散 （4）越 越小的 量也不一定是无 小量，例如当 x 越 越大，就越 越小，但 它不是无 小量。（5）无 小量不是一个常数，但数“0”是无 小量中惟一的一个数，是因 。2.无 大量（称无 大）定；如果当自 量（或），的 可以 得充分大（也即无限地增大），称在 化 程中，无 大量。作。注意：无 大（）不是一个数，“”是一个 号，
18、不能写成 或。3.无 小量与无 大量的关系 无 小量与无 大量之 有一种 的关系，以下的定理。文案大全 实用标准文档 定理 1.11 在同一变化过程中，如果 为无穷大量，则 为无穷小量；反之，如果 为 无穷小量，且，则 为无穷大量。当 无穷大 无穷小 当 为无穷小 无穷大 4.无穷小量的基本性质 性质 1 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量；性质 2 有界函数（变量）与无穷小量的乘积是无穷小量；特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量。性质 3 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。性质 4 无穷小量除以极限不为零的变量所得的商是无穷小量。5.无穷小量的比较 定义设 是同一变化过程中的无穷小量，即 。
19、（1）如果 则称 是比 较高阶的无穷小量，记作；（2）如果 则称 与 为同阶的无穷小量；（3）如果 则称 与 为等价无穷小量，记为；（4）如果 则称 是比 较低价的无穷小量。当 等价无穷小量代换定理：如果当时，均为无穷小量，又有 且 存在，则。均为无穷小 又有 文案大全 实用标准文档 这个性质常常使用在极限运算中，它能起到简化运算的作用。但是必须注意：等价无 穷小量代换可以在极限的乘除运算中使用。常用的等价无穷小量代换有：当 时，sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx x;（六）两个重要极限 1.重要极限 重要极限是指下面的求极限公式 令 这个公式很重要，应用它可以计算三
20、角函数的 型的极限问题。其结构式为：2.重要极限 重要极限是指下面的公式：文案大全 实用标准文档 其中 e 是个常数（行家常数），叫自然 数的底，它的 e=2.718281828495045 其 构式：重要极限是属于 型的未定型式，重要极限是属于“”型的未定式，两个重要极限在极限 算中起很重要的作用，熟 掌握它 是非常必要的。（七）求极限的方法：1.利用极限的四 运算法 求极限；2.利用两个重要极限求极限；3.利用无 小量的性 求极限；4.利用函数的 性求极限；5.利用洛必达法 求未定式的极限；6.利用等价无 小代 定理求极限。基本极限公式 （2）（3）（4）例 1.无 小量的有关概念 （1）
21、9601 下列 量在 定 化 程中 无 小量的是 A.B.C.D.答C A.散 D.（2）0202 当 ，与 x 比 是 A.高 的无 小量 B.等价的无 小量 C.非等价的同 无 小量 D.低 的无 小量 答B 文案大全 实用标准文档 解:当,与 x 是 极限的运算：0611 解：答案-1 例 2.型因式分解约分求极限 （1）0208 答 解:（2）0621 计算 答 解:例 3.型有理化约分求极限 （1）0316 计算 答 解:（2）9516 答 解:例 4.当 时求 型的极限 答 （1）0308 一般地，有 文案大全 实用标准文档 例 5.用重要极限求极限 （1）9603 下列极限中，成
22、立的是 A.B.C.D.答B （2）0006 答 解:例 6.用重要极限求极限 （1）0416 计算 答 解析 解一：令 解二：0306 0601 （2）0118 计算 答 解:例 7.用函数的连续性求极限 0407 答0 解:文案大全 实用标准文档 ，例 8.用等价无穷小代换定理求极限 0317 答0 解:当 例 9.求分段函数在分段点处的极限 （1）0307 设 则 在 的左极限 答1 解析 （2）0406 设,则 答1 解析 例 10.求极限的反问题 （1）已知 则常数 解析 解法一：，即，得.解法二：令，得，解得.解法三：（洛必达法则）即，得.（2）若 求 a,b 的值.解析 型未定式
23、.当 时，.令 于是，得.文案大全 实用标准文档 即，所以.0402 0017，则 k=_.（答:ln2）解析 前面我们讲的容：极限的概念；极限的性质；极限的运算法则；两个重要极限；无穷小量、无穷大量的 概念；无穷小量的性质以及无穷小量阶的比较。第二节函数的连续性 复习考试要求 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关 系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。2.会求函数的间断点。3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。主要知识容 （一）函数连续的概念 1.函数在点
24、 x0 处连续 定义 1 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个邻域有定义，如果当自变量的改变量 x（初值为 x0）趋近于 0 时，相应的函数的改变量 y 也趋近于 0，即 则称函数 y=f（x）在点 x0 处连续。函数 y=f（x）在点 x0 连续也可作如下定义：定义 2 设函数 y=f（x）在点 x0 的某个邻域有定义，如果当 xx0 时，函数 y=f（x）的极限值存在，且等于 x0 处的函数值 f（x0），即 文案大全 实用标准文档 定义 3 设函数 y=f（x），如果，则称函数 f（x）在点 x0 处左连续；如果，则称函数 f（x）在点 x0 处右连续。由上述定义 2 可知如果函数 y
25、=f（x）在点 x0 处连 续，则 f（x）在点 x0 处左连续也右连续。2.函数在区间 a，b 上连续 定义如果函数 f（x）在闭区间 a，b 上的每一点 x 处都连续，则称 f（x）在闭区间 a，b 上连续，并称 f（x）为 a，b 上的连续函数。这里，f（x）在左端点 a 连续，是指满足关系：，在右端点 b 连续，是指满足关 系：，即 f（x）在左端点 a 处是右连续，在右端点 b 处是左连续。可以证明：初等函数在其定义的区间都连续。3.函数的间断点 定义如果函数 f（x）在点 x0 处不连续则称点 x0 为 f（x）一个间断点。由函数在某点连续的定义可知，若 f（x）在点 x0 处有下
26、列三种情况之一：（1）在点 x0 处，f（x）没有定义；（2）在点 x0 处，f（x）的极限不存在；（3）虽然在点 x0 处 f（x）有定义，且 存在，但 ，则点 x0 是 f（x）一个间断点。，则 f（x）在 A.x=0,x=1 处都间断 B.x=0,x=1 处都连续 C.x=0 处间断，x=1 处连续 D.x=0 处连续，x=1 处间断 解：x=0 处，f（0）=0 f（0-0）f（0+0）x=0 为 f（x）的间断点 x=1 处，f（1）=1 f（1-0）=f（1+0）=f（1）f（x）在 x=1 处连续 答案 C 文案大全 实用标准文档 9703 设，在 x=0 处连续，则 k 等于
27、A.0 B.C.D.2 分析：f（0）=k 答案 B 例 30209 设在 x=0 处连续，则 a=解：f（0）=e0=1 f（0）=f（0-0）=f（0+0）a=1 答案 1 （二）函数在一点处连续的性质 由于函数的连续性是通过极限来定义的，因而由极限的运算法则，可以得到下列连续函数的性质。定理 1.12（四则运算）设函数 f（x），g（x）在 x0 处均连续，则 （1）f（x）g（x）在 x0 处连续 （2）f（x）g（x）在 x0 处连续 （3）若 g（x0）0，则 在 x0 处连续。定理 1.13（复合函数的连续性）设函数 u=g（x）在 x=x0 处连续，y=f（u）在 u0=g （
28、x0）处连续，则复合函数 y=fg（x）在 x=x0 处连续。在求复合函数的极限时，如果 u=g（x），在 x0 处极限存在，又 y=f（u）在对应的处连续，则极限符号可以与函数符号交换。即 定理 1.14（反函数的连续性）设函数 y=f（x）在某区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少），则它的反函数 x=f-1（y）也在对应区间上连续，且严格单调增加（或严格单调减少）。（三）闭区间上连续函数的性质 在闭区间 a，b 上连续的函数 f（x），有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。文案大全 实用标准文档 定理 1.15（有界性定理）如果函数 f（x）在闭区间 a，b 上连续，则 f（x）
29、必在 a，b 上有界。定理 1.16（最大值和最小值定理）如果函数 f（x）在闭区间 a，b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值和最小值。定理 1.17（介值定理）如果函数 f（x）在闭区间 a，b 上连续，且其最大值和最小值 分别为 M 和 m，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 C，在 a，b 上至少存在一个，使得 推论（零点定理）如果函数 f（x）在闭区间 a，b 上连续，且 f（a）与 f（b）异号，则在 a，b 至少存在一个点，使得 f（）=0 （四）初等函数的连续性 由函数在一点处连续的定理知，连续函数经过有限次四则运算或复合运算而得的函数 在其定义的区间是连续函数。又由于基
30、本初等函数在其定义区间是连续的，可以得到 下列重要结论。定理 1.18 初等函数在其定义的区间连续。利用初等函数连续性的结论可知：如果 f（x）是初等函数，且 x0 是定义区间的点，则 f（x）在 x0 处连续 也就是说，求初等函数在定义区间某点处的极限值，只要算出函数在该点的函数值即可。0407 0611 文案大全 实用标准文档 例 1.证明三次代数方程 x3-5x+1=0 在区间（0,1）至少有一个实根.证：设 f（x）=x3-5x+1 f（x）在 0，1上连续 f（0）=1 f（1）=-3 由零点定理可知，至少存在一点（0，1）使得 f（）=0，3-5+1=0 即方程在（0，1）至少有一
31、个实根。本章小结 函数、极限与连续是微积分中最基本、最重要的概念之一，而极限运算又是微积分的三大运算中最基本的运算之一，必须熟练掌握，这会为以后的学习打下良好的基础。这一章的容在考试中约占 15%，约为 22 分左右。现将本章的主要容总结归纳如下：一、概念部分 重点：极限概念，无穷小量与等价无穷小量的概念，连续的概念。极限概念应该明确极限是描述在给定变化过程中函数变化的性态，极限值是一个确定的常数。函数在一点连续性的三个基本要素：（1）f（x）在点 x0 有定义。（2）存在。（3）。常用的是 f（x0-0）=f（x0+0）=f（x0）。二、运算部分 重点：求极限，函数的点连续性的判定。1.求函数极限的常用方法主要有：（1）利用极限的四则运算法则求极限；对于“”型不定式，可考虑用因式分解或有理化消去零因子法。（2）利用两个重要极限求极限；文案大全 实用标准文档 （3）利用无穷小量的性质求极限；（4）利用函数的连续性求极限；若 f（x）在 x0 处连续，则。（5）利用等价无穷小代换定理求极限；（6）会求分段函数在分段点处的极限；（7）利用洛必达法则求未定式的极限。2.判定函数的连续性，利用闭区间上连续函数的零点定理证明方程的根的存在性。文案大全