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1、一对一 vip 辅导讲义 年 级：高二 辅导科目：数学 课 题 空间直线与平面（一）教学目的 1.熟练掌握平面基本性质；2.理解空间中的线线关系；3.锻炼初步的空间想象能力，体会数学空间中的抽象美。教学内容【知识讲解】（一）平面 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。注意：（1）关于公理 1 可以使用集合的符号把它简明准确地表达.AL，BL，A，BL。（2）公理 1 判定直线在平面内的依据，进一步可判定图形共面。（3）公理 1 说明平面具有无限延展性。BA 公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。如图：l 注意：1
2、.“有且只有一条”的含义是：“有”说明直线是存在的，“只有”说明直线是唯一的。2.如果两个平面和有一条公共直线，就说平面和相交，交线是a，则可记作 a 3.公理 2 可表示成如下形式：若A，A，则a，且 Aa。4.两个平面如果有一个公共点，那么就有无穷多个公共点，所有公共点在公共直线上，即它们的交线上；交线的每一个点都是两个平面的公共点。5.公理 2 是作出两个平面交线的依据。6.在公理指导下画出两个相交平面的一般步骤如下：先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图（1）再画出表示两个平面交线的线段，如图（2）过图（1）中线段的端点分别引线段，使它平行且等于（2）中表示交线的线段，如图（3）
3、。画图中表示两个平面的平行四边形的第四边（被遮住的线，可以用虚线，也可以不画，如图（4）（1）（2）（3）（4）公理 3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。注意：公理 3 实际上是给出了确定平面的条件。讲解是应突出“不在同一直线上”和“三点”几个字 “有且只有”的理解：“有”说明直线是存在的；“只有”说明直线是唯一的。公理 3 推论 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面（二）空间直线 1.空间两条直线的位置关系相交平行共面异面不同在任何一个平面内的两条直线。2./平行公理
4、：若，则，其中、为空间三直线。abcbacabc(即公理 4 的数学意义)3.定理 1：若一个角的两边分别与另一角的两边平行，则这两个角相等或互补(注意互补的情况).4.异面直线的判定定理：经过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线。B A a 5.异面直线所成角：过空间任意一点 O，分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a、b，则 a与 b所成的锐角或直角叫做 a 与 b 的（夹角）所成角。6.异面直线所成角求法：（1）作角：平移 a 或 b，使 a 与 b 相交，得到所求角。（2）以该角为一可解三角形一内角，解三角形、求角的大小。注意：若 cos0，则所求角为-。【
5、例题分析】例 1、画出经过已知直线 AB 的三个平面。bcaAB 例 2.三个不同平面可能把空间分成几部分画图说明可能分成 4，6，7，8 个部分。练习 1.已知：延长ABC 三边，ABD，BCE，ACF，求证：D、E、F 共线。ADFCEB 例 3.三个平面两两相交有三条直线，求证这三条直线交于一点或互相平行。已知：平面两两相交且a，b，c 求证：a、b、c 相交于一点或互相平行 分析：两种情况（1）交线相交（2）交线不相交 证明：（1）设 abP 则 Pa，Pb a，b P，P，P p 而 c pc 相交于一点 P （2）若不相交，在 内必有 ac 同理 bc abc 练习 2.在正方体
6、AC1中，M、N 分别是 A1B1、B1B 的中点，求（1）AM 和 CN 所成角的大小；（2）AM 和 BD1所成角的大小。（3）AM 和 BD 所成角的大小；D1 C1 G A1 B1 M N D C A Q P B 练习 3.如图正方体1111DCBAABCD 中：（1）与对角线 AC1成异面的直线的棱有多少条 （2）与 AB 成异面直线的棱有多少条 （3）与 BD 成异面直线的棱有多少条 （4）正方体 12 条棱中异面直线共有多少对 练习 4、正方体1111DCBAABCD 棱长为a，对角线CA1长为a3。异面直线1BA与1CC所成的角。异面直线BC与1AA的距离。异面直线BA1与CB
7、1所成的角。异面直线BA1与1AC所成的角。M、N 为11CD、11BC中点，MN 与 AC 所成角。H 为 BC 中点，HC1与BD1所成角。练习 5、四面体 ABCD，棱长均为a（正四面体）求异面直线 AD、BC 的距离。求 AC、BD 所成的角。E、F 为 BC、AD 中点，求 AE、CF 所成角。练习 6、P 为ABC所在平面外一点，E 为 PA 中点，且ACBE，ACPC，aPA，bPC（ba）。求异面直线 BE、PC 的距离。练习 6、正方体1AC中，E、F 为 AB、BB1中点，求EA1、FC1所成的角。【随堂练习及课后作业】1、已知 E，F，G，H 是空间的四个点。命题甲：点
8、E，F，G，H 不共面；命题乙：点 E，F，G，H 中任何三点不共线 。那么甲是乙成立的 条件。A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分非必要 2、a、b异面，b、c异面，则a、c的关系为（）A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能 3、分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）A.平行或相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.均有可能 4、a、b为异面直线，a，b，l，则有（）A.a、b同时与l相交 B.l至少与a、b中一条相交 C.l至多与a、b中一条相交 D.l与a、b中一条平行，一条相交 5、AB、CD 分别是两条异面上线段，M、N 分别是它的中点，则有（）
9、A.)(21BDACMN B.)(21BDACMN C.)(21BDACMN D.MN与)(21BDAC 无法比较 6、若 a、b 为异面直线，直线c 相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交 7、两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是（）A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 8、正方体ABCD-A1B1C1D1中，所有各面的对角线能与AB1成 60角的异面直线的条数有（）A.2条 B.4条 C.5条 D.6条 9、在空间四点中，三点共线是四点共面的（）A.充分必要条件B.必要非充分条件C.充分非必要条件D.既非充分又非必要条件 10、教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与
10、该直尺所在直线（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.异面 11、如图所示，点P、Q、R、S 分别在正方体的四条棱上并且是所在棱的中点，则直线 PQ 与 RS 是异面直线的一个图是（）12、在空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点，如果 EF 与 HG 交于点 M，则（）A.M一定在直线 AC 上 B.M一定在直线 BD 上 C.M可能在 AC 上，也可能在 BD 上 D.M不在 AC 上，也不在 BD 上 13、如图所示是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：（1）AB 与 CD 所在直线垂直；（2）CD 与 EF 所在直线平行；（3
11、）AB 与 MN 所在直线成 60角；（4）MN 与 EF 所在直线异面。其中正确命题的序号是（）（二）填空题 1、21/ll，a、b与1l、2l均垂直，则a、b的关系为_ 2、已知异面直线a、b成60角，P 为空间一点，则过 P 且与a、b所成角均为60的直线有_条 3、空间直线ba,满足（1）与a异面；（2）与a成45角；（3）与a距离为 10cm；则这样的b有_条 4、空间四边形 ABCD 棱长为a，对角线也为a，E 为 AD 中点，AB 与 CE 所成角为_ 5、若 a、b、l是两两异面的直线，a 与 b 所成的角是3，lalb与、与所成的角都是，则的取值范围是 6、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G 分别为 AB、BC、CC1的中点，则 EF 与 BG 所成角的余弦值为_(三)解答题 1、已知：四边形 ABCD 中，AB/CD，AB、BC、DC、AD（或其延长线）分别与平面相交于 E、F、G、H 四点，求证：E、F、G、H 四点共线。2、空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点。求证：EF 和 AD 为异面直线。3、ABC 是边长为 2 的正三角形，在ABC 所在平面外有一点 P，PBPC72，PA32，延长 BP至 D，使BD 7，E 是 BC 的中点，求 AE 和 CD 所成角的大小。