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1、 1 空间图形的基本关系与公理 一、选择题 1a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面 B若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交 C若ab，则a，b与c所成的角相等 D若ab，bc，则ac C 若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若ab，bc，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知 C 正确故选 C 2给出下列说法：梯形的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定 1 个或 3 个平面其中正确的序号
2、是()A B C D B 显然正确；错误，三条平行直线可能确定 1 个或 3 个平面；若三个点共线，则两个平面相交，故错误；显然正确故选 B 3如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()A B C D D A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面 4如图所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，则平面ABC与平面的交线是()A直线AC B直线AB C直线CD D直线BC C 由题意知，Dl，l，所以D，2 又因为DAB，所以D平面ABC，所以点D在平面ABC与平面的交线上 又因为C平面ABC，C，所以点C在平面与平面ABC的交线上，所以平面
3、ABC平面CD 5(2021兰州模拟)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若点E为BC的中点，点F为B1C1的中点，则异面直线AF与C1E所成角的余弦值为()A23 B53 C52 D2 55 B 不妨设正方体的棱长为 1，取A1D1的中点G，连接AG，易知GAC1E，则FAG(或其补角)为异面直线AF与C1E所成的角 连接FG(图略)，在AFG中，AG1212252，AF1252232，FG1，于是 cosFAG322522122325253，故选 B 6在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB 2BB1，则AB1与BC1所成角的大小为()A30 B60 C75 D90 D 将正三棱柱
4、ABCA1B1C1补为四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接C1D，BD(图略)，则C1DB1A，BC1D为所求角或其补角设BB1 2，则BCCD2，BCD120，BD2 3，又因为BC1C1D 6，所以BC1D90 二、填空题 7已知AE是长方体ABCDEFGH的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有_条 3 4 如图，作出长方体ABCDEFGH 在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱有：GH、GF、BC、CD共 4 条 8已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点若AB2，CD4，EFAB，则EF与CD所成角的度数为_ 30 如图，设G为AD的中点，连
5、接GF，GE，则GF，GE分别为ABD，ACD的中位线 由此可得GFAB，且GF12AB1，GECD，且GE12CD2，FEG或其补角即为EF与CD所成的角 又EFAB，GFAB，EFGF 因此，在 RtEFG中，GF1，GE2，sinGEFGFGE12，可得GEF30，EF与CD所成角的度数为 30 9在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填序号)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但 4 H平面GMN，因
6、此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面 三、解答题 10如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC12AD，BE12FA，G，H分别为FA，FD的中点 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解(1)证明：由已知FGGA，FHHD，可得GH12AD又BC12AD，GHBC 四边形BCHG为平行四边形(2)BE12AF，G为FA的中点，BEFG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG 由(1)知BGCH，EFCH，EF与CH共面 又DFH，C，D，F，E四点共面 11如图所示，A是BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点 (1)求证：
7、直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角 解(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是BCD所在平面外的一点相矛盾故直线EF与BD是异面直线(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则ACFG，EGBD，5 所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角 又因为ACBD，则FGEG 在 RtEGF中，由EGFG 12AC，求得FEG45，即异面直线EF与BD所成的角为 45 1 在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑 如图
8、，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为()A12 B12 C32 D32 A 如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，则EFBD，EGAC，FOOG，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角 设AB2a，则EGEF 2a，FGa2a2 2a，EFG是等边三角形，FEG60，6 异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，故选 A 2(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线 B
9、BMEN，且直线BM，EN是相交直线 CBMEN，且直线BM，EN是异面直线 DBMEN，且直线BM，EN是异面直线 B 如图所示，作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F 连接BF，平面CDE平面ABCD，EOCD，EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB与EON均为直角三角形设正方形边长为 2，易知EO 3，ON1，EN2，MF32，BF52，BM 7 BMEN连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中点，点N在BD上，且BNDN 又M为ED的中点，BM，EN为DBE的中线，BM，EN必相交故选 B 3 如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边上的点，且AEEB
10、AHHDm，CFFBCGGDn 7 (1)证明：E，F，G，H四点共面；(2)m，n满足什么条件时，四边形EFGH是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若ACBD试证明：EGFH 解(1)证明：因为AEEBAHHD，所以EHBD 又CFFBCGGD，所以FGBD所以EHFG 所以E，F，G，H四点共面(2)当EHFG，且EHFG时，四边形EFGH为平行四边形 因为EHBDAEAEEBmm1，所以EHmm1BD 同理可得FGnn1BD，由EHFG，得mn 故当mn时，四边形EFGH为平行四边形(3)证明：当mn时，AEEBCFFB，所以EFAC，又EHBD，所以FEH是AC与BD所成的角(或其补角)，因为ACBD，所以FEH90，从而平行四边形EFGH为矩形，所以EGFH