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1、-1-四川省泸县第二中学 2019-2020 学年高一数学下学期期中试题（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60 分）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合|91Axx，|73Bxx，则AB A.|73xx B.|93xx C.|91xx D.|71xx 【答案】D【解析】【分析】利
2、用集合交集的概念，直接求得两个集合的交集.【详解】两个集合的交集是由两个集合公共的元素构成，故7,1AB，故选 D.【点睛】本小题考查集合交集的概念，求解时要注意区间端点值是否能够取得，属于基础题.2.函数2()ln(1)2xf xxx的定义域为（）A.(1,)B.(1,2)(2,)C.1,2)(2,)D.(1,2)【答案】B【解析】【分析】由对数的真数大于零以及分母不等于零列不等式组即可求出答案 -2-【详解】由题意得，1020 xx，解得12x 或2x.【点睛】本题考查求具体函数的定义域问题，属于基础题 3.在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为2224bca，则角A等
3、于（）A.30 B.45 C.60 D.90【答案】B【解析】【分析】根据余弦定理可得2221cos42bcabcA，再根据面积公式可得sincosAA，从而可求出角A【详解】解：由余弦定理得2222cos1cos442bcabcAbcA，又根据三角形面积公式得2221sin42bcabcA，sincosAA，又角A为ABC的内角，45A，故选：B【点睛】本题主要考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属于基础题 4.在等比数列na中，已知5712411,8aaaaa，则5a的值为（）A.12 B.14 C.18 D.116【答案】D【解析】【分析】根据数列是等比数列得到公比，再由数列的通项公
4、式得到结果.-3-【详 解】因 为 数 列 是 等 比 数 列，故 得 到357241,8aaqaa进 而 得 到12q，则5a4111.216 故答案为 D.【点睛】这个题目考查了等比数列的通项的求法，是简单题.5.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若ACa，BDb，则AF A.1142ab B.2133ab C.1124ab D.1233ab【答案】B【解析】【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知 222()333AFACCFACCDACABACAOOB=2 112 11213 223 2233ACACBDaabab，选 B
5、.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，6.若4cos5，是第三象限角，则sin4（）A.7 210 B.7 210 C.210 D.210【答案】B -4-【解析】【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出sin的值，然后利用两角和的正弦公式可计算出sin4的值.【详解】是第三象限角，sin0，且2243sin1cos155 ，因此，32427 2sinsincoscossin444525210 ，故选 B.【点睛】本题考查两角和的正弦公式计算三角函数值，解题时充分利用同角三角函数的基本关系进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.7.在ABC中，内角A，B
6、，C的对边分别为a，b，c.若sin:sin:sin3:7:8ABC，则ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定【答案】C【解析】【分析】由正弦定理sinsinsinabcABC可推得:3:7:8a b c，再由余弦定理计算最大边的余弦值即可判断三角形形状【详解】因为sin:sin:sin3:7:8ABC，所以:3:7:8a b c，设3ak，bk，8ck，则角C为ABC的最大角，由余弦定理可得2222949641cos0427kkkCk，即2C，故ABC是钝角三角形.【点睛】本题考查用正弦定理和余弦定理解三角形，属于基础题 8.莱茵德纸草书是世界上最古老的数
7、学著作之一书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（）-5-A.53 B.103 C.56 D.116【答案】A【解析】【分析】设 5 人分到的面包数量从小到大记为 na，设公差为d，可得345127()aaaaa，5100S，求出3a，根据等差数列的通项公式，得到关于d关系式，即可求出结论.【详解】设 5 人分到的面包数量从小到大记为 na，设公差为d，依题意可得，15535()51002aaSa，33451220,7()aaaaaa，6037(403)dd，解得556d，1355522033aad.故选:
8、A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.9.若1cos86，则3cos24的值为()A.1718 B.1718 C.1819 D.1819【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式求出cos24的值，再利用诱导公式求出3cos24的值【详解】解：1cos()86，2cos(2)2cos()148 -6-212()16 1718，3cos(2)cos(2)44 cos(2)4 1718 故选：A【点睛】本题考查了余弦二倍角公式与诱导公式的应用问题，属于基础题 10.已知函数21(1)()2(1)axxf xxxx
9、x在R上单调递增，则实数a的取值范围是 A.0,1 B.0,1 C.1,1 D.1,1【答案】C【解析】x 1 时,f(x)=(x 1)2+1 1，x1 时,21,10aafxxfxxx 在(1,+)恒成立，故ax2在(1,+)恒成立，故a 1，而 1+a+1 1，即a 1，综上,a 1,1，本题选择 C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题 11.关于函数()sin
10、|sin|f xxx有下述四个结论：f(x)是偶函数 f(x)在区间（2,）单调递增 -7-f(x)在,有 4 个零点 f(x)的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简函数 sinsinf xxx，研究它的性质从而得出正确答案【详解】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx为偶函数，故正确当2x时，2sinf xx，它在区间,2单调递减，故错误当0 x时，2sinf xx，它 有 两 个 零 点：0；当0 x时，sinsin2sinf xxxx，它有一个零点：，故 f x在,有3个零点：0 ，故 错 误 当2,2xkkk N时，2sinf
11、xx；当2,22xkkk N时，sinsin0f xxx，又 f x为偶函数，f x的最大值为2，故正确综上所述，正确，故选 C【点睛】画出函数 sinsinf xxx的图象，由图象可得正确，故选 C 12.已知函数2221,2,()2,2,xxxxf xx且存在三个不同的实数123,x x x，使得123()()()f xf xf x，则123xxx的取值范围为（）A.(4,5)B.4,5)C.(4,5 D.4,5【答案】A【解析】-8-不妨设123xxx，当2x 时，212fxx，此时二次函数的对称轴为1x，最大值为2，作出函数 f x的图象如图，由222x得3x，由 123f xf xf
12、 x，且1212xx，即122xx，12332,xxxx 由图可知3323,425xx，即123xxx的取值范围是4,5，故选 A.第II卷非选择题（90 分）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.函数 tan(2)3fxx图像的对称中心为_【答案】,0,()46kkZ【解析】【分析】依据正切函数的性质，代换即可求出对称中心【详解】因为函数tanyx的对称中心为,0)2k（，所以令232kx，解得46kx，故的对称中心为,0,()46kkZ【点睛】本题主要考查正切函数的对称性 14.已知点(1,3)A，(4,1)B，则与向量AB方向相同的单位向量的坐标为_.【答案】
13、34(,)55 -9-【解析】点1,3A，4,1B，3,4AB，可得223(4)5AB ，因此，与向量AB同方向的单位向量为：1343,4,555ABeAB 故答案为：34,55 15.sin50 13tan10_.【答案】1【解析】【分析】利用弦化切的运算技巧得出cos103sin10sin50cos 0sin50 13t1an10，然后利用辅助角、二倍角正弦以及诱导公式可计算出结果.【详解】原式2sin 1030sin50cos103sin102sin 40 cos40sin50cos10cos10cos10sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10.故答案为：1
14、.【点睛】本题考查利用三角恒等变换思想求非特殊角的三角函数值，在计算时要结合角之间的关系选择合适的公式化简计算，考查计算能力，属于中等题.16.设nS为数列 na的前n项和，1(1),2nnnnSanN 则123100.SSSS_【答案】10011(1)3 2【解析】【详解】当1n 时，1111124aaa ；当2n 时，1111111(1)(1)222nnnnnnnnnaSSaa ，即11(1)(1)2nnnnnnaaa ，-10-若n 为偶数，则1111(22nnnnaan 为奇数）；若n 为奇数，则11111112(2)()2222nnnnnnaa ，故1(2nnan是偶数）因为1111
15、44aa ，2212a，所以122122aa，同理可得344122aa，566122aa，991001001,22aa，所以10050100121001001001111(1)(1)1111111144222()()2(1)114162243 221142SSS，应选答案10011(1)3 2 点睛：本题运用演绎推理的思维方法，分别探求出数列各项的规律（成等比数列），再运用等比数列的求和公式，使得问题简捷、巧妙获解 三.解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量4,3,1,2ab (1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若向量ab与2ab垂直，求的值【答案】（1）
16、2 525；（2）529【解析】【分析】（1）分别求出a，b，a b，再代入公式cosa ba b求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到数量积为 0，从而构造出关于的方程，再求的值.-11-【详解】(1)22435a，22125b，1 43 22a b ，22 5cos2555a ba b.(2)4,3,24,32ab 28,61,27,8ab 若 2abab，则7 48 3 20，解得529.【点睛】本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力.18.已知函数2()sin 2sin 22cos1,33f xxxxxR.（1）求函数()f x的最小正周期；（2）求函
17、数()f x在区间,4 4 上的最大值和最小值.【答案】（）（）最大值为2，最小值为-1【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将 2222cos133f xsinxsinxx化为 224f xsinx，利用周期公式即可求得函数 f x的最小正周期；（2）可分析得到函数 f x在区间,4 8 上是增函数，在区间,8 4 上是减函数，从而可求得 f x在区间,4 4 上的最大值和最小值.试题解析：(1)f(x)sin 2xcos3cos 2xsin3sin 2xcos3cos 2xsin3cos 2x -12-sin 2xcos 2x2sin24x.所
18、以，f(x)的最小正周期T22.(2)因为f(x)在区间,4 8 上是增函数，在区间,8 4 上是减函数 又1,2.1484fff，故函数f(x)在区间,4 4 上的最大值为2，最小值为1.19.在数列 na中，14a，21(1)22nnnanann（1）求证：数列nan是等差数列；（2）求数列1na的前n项和nS【答案】(1)证明见解析.(2)nS 2(1)nn.【解析】【分析】（1）根据数列nan通项公式的特征，我们对21(1)22nnnanann，两边同时除以(1)n n，得到121nnaann，利用等差数列的定义，就可以证明出数列nan是等差数列；（2）求出数列1na的通项公式，利用裂
19、项相消法，求出数列1na的前 n 项和nS【详解】（1）21(1)22nnnanann的两边同除以(1)n n，得 121nnaann，又141a，-13-所以数列nan是首项为 4，公差为 2 的等差数列(2)由（1）得12(1)naann，即222,22nnanannn,故2111 112221nannnn，所以111111111122231212(1)nnsnnnn【点睛】本题考查了证明等差数列的方法以及用裂项相消法求数列前n和 已知1nnnabc，,nnb c都是等差数列，那么数列 na的前n和就可以用裂项相消法来求解 20.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知22
20、22coscosbcaacCcA.（1）求角A的大小；（2）若ABC的面积25 34ABCS，且5a，求sinsinBC.【答案】（）3A；（）3.【解析】试题分析：（）由余弦定理把已知条件化为22coscoscosbcAacCcA，再由正弦定理化为角的关系，最后由两角和与差的正弦公式及诱导公式可求得1cos2A，从而得A角；（）由三角形面积公式求得25bc，再由余弦定理可求得2250bc，从而得10bc，再由正弦定理得sinsinsin()ABCbca，计算可得结论.试题解析：（）因为2222coscosbcaacCcA，所以由22coscoscosbcAacCcA，即2 coscoscos
21、bAaCcA，由正弦定理得2sin cossin cossin cosBAACCA，即2sin cossinBAA C，sinsinsinA CBB，-14-2sin cossinBAB，即sin2cos10BA，0B，sin0B，1cos2A，0A，3A.（）1325 3sin244ABCSbcAbc，25bc，22222251cos22 252bcabcAbc，2250bc，250225100bc，即10bc，sinsinsinsinAABCbcaa 3sin21035Abca.21.在正项等比数列na中，11a 且3542,3a aa成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列nb满
22、足nnnba，求数列nb的前n项和nS【答案】(1)12nna(2)1242nnnS【解析】【分析】(1)根据已知条件11a 且3542,3a aa可解得公比,再代入通项公式即可得到;(2)利用错位相减法可求得nS.【详解】设正项等比数列an的公比为q(0)q,（1）53412231aaaa42311112231aaaaqqq,所以22320qq q2，12q (舍去)所以1112nnnaa q；（2）12nnnnnba，-15-01211232222nnnS，121112122222nnnnnS，得211111122222nnnnS 112112n122 12222nnnnn，1242nnn
23、S.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法,考查了等差中项,考查了利用错位相减法求和,本题属于基础题.22.如图所示，在平面四边形ABCD中，DAAB，22CDAEED，23ADC，3BEC，CED.（1）求sin的值；（2）求BE的长.【答案】（1）217；（2）4 7【解析】【分析】（1）在CDE中，由余弦定理2222cosECCDDECD EDEDC，可求得EC，再由正弦定理得sinsinECCDEDC，可求出sin；（2）先求出cos，结合23AEB，可得2coscos3AEB，再由cosAEBEAEB可求出答案.【详解】（1）在CDE中，由余弦定理，得 2222cos24 12 2 cos37ECCDDECD EDEDC，-16-在CDE中，由正弦定理，得sinsinECCDEDC.于是，23sin22132sin77CDEC.（2）由题设知，03，于是由（1）知，2212 7cos1 sin1497.而23AEB，所以2coscos3AEB227coscossinsin3314，在直角EAB中，24 7714BE.【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题.