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1、 江苏中考数学知识点（六）1一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：弄清题中数量关系，用字母表示未知数 根据题中的不等关系列出不等式 解不等式，求出解集 写出符合题意的解 2解一元一次不等式组（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫
2、解不等式组（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集 方法与步骤：求不等式组中每个不等式的解集；利用数轴求公共部分 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 3坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征（1）各象限内点 P（a，b）的坐标特征：第一象限：a0，b0；第二象限：a0，b0；第三象限：a0，b0；第四象限：a0，b0（2）坐标轴上点 P（a，b）的坐标特征：x 轴上：a 为任意实数，b0；y 轴上：b 为任意实数，a0；坐标原点：a0，b0（3）两坐标轴夹角平
3、分线上点 P（a，b）的坐标特征：一、三象限：ab；二、四象限：ab 4坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：到 x 轴的距离与纵坐标有关，到 y 轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号 2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题 5函数的图象 函数的图象定义 对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由
4、这些点组成的图形就是这个函数的图象 注意：函数图形上的任意点（x，y）都满足其函数的解析式；满足解析式的任意一对 x、y 的值，所对应的点一定在函数图象上；判断点 P（x，y）是否在函数图象上的方法是：将点 P（x，y）的 x、y 的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上 6动点问题的函数图象 函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图 7一次函数的性质 一次函数的性质：k0，y 随 x 的增
5、大而增大，函数从左到右上升；k0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降 由于 ykx+b 与 y 轴交于（0，b），当 b0 时，（0，b）在 y 轴的正半轴上，直线与 y 轴交于正半轴；当 b0 时，（0，b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴 8正比例函数的性质 正比例函数的性质 9一次函数图象上点的坐标特征 一次函数 ykx+b，（k0，且 k，b 为常数）的图象是一条直线它与 x 轴的交点坐标是（，0）；与 y 轴的交点坐标是（0，b）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式 ykx+b 10一次函数的应用 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别
6、注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数 3、概括整合（1）简单的一次函数问题：建立函数模型的方法；分段函数思想的应用（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键 11反比例函数的性质 反比例函数的性质（1）反比例函数 y（k0）的图象是双曲线；（2）当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；（3）当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大 注意：反比例函数的
7、图象与坐标轴没有交点 12反比例函数系数 k 的几何意义 比例系数 k 的几何意义 在反比例函数 y图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变 13反比例函数图象上点的坐标特征 反比例函数 yk/x（k 为常数，k0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xyk；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；在 yk/x 图象中任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的
8、面积是定值|k|14反比例函数与一次函数的交点问题 反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点（2）判断正比例函数 yk1x 和反比例函数 y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：当 k1与 k2同号时，正比例函数 yk1x 和反比例函数 y在同一直角坐标系中有 2 个交点；当 k1与 k2异号时，正比例函数 yk1x 和反比例函数 y在同一直角坐标系中有 0 个交点 15反比例函数综合题（1）应用类综合题 能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培
9、养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力 在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识（2）数形结合类综合题 利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法 16二次函数的性质 二次函数 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线 x，二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质：当 a0 时，抛物线 yax2+bx+c（
10、a0）的开口向上，x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y 取得最小值，即顶点是抛物线的最低点 当 a0 时，抛物线 yax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y 随 x 的增大而增大；x时，y 随 x 的增大而减小；x时，y 取得最大值，即顶点是抛物线的最高点 抛物线 yax2+bx+c（a0）的图象可由抛物线 yax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或向下平移|个单位得到的 17二次函数图象与系数的关系 二次函数 yax2+bx+c（a0）二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小 当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物线向下开口；|a|还可
11、以决定开口大小，|a|越大开口就越小 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab0），对称轴在y 轴右侧（简称：左同右异）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点 抛物线与 y 轴交于（0，c）抛物线与 x 轴交点个数 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 18二次函数图象上点的坐标特征 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对称轴 x成轴对称，所
12、以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点 抛物线与 y 轴交点的纵坐标是函数解析中的 c 值 抛物线与 x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为 x 19二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 20二次函数的最值（1）当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大，因为图象有最
13、低点，所以函数有最小值，当 x时，y（2）当 a0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当 x时，y（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值 21待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）；顶点式：ya（xh）2+k（a，h，k是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标；交点式：y
14、a（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 22抛物线与 x 轴的交点 求二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）与 x 轴的交点坐标，令 y0，即 ax2+bx+c0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标（1）二次函数 ya
15、x2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c0根之间的关系 b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数 b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；b24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点（2）二次函数的交点式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c 是常数，a0），可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）23二次函数与不等式（组）二次函数 yax2+bx+c（a、b、c 是常数，a0）与不等式的关系 函数值 y 与某个数值 m 之间的不等关系，一般要转化成关于 x 的不等式，解不
16、等式求得自变量 x 的取值范围 利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解 24二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题 解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量 x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量 x 的取值范围（2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论（3）构建二次函数模型解决实际问题 利用
17、二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题 25二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起这类试题一般难度较大解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二
18、次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件（3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义 26正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质 正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质 两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对
19、称图形，有四条对称轴 27关于原点对称的点的坐标 关于原点对称的点的坐标特点（1）两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P（x，y）关于原点 O 的对称点是 P（x，y）（2）关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质但它主要是用坐标变化确定图形 注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标 28相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可