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1、高考总复习 1 第 13 章 振动 波动 第 1 节 机械振动 一、简谐运动的特征 1简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。(3)回复力 定义：使物体返回到平衡位置的力。方向：总是指向平衡位置。来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。2简谐运动的两种模型 高考总复习 2 模型 弹簧振子 单摆 示意图 弹簧振子(水平)简谐运动条件 弹簧质量要忽略 无摩擦等阻力 在弹簧弹性限度内 摆线为不可伸缩的轻细线 无空气阻力等 最大摆角小于等于 5 回
2、复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切向)的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T2Lg 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 二、简谐运动的公式和图象 1简谐运动的表达式(1)动力学表达式：Fkx，其中“”表示回复力与位移的方向相反。(2)运动学表达式：xAsin(t)，其中A代表振幅，2f，表示简谐运动的快慢，t代表运动的相位，代表初相位。2简谐运动的图象(1)从平衡位置开始计时，函数表达式为xAsin t，图象如图甲所示。甲 乙(2)从最大位置开始计时，函数表达式为xAcos t，图象如图乙所示。三、受迫
3、振动和共振 1受迫振动(1)概念：振动系统在周期性驱动力作用下的振动。(2)特点：受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关。2共振(1)现象：当驱动力的频率等于系统的固有频率时，受迫振动的振幅最大。(2)条件：驱动力的频率等于固有频率。高考总复习 3(3)特征：共振时振幅最大。(4)共振曲线(如图所示)。1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。()(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。()(3)公式xAsin t说明是从平衡位置开始计时。()(4)简谐运动的图象描述的是振动质点的轨迹。()(5
4、)物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。()(6)物体受迫振动的频率与驱动力的频率无关。()2(多选)做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，相同的物理量是()A位移 B速度 C加速度 D回复力 E动量 ACD 简谐运动的位移是指由平衡位置指向物体所在位置的有向线段，物体经过同一位置时，运动位移一定相同，选项 A 正确；回复力产生加速度，回复力与位移满足Fkx的关系，只要位移相同，回复力一定相同，回复力产生的加速度也一定相同，选项 C、D 正确；经过同一位置，可能远离平衡位置，也可能靠近平衡位置，因此，速度的方向可能相反，选项 B、E 错误。3(多选)(2019陕西西安市联考)下列关于
5、简谐运动的说法正确的是()A速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动 B位移的方向总跟加速度的方向相反，跟速度的方向相同 C一个全振动指的是动能或势能第一次恢复为原来的大小所经历的过程 D位移减小时，加速度减小，速度增大 E物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同 ADE 速度和加速度第一次同时恢复为原来的大小和方向所经历的过程为一次全振动，故 A 正确；回复力与位移方向相反，故加速度和位移方向相反，但速度方向可以与位移方向相同，也可以相反，物体运动方向指向平衡位置时，速度的方向与位移的方向相反，背离平衡位置时，
6、速度方向与位移方向相同，故 B 错误，E 正确；一次全振动过程中，动能和势能高考总复习 4 均会有两次恢复为原来的大小，故 C 错误；当位移减小时，回复力减小，则加速度在减小，物体正在返回平衡位置，速度在增大，故 D 正确。4.(多选)如图所示为受迫振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆球，可以用一个单摆(称为“驱动摆”)驱动另外几个单摆。下列说法正确的是()A某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度可能不同而加速度一定相同 B如果驱动摆的摆长为L，则其他单摆的振动周期都等于 2Lg C如果驱动摆的摆长为L，振幅为A，若某个单摆的摆长大于L，振幅也大于A D如果某个单摆的摆长等于驱动摆
7、的摆长，则这个单摆的振幅最大 E驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量 ABD 某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可能不同，根据Fkx可得，加速度aFmkmx，故加速度一定相同，A 正确；如果驱动摆的摆长为L，根据单摆的周期公式有T2Lg，而其他单摆都是受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周期，B 正确；当受迫振动的单摆的固有周期等于驱动摆的周期时，受迫振动的振幅最大，故某个单摆的摆长大，振幅不一定也大，C 错误；同一地区，单摆的固有频率只取决于单摆的摆长，则只有摆长等于驱动摆的摆长时，单摆的振幅能够达到最大，这种现象称为共振，受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和
8、信息，D 正确，E 错误。5(多选)(2019江苏高考)一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的()A位移增大 B速度增大 C回复力增大 D机械能增大 AC 由简谐运动的特点可知，当偏角增大，摆球偏离平衡位置的位移增大，故 A 正确；当偏角增大，动能转化为重力势能，所以速度减小，故 B 错误；由回复力Fkx 可知，位移增大，回复力增大，故 C 正确；单摆做简谐运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，故 D 错误。简谐运动的特征 依题组训练 1(多选)(2019南昌模拟)关于水平放置的弹簧振子所做的简谐运动，下列说法正确的是()高考总复习 5 A位移的方向是由振子所在处指向平衡位置 B加速度
9、的方向总是由振子所在处指向平衡位置 C经过半个周期振子经过的路程一定是振幅的 2 倍 D若两时刻相差半个周期，弹簧在这两个时刻的形变量一定相等 E经过半个周期，弹簧振子完成一次全振动 BCD 位移的方向始终是由平衡位置指向振子所在处，选项 A 错误；加速度的方向始终是由振子所在处指向平衡位置，选项 B 正确；经过半个周期，振子经过的路程是振幅的 2倍，若两时刻相差半个周期，两时刻弹簧的形变量一定相等，选项 C、D 正确；经过一个周期，弹簧振子完成一次全振动，选项 E 错误。2(多选)(2019福建百校联考)如图所示，两根完全相同的轻质弹簧和一根绷紧的轻质细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上。已
10、知物块甲的质量是物块乙质量的 4 倍，弹簧振子做简谐运动的周期T2mk，式中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中，下列说法正确的是()A物块甲的振幅是物块乙振幅的 4 倍 B物块甲的振幅等于物块乙的振幅 C物块甲的最大速度是物块乙最大速度的12 D物块甲的振动周期是物块乙振动周期的 2 倍 E物块甲的振动频率是物块乙振动频率的 2 倍 BCD 线未断开前，两根弹簧伸长的长度相同，故线断开后两物块离开平衡位置的最大距离相同，即振幅相同，故 A 错误，B 正确；当线断开的瞬间，弹簧的弹性势能相同，到达平衡位置时，甲、乙的最大动能相同，由于甲的质
11、量大于乙的质量，由Ek12mv2知道，甲的最大速度是乙的最大速度的12，故 C 正确；根据T2mk可知，甲的振动周期是乙的振动周期的 2 倍，根据f1T可知，甲的振动频率是乙的振动频率的12，故 D 正确，E 错误。3(多选)(2019鞍山模拟)弹簧振子做简谐运动，O为平衡位置，当它经过点O时开始计时，经过 0.3 s，第一次到达点M，再经过 0.2 s 第二次到达点M，则弹簧振子的周期不可能为()A0.53 s B1.4 s C1.6 s D2 s E3 s 高考总复习 6 BDE 如图甲所示，设O为平衡位置，OB(OC)代表振幅，振子从OC所需时间为T4。因为简谐运动具有对称性，所以振子从
12、MC所用时间和从CM所用时间相等，故T40.3 s0.22 s0.4 s，解得T1.6 s；如图乙所示，若振子一开始从平衡位置向点B运动，设点M与点M关于点O对称，则振子从点M经过点B到点M所用的时间与振子从点M经过点C到点M所需时间相等，即 0.2 s。振子从点O到点M、从点M到点O及从点O到点M所需时间相等，为0.3 s0.2 s3130 s，故周期为T0.5 s130 s0.53 s，所以周期不可能为选项 B、D、E。甲 乙 简谐运动的“五个特征”1动力学特征：Fkx，“”表示回复力的方向与位移方向相反，k是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。2运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离
13、平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x、F、a、Ep均增大，v、Ek均减小，靠近平衡位置时则相反。3运动的周期性特征：相隔T或nT的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。4对称性特征(1)相隔T2或2n12T(n为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P(OPOP)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。(3)振子由P到O所用时间等于由O到P所用时间，即tPOtOP。(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOPtP
14、O。5能量特征：振动的能量包括动能Ek和势能Ep，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。高考总复习 7 简谐运动的公式和图象 讲典例示法 1简谐运动的数学表达式 xAsin(t)2根据简谐运动图象可获取的信息(1)确定振动的振幅A和周期T。(如图所示)(2)可以确定振动物体在任一时刻的位移。(3)确定各时刻质点的振动方向。判断方法：振动方向可以根据下一时刻位移的变化来判定。下一时刻位移若增加，质点的振动方向是远离平衡位置；下一时刻位移如果减小，质点的振动方向指向平衡位置。(4)比较各时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移
15、越大，它所具有的势能越大，动能越小。典例示法(多选)如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示。不计空气阻力，取重力加速度g10 m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是()甲 乙 A单摆的摆长约为 1.0 m B单摆的位移x随时间t变化的关系式为x8sin(t)cm C从t0.5 s 到t1.0 s 的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D从t1.0 s 到t1.5 s 的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 E从t1.0 s 到t1.5 s 的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 ABE 由题图乙可知单摆的周期T2 s
16、，振幅A8 cm，由单摆的周期公式T2lg，代入数据可得l1 m，选项 A 正确；由2T可得 rad/s，则单摆的位移x随时高考总复习 8 间t变化的关系式为xAsin t8sin(t)cm，选项 B 正确；从t0.5 s 到t1.0 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，选项 C 错误；从t1.0 s 到t1.5 s 的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，选项 D 错误，E 正确。对简谐运动图象的两点说明(1)简谐运动的图象是一条正弦或余弦曲线，如图所示。甲 乙(2)图象反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图象不代表质点运动的轨迹。跟进训练 1(多选)如图甲所示，
17、水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以O点为平衡位置，在a、b两点之间做简谐运动，其振动图象如图乙所示。由振动图象可以得知()甲 乙 A振子的振动周期等于 2t1 B在t0 时刻，振子的位置在a点 C在tt1时刻，振子的速度为零 D在tt1时刻，振子的速度最大 E从t1到t2，振子正从O点向b点运动 ADE 弹簧振子先后经历最短时间到达同一位置时，若速度相同，则这段时间间隔就等于弹簧振子的振动周期，从振动图象可以看出振子的振动周期为 2t1，选项 A 正确；在t0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，选项 B 错误；在tt1时刻，振子在平衡位置O，该时刻振子速度最大，选项 C 错误，D
18、正确；从t1到t2，振子的位移方向沿正方向且在增加，所以振子正从O点向b点运动，选项 E 正确。2.(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示，下列叙述正确的是()高考总复习 9 A质点的振动频率为 4 Hz B在 10 s 内质点经过的路程是 20 cm C在 5 s 末，速度为零，加速度最大 D在t1.5 s 和t4.5 s 两时刻质点的位移大小相等 E在t1.5 s 和t4.5 s 两时刻质点的速度相同 BCD 由图读出周期为T4 s，则频率为f1T0.25 Hz，故 A 错误；质点在一个周期内通过的路程是 4 个振幅，t10 s2.5T，则在 10 s 内质点经过的路程是s2.54A10
19、2 cm20 cm，故 B 正确；在 5 s 末，质点位于最大位移处，速度为零，加速度最大，故 C 正确；由图看出，在t1.5 s 和t4.5 s 两时刻质点位移大小相等，速度大小相等、方向相反，故 D 正确，E 错误。单摆及其周期公式 依题组训练 1对周期公式的理解(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时成立。(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离，即ll线r球。(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。(4)周期T只与l和g有关，与摆球质量m和振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。2周期公式应用(1)只要测出单摆摆长l和周期T，就可以根据g42lT2求当地重力加速
20、度g。(2)可以制作计时仪器。3单摆振动中的等效问题(1)等效摆长：摆球重心到摆动圆弧圆心的距离。(2)等效重力加速度：分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置(即平衡位置)；计算摆球的视重(即平衡位置的拉力);利用gFm求出等效重力加速度。题组训练 1甲、乙两个单摆的振动图象如图所示，根据振动图象可以断定()高考总复习 10 A甲、乙两单摆振动的周期之比是 32 B甲、乙两单摆振动的频率之比是 23 C若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆摆长之比是 94 D若甲、乙两单摆摆长相同，在不同地点摆动，则甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为 94 D 根据图象可知，甲和乙的周期之比为T甲T乙
21、23，故 A 项不符合题意；因为f1T，所以甲、乙的频率之比为f甲f乙32，故 B 项不符合题意；根据单摆的周期公式可知T2lg，同一地点，重力加速度相同，则甲、乙的摆长之比和周期的平方成正比，即为 49，故 C 项不符合题意；摆长相同，重力加速度和周期的平方成反比，即甲、乙两单摆所在地的重力加速度之比为 94，故 D 项符合题意。2.如图所示是甲、乙两个单摆在同一地点做简谐运动的图象，则下列说法中正确的是()A甲、乙两摆的振幅之比为 11 B甲、乙两摆的摆长之比为 41 C甲、乙两摆摆球在最低点时向心加速度大小一定相等 Dt2 s 时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 D 由图知，甲、乙两
22、摆的振幅分别为 2 cm、1 cm，则振幅之比为 21，故 A 错误；甲、乙两摆的周期分别为 4 s、8 s，周期之比为 12。根据由单摆的周期公式T2lg得，甲、乙两摆的摆长之比为 14，故 B 错误；设摆角为，则摆球从最高点摆到最低点的过程中，由机械能守恒定律得：mgL(1cos)12mv2；摆球在最低点时向心加速度av2L2g(1cos)，根据振幅和摆长关系，可知甲摆摆球的最大偏角比乙摆摆球的最大偏角大，所以甲、乙两摆摆球在最低点时向高考总复习 11 心加速度大小一定不等，故 C 错误；t2 s 时，甲摆通过平衡位置，重力势能最小。乙摆经过最大位移处，动能为零，故 D 正确。3将一测力传
23、感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力，如图所示，甲图中O点为单摆的悬点，现将小球(可视为质点)拉到A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球在竖直平面内的ABC之间来回摆动，其中B点为运动中最低位置，AOBCOB，小于 5且是未知量。图乙表示由计算机得到细线对摆球的拉力大小F随时间变化的曲线，且图中t0 时刻为摆球从A点开始运动的时刻，根据力学规律和题中信息(g取 10 m/s2)求：甲 乙 (1)单摆的周期和摆长；(2)摆球的质量。解析(1)摆球受力分析如图所示：小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，知：T0.4 s。由单摆的周期公式：T2Lg 代入数据解得：L0.4 m。(2)
24、在最高点A，有：Fminmgcos 0.495 N 在最低点B，有：Fmaxmgmv2L 其中Fmax0.510 N 从A到B，小球机械能守恒，有：mgL(1cos)12mv2 联立并代入数据得：m0.05 kg。答案(1)0.4 s 0.4 m(2)0.05 kg 受迫振动、共振 依题组训练 高考总复习 12 自由振动、受迫振动和共振的关系比较 振动类型 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力作用 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即TT驱或ff驱 T驱T0或 f驱f0 振动能量 振动物体的机械能
25、不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(摆角5)机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 题组训练 1(多选)(2019孝感统测)下列说法正确的是()A摆钟走时快了必须调短摆长，才可能使其走时准确 B挑水时为了防止水从桶中荡出，可以加快或减慢走路的步频 C在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是共振现象 D部队要便步通过桥梁，是为了防止桥梁发生共振而坍塌 E较弱声音可振碎玻璃杯，是因为玻璃杯发生了共振 BDE 摆钟走时快了，说明摆钟的周期变小了，根据T2Lg可知增大摆长L可以增大摆钟的周期，A 错误；挑水时为了防止水从桶中荡出，可以改变走
26、路的步频，B 正确；在连续均匀的海浪冲击下，停在海面的小船上下振动，是受迫振动，C 错误；部队便步通过桥梁，不能产生较强的驱动力，就避免桥梁发生共振现象，故 D 正确；当声音频率等于玻璃杯频率时，杯子发生共振而破碎，E 正确。2(多选)(2019大连模拟)某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力的作用下做受迫振动，驱动力的频率为f。若驱动力的振幅保持不变，则下列说法正确的是()A当ff0时，该振动系统的振幅随f增大而减小 B当ff0时，该振动系统的振幅随f减小而增大 C该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0 D该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f E当ff0时，该振动系统一定发生共振 BDE 受迫振动的振幅A随驱动力的频率变化的规律如图所示，显然选项 A 错误，B 正确；稳定时系统的频率等于驱动力的频率，即选项 C 错误，D 正确；根据共振产生的条件可知，当ff0时，该振动系统一定发生共振，选项 E 正确。高考总复习 13