空间立体几何点线面判断与证明8123.pdf

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1、常州知典教育一对一教案 学生：年级：学科：数学 授课时间：月 日 授课老师：赵鹏飞 课 题 空间立体几何点线面判断与证明 教学目标（通过本节课学生需掌握的知识点及达到程度）掌握空间立体几何中的点线面之间的关系，平行，相交，垂直，异面，重合等等，以及证明面面垂直，面面平行等方法和步骤，了解关于几何体中一些基本的计算和比值。本节课考点及单元测试中所占分值比例 15%学生薄弱点，需重点讲解内容 证明时对判断的方法出现错误思维，导致证明失分，使用性质时没有给出应有的条件导致扣分，计算的失误使得自己失分。课前检查 上次作业完成情况：优 良 中 差 建 议:教 学 过 程 讲 义 部 分 考向 1 空间中

2、点、线、面位置关系的判断 1平面的基本性质的应用(1)公理 1：证明“点在面内”或“线在面内”(2)公理 2 及三个推论：证明两个平面重合，用来确定一个平面或证明“点线共面”(3)公理 3：确定两个面的交线，尤其是画截面图或补体时用到，证明“三点共线”“三线共点”要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理 3 可知这些点在交线上，因此共线 2空间中点、线、面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 相交关系 独有关系 (1)已知 m，n 表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是()A若 m，n，则 m n B若 m，n，则

3、mn C若 m，mn，则 n D若 m，mn，则 n(2)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 【解析】(1)对于选项 A，m 与 n 还可以相交或异面；对于选项 C，还可以是 n；对于选项 D，还可以是 n 或 n或 n 与 相交(2)对于命题 A，这两条直线可以相交或为异面直线，A 错误；对于命题 B，这两个平面可以相交，B 错误；对于命题 D，这两个平面还可能相交，D 错误

4、；而由线面平行的性质定理可证 C 正确故选 C.【答案】(1)B(2)C【点拨】解题(1)根据空间线面、面面、线线平行的判定与性质、垂直的判定与性质逐个进行判断，注意空间位置关系的各种可能情况解题(2)时要注意充分利用正方体(或长方体)模型辅助空间想象 解决空间位置关系问题的方法(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决(2)解决位置关系问题时，要注意几何模型的选取，如利用正(长)方体模型来解决问题 考向 2 异面直线所成的角 1两条异面直线所成的角 过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线，那么这两条

5、相交直线所成的锐角或直角叫作这两条异面直线所成的角若记这个角为，则 0，2.2判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线(2)反证法：证明两直线平行、相交不可能或证明两直线共面不可能，从而可得两直线异面(1)(2014大纲全国，4)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为()(2)如图，已知二面角-MN-的大小为 60，菱形 ABCD 在面 内，A，B 两点在棱 MN 上，BAD60，E 是 AB 的中点，DO面，垂足为 O.证明：AB平面 ODE；求异面直

6、线 BC 与 OD 所成角的余弦值【解析】(1)如图，取 AD 的中点 F，连接 CF，EF，则 EF BD，CEF 即为异面直线 CE 与 BD 所成的角 设正四面体的棱长为 2，则 CECF 3，EF12BD1.由余弦定理得 cos CEFCE2EF2CF22CEEF36.CE 与 BD 所成角的余弦值为36.故选 B.(2)证明：如图，DO，AB，DOAB.连接 BD，由题设知，ABD 是正三角形 又 E 是 AB 的中点，DEAB.而 DODED，故 AB平面 ODE.因为 BC AD，所以 BC 与 OD 所成的角等于 AD 与 OD 所成的角，即ADO是异面直线 BC 与 OD 所

7、成的角 由知，AB平面 ODE，所以 ABOE.又 DEAB，于是 DEO 是二面角-MN-的平面角，从而 DEO60.不妨设 AB2，则 AD2.易知 DE 3.在 RtDOE 中，DODEsin 6032.连接 AO，在 RtAOD 中，cosADODOAD 32 234.故异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值为34.【点拨】解题(1)的关键是选取合适的点作出异面直线的平行线解题(2)时应注意异面直线所成的角归结到一个三角形里特别为直角三角形 求异面直线所成角的方法(1)作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条、平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的

8、位置上 (2)证：证明作出的角为所求角(3)求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角 考向 3 线面平行的判定与性质 直线与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 不在平面内的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为线线平行 线面平行)lala l 性 质 定 理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为线面平行 线线平行)aab ab 直线与平面平行的判定定理和性质定理

9、中的三个条件缺一不可；线面平行的性质定理可以作为线线平行的判定方法(2014北京，17，14 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BCC1；(2)求证：C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E-ABC 的体积 【思路导引】(1)利用已知条件转化为证明 AB平面 B1BCC1；(2)取 AB 的中点G，构造四边形 FGEC1，证明其为平行四边形，从而得证；(3)根据题中数据代入公式计算即可【解析】(1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1中，BB1底面 ABC.所以 BB

10、1AB.又因为 ABBC，所以 AB平面 B1BCC1.所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明：如图，取 AB 中点 G，连接 EG，FG.因为 G，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 FG AC，且 FG12AC.因为 AC A1C1，且 ACA1C1，E 为 A1C1的中点，所以 FG EC1，且 FGEC1.所以四边形 FGEC1为平行四边形 所以 C1FEG.又因为 EG 平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.(3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB AC2BC2 3.所以三棱锥 E-ABC 的体积 V13SABCAA11312 31233

11、.1.证明线面平行问题的思路(一)(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线；(2)证明线线平行；(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行 2证明线面平行问题的思路(二)(1)在多面体中作出要证线面平行中的线所在的平面；(2)利用线面平行的判定定理证明所作平面内的两条相交直线分别与所证平面平行；(3)证明所作平面与所证平面平行；(4)转化为线面平行(2013江苏，18，13 分)如图，在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点，ADAE，F 是 BC 的中点，AF 与 DE 交于点 G.将 ABF沿 AF 折起，得到如图所示的三棱锥 A-BCF，其中 BC

12、22.(1)证明：DE 平面 BCF；(2)证明：CF平面 ABF；(3)当 AD23时，求三棱锥 F-DEG 的体积 解：(1)证明：在等边三角形 ABC 中，ADAE，ADDBAEEC，在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立，DEBC.DE平面 BCF，BC 平面 BCF，DE平面 BCF.(2)证明：由图，在等边三角形 ABC 中，F 是 BC 的中点，AFBC，在三棱锥中仍有 AFCF，BFCF12.在三棱锥 A-BCF 中，BC22，BC2BF2CF2，CFBF.又 BFAFF，CF平面 ABF.(3)由(1)可知 GE CF，结合(2)可得 GE平面 DFG.VFDEGVEDFG

13、1312DGFGEG 131213133213 3324.考向 4 面面平行的判定与性质 平面与平面平行的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为线面平行 面面平行)ababPa b 性 质 定 理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ab ab 平面与平面平行的性质定理实际上给出了判定两条直线平行的一种方法，注意一定是第三个平面与两平行平面相交，其交线平行 如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A1O底面 ABCD，ABAA1 2.(

14、1)证明：平面 A1BD平面 CD1B1；(2)求三棱柱 ABD-A1B1D1的体积 【解析】(1)证明：由题设知，BB1綊 DD1，四边形 BB1D1D 是平行四边形，BDB1D1.又 BD平面 CD1B1，BD平面 CD1B1.A1D1綊 B1C1綊 BC，四边形 A1BCD1是平行四边形，A1BD1C.又 A1B平面 CD1B1，A1B平面 CD1B1.又 BDA1BB，平面 A1BD平面 CD1B1.(2)A1O平面 ABCD，A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1的高 又 AO12AC1，AA1 2，A1O AA21AO21.又 SABD12 2 21，VABD-A1B1D1SABD

15、A1O1.【点拨】解题(1)需将面面平行关系转化为线面平行，再转化为线线平行，通过取特殊四边形来完成证明；解题(2)的关键是选易求高的底面，利用线面垂直的判定找高 1.判定面面平行的四个方法(1)利用定义：即判断两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行(4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行 2平行问题的转化关系 (2014十校联考，18，12 分)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1中，D 是 BC上一点，且 A1B平面 AC1D，D1是 B1C1的中点，求证：平面 A1BD1平面 AC1D.证明：如图，连接 A

16、1C 交 AC1于点 E，连接 ED.四边形 A1ACC1是平行四边形，E 是 A1C 的中点 A1B平面 AC1D，平面 A1BC平面 AC1DED，A1BED.E 是 A1C 的中点，D 是 BC 的中点 又 D1是 B1C1的中点，D1C1綊 BD，四边形 BDC1D1为平行四边形，BD1C1D.又 A1BBD1B，DEDC1D，平面 A1BD1平面 AC1D.考向 5 线面垂直的判定与性质 直线与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 a，babOlalb l 性 质 定 理 垂直于同一个平

17、面的两条直线平行 ab ab 如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD3，M 为 BC 上一点，且 BM12.(1)证明：BC平面 POM；(2)若 MPAP，求四棱锥 P-ABMO 的体积【思路导引】(1)由余弦定理、勾股定理等知识先证 OMBM，再由线面垂直的判定定理证明；(2)将底面四边形 ABMO 分为 ABO 与 MBO 来求面积，根据(1)中结果，利用勾股定理、余弦定理求出 PO，代入棱锥的体积公式求解【解析】(1)证明：如图，连接 OB，因为四边形 ABCD 为菱形，O 为菱形中心，所以 AOOB.因为 BAD3，故 OBAB sinO

18、AB2sin61.又因为 BM12，且 OBM3，在 OBM 中，OM2OB2BM22OB BM cosOBM 121222112cos334.所以 OB2OM2BM2，故 OMBM.又 PO底面 ABCD，所以 POBC.又 OM 平面 POM，PO 平面 POM，OMPOO，所以 BC平面 POM.(2)由(1)可得，OAAB cosOAB2 cos6 3.设 POa，由 PO底面 ABCD 知，POA 为直角三角形，故 PA2PO2OA2a23.由 POM 也是直角三角形，故 PM2PO2OM2a234.如图，连接 AM.在 ABM 中，AM2AB2BM22ABBMcosABM22122

19、2212cos23214.由已知 MPAP，故 APM 为直角三角形，则 PA2PM2AM2，即 a23a234214，得 a32，a32(舍去)，即 PO32.此时 S四边形ABMOSAOBSOMB 12AOOB12BMOM 12 311212325 38.所以四棱锥 P-ABMO 的体积 VPABMO13S四边形ABMOPO135 3832516.1.证明直线与平面垂直的一般步骤(1)找与作：在已知平面内找或作两条相交直线与已知直线垂直(2)证：证明所找到的或所作的直线与已知直线垂直(3)用：利用线面垂直的判定定理，得出结论 2判定线面垂直的四种方法(1)利用线面垂直的判定定理(2)利用“

20、两平行线中的一条与已知平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理 考向 6 面面垂直的判定与性质 平面与平面垂直的判定定理及性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 ll 性 质 定 理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 lala l (2014江苏，16，14 分)如图，在三棱锥 P-ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点已知 PAAC，PA6，BC8，DF5.求证：(1)直线 PA 平

21、面 DEF；(2)平面 BDE平面 ABC.【思路导引】(1)利用三角形中位线的性质找到线线平行，再运用直线与平面平行的判定定理进行求证；(2)要证面面垂直可考虑寻找线面垂直，要证线面垂直可考虑寻找线线垂直，利用勾股定理可证线线垂直【证明】(1)因为 D，E 分别为棱 PC，AC 的中点，所以 DE PA.又因为 PA平面 DEF，DE 平面 DEF，所以直线 PA 平面 DEF.(2)因为 D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中点，PA6，BC8，所以 DE PA，DE12PA3，EF12BC4.又因为 DF5，故 DF2DE2EF2，所以 DEF90，即 DEEF.又 PAAC，DE

22、PA，所以 DEAC.因为 ACEFE，AC 平面 ABC，EF 平面 ABC，所以 DE平面 ABC.又 DE 平面 BDE，所以平面 BDE平面 ABC.1.面面垂直证明的两种思路(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题 2垂直问题的转化关系 考向 7 线面角、二面角的求法 1线面角(1)当 l 时，线面角为90.(2)当 l 或 l时，线面角为 0.(3)线面角 的范围：090.2二面角(1)如图，二面角-l-，若Ol，OA，OB，OAl，OBl

23、，则 AOB就叫作二面角-l-的平面角 (2)二面角 的范围：0180.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，BABD 2，AD2，PAPD 5，E，F 分别是棱AD，PC 的中点(1)证明：EF 平面 PAB.(2)若二面角 P-AD-B 为 60，证明：平面 PBC平面 ABCD；求直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值【思路导引】(1)因为 E，F 分别是所在棱的中点，可取 PB 的中点 M，证明四边形 AMFE 是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理证明(2)连接PE，BE，由题意知PEB60，在 PEB中利用余弦定理证出BEPB.又 BEAD，然后利用线面

24、垂直和面面垂直的判定定理证明；由知 BE平面PBC，则 EFB 即为直线 EF 与平面 PBC 所成的角【解析】(1)证明：如图，取 PB 中点 M，连接 MF，AM.因为 F 为 PC 中点 故 MF BC 且 MF12BC.由已知有 BC AD，BCAD.又由于 E 为 AD 的中点，因而 MF AE 且 MFAE，故四边形 AMFE 为平行四边形，所以 EF AM.又 AM 平面 PAB，而 EF平面 PAB，所以 EF 平面 PAB.(2)证明：如图，连接 PE，BE.因为 PAPD，BABD，而 E 为 AD 的中点，故 PEAD，BEAD，所以 PEB 为二面角 P-AD-B 的平

25、面角 在 PAD 中，由 PAPD 5，AD2，可解得 PE2.在 ABD 中，由 BABD 2，AD2，可解得 BE1.在 PEB 中，PE2，BE1，PEB60，由余弦定理，可解得 PB 3，从而 PBE90，即 BEPB.又 BC AD，BEAD，从而 BEBC，因此 BE平面 PBC.又 BE 平面 ABCD，所以平面 PBC平面 ABCD.如图，连接 BF.由知，BE平面 PBC，所以 EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角 由 PB 3及已知，得 ABP 为直角 而 MB12PB32，可得 AM112，故 EF112.又 BE1，故在 RtEBF 中，sinEFBBEEF2

26、 1111.所以直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 1111.1.求空间角的三个步骤(1)找：即找出相关的角；(2)证：即证明找出的角即为所求的角；(3)计算：即通过解三角形的方法求出所求角 2空间角的找法(1)线面角 找出斜线在平面上的射影，关键是作出垂线，确定垂足(2)二面角 二面角的大小用它的平面角来度量，平面角的常见作法有：定义法；垂面法其中定义法是最常用的方法 课堂练习 巩固练习：1.如图，在四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，PAAD2，AB1，BMPD 于点 M.(1)求证：AMPD；(2)求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值

27、2.如图所示，在四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，SA平面 ABCD，M，N分别为 SA，CD 的中点(1)证明：直线 MN 平面 SBC；(2)证明：平面 SBD平面 SAC.3.如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC，ADC90，ABBC.把 BAC 沿AC 折起到 PAC 的位置，使得 P 点在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，如图所示，点 E，F 分别为棱 PC，CD 的中点 (1)求证：平面 OEF 平面 APD；(2)求证：CD平面 POF；(3)若 AD3，CD4，AB5，求四棱锥 E-CFO 的体积 错题回顾 1.解：(1)证明：PA平面

28、 ABCD，AB 平面 ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AD 平面 PAD，PA 平面 PAD，AB平面 PAD.PD 平面 PAD，ABPD.BMPD，ABBMB，AB 平面 ABM，BM 平面 ABM，PD平面ABM.AM 平面 ABM，AMPD.(2)由(1)知，AMPD，又 PAAD，则 M 是 PD 的中点 在 RtPAD 中，AM 2，在 RtCDM 中，MC MD2DC2 3，SACM12AMMC62.设点 D 到平面 ACM 的距离为 h，由 VDACMVMACD，得13SACMh13SACD12PA.解得 h63.设直线 CD 与平面 ACM 所成的角为，则 sin

29、 hCD63，cos 33.直线 CD 与平面 ACM 所成的角的余弦值为33.2.证明：(1)如图所示，取 SB 中点 E，连接 ME，CE.M 为 SA 的中点，故 ME AB，且 ME12AB.N 为 CD 的中点，故 CN12AB，从而 ME CN，且 MECN，四边形 MECN 是平行四边形，MNEC.又 EC 平面 SBC，MN平面 SBC，直线 MN 平面 SBC.(2)如图，连接 AC，BD 相交于点 O.SA底面 ABCD，故 SABD.四边形 ABCD 是菱形，ACBD.又 SAACA，故 BD平面 SAC.又 BD 平面 SBD，平面 SBD平面 SAC.3.解：(1)证

30、明：因为点 P 在平面 ADC 上的正投影 O 恰好落在线段 AC 上，所以 PO平面 ADC，所以 POAC.因为 ABBC，所以 O 是 AC 中点又点 E 是 PC 的中点，所以 OE PA，PA 平面 PAD.所以 OE 平面 PAD.同理 OF 平面 PAD.又 OEOFO，OE，OF 平面 OEF，所以平面 OEF 平面 PAD.(2)证明：因为 OF AD，ADCD，所以 OFCD.又 PO平面 ADC，CD 平面 ADC，所以 POCD.又 OFPOO，所以 CD平面 POF.(3)因为 ADC90，AD3，CD4，所以 SACD12346，而点 O，F 分别是 AC，CD 的中点，所以 SCFO14SACD32，由题意可知 ACP 为边长为 5 的等边三角形，所以 OP523，即点 P 到平面 ACD 的距离为523，又 E 为 PC 的中点，所以 E 到平面 CFO 的距离为543，故 VECFO1332543583.学生课堂评价：优 良 中 差 学生总结（课上完成）：教师课堂反馈（课上完成）：家庭作业：教研组长签字：