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1、实用标准 文档大全 第三周 第一课时 函数对称性、周期性、平移 一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)1、周期性定义：2、对称性定义：用图形来理解。3、对称性：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式)()(xfxf 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(xfxf 探讨：（1）函数)(xfy 关于ax 对称)()(xafxaf )()(xafxaf也可以写成)2()(xafxf 或)2()(xafxf 简 证：设 点),(11yx在)(xfy 上，通 过)2()(xafxf可 知，)2()(111xafxfy，即点)(),2(11xfyyxa也在上，而点),(11
2、yx与点),2(11yxa 关于 x=a对称。得证。若写成：)()(xbfxaf，函数)(xfy 关于直线22)()(baxbxax 对称 （2）函数)(xfy 关于点),(ba对称bxafxaf2)()(bxfxaf2)()2(上述关系也可以写成 或 bxfxaf2)()2(简证：设点),(11yx在)(xfy 上，即)(11xfy，通过bxfxaf2)()2(可知，bxfxaf2)()2(11，所以1112)(2)2(ybxfbxaf，所以点)2,2(11ybxa也在)(xfy 上，而点)2,2(11ybxa与),(11yx关于),(ba对称。得证。若写成：cxbfxaf)()(，函数)(
3、xfy 关于点)2,2(cba 对称 （3）函数)(xfy 关于点by 对称:假设函数关于by 对称，即关于任一个x值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于by 对称。但 在 曲 线 c(x,y)=0，则 有 可 能 会 出 现 关 于by 对 称，比 如 圆04),(22yxyxc它会关于 y=0对称。4、周期性：（1）函数)(xfy 满足)()(xafxaf且)()(xbfxbf，则可推出)(2)2()2()2()(abxfbxabfbxabfxafxf即 可 以 得 到)(xfy 的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x 轴两
4、条直线对称，则函数一定是周期函数”实用标准 文档大全 （2）如果奇函数满足)()(xfTxf则可以推出其周期是 2T，且可以推出对称轴为kTTx22)(zk，根 据)2()(Txfxf可 以 找 出 其 对 称 中 心 为)0(kT，)(zk（以上0T）如果偶函数满足)()(xfTxf则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中心 为)0,22(kTT)(zk，根 据)2()(Txfxf可 以 推 出 对 称 轴 为kTTx2)(zk （以上0T）（3）如果奇函数)(xfy 满足)()(xTfxTf（0T），则函数)(xfy 是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数)(xfy 满足)()(xT
5、fxTf（0T），则函数)(xfy 是以 2T 为周期的周期性函数。定理 3：若函数 xf在 R 上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数 xfy 以ba 2为周期.定理 4：若函数 xf在 R 上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数 xfy 以ba 2为周期.定理 5：若函数 xf在 R 上满足xafxaf)(，且xbfxbf)(（其中ba），则函数 xfy 以ba 4为周期.二、两个函数的图象对称性 1、)(xfy 与)(xfy关于 X 轴对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。2、)(xfy 与)
6、(xfy关于 Y 轴对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足)()(xgxf，即它们关于0 x对称。3、)(xfy 与)2(xafy关于直线ax 对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足)2()(xagxf，即它们关于ax 对称。4、)(xfy 与)(2xfay关于直线ay 对称。换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足axgxf2)()(，即它们关于ay 对称。5、)2(2)(xafbyxfy与关于点(a,b)对称。实用标准 文档大全 换种说法：)(xfy 与)(xgy 若满足bxagxf2)2()(，即它们关于点(a,b)对称。6、)(xafy与)(bxy关于直线2bax
7、对称。7、函数的轴对称：定理 1：如果函数 xfy 满足xbfxaf，则函数 xfy 的图象关于直线2bax对称.推论 1：如果函数 xfy 满足xafxaf，则函数 xfy 的图象关于直线ax 对称.推论 2：如果函数 xfy 满足 xfxf，则函数 xfy 的图象关于直线0 x（y轴）对称.特别地，推论 2 就是偶函数的定义和性质.它是上述定理 1 的简化.8、函数的点对称：定理 2：如果函数 xfy 满足bxafxaf2，则函数 xfy 的图象关于点ba,对称.推论 3：如果函数 xfy 满足0 xafxaf，则函数 xfy 的图象关于点0,a对称.推论 4：如果函数 xfy 满足 0
8、xfxf，则函数 xfy 的图象关于原点0,0对称.特别地，推论 4 就是奇函数的定义和性质.它是上述定理 2 的简化.1 平移变换：（1）水平平移：（2）竖直平移：2 对称变换：（1）函数()yfx的图像可以将函数()yf x的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数()yf x 的图像可以将函数()yf x的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数()yfx 的图像可以将函数()yf x的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()yfx的图像可以将函数()yf x的图像关于直线yx对称得到 3 翻折变换：（1）函数|()|yf x的图像可以将函数()yf x的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方
9、，去掉原x轴下方部分，并保留()yf x的x轴上方部分即可得到；（2）函数(|)yfx的图像可以将函数()yf x的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留()yf x在y轴右边部分即可得到 4 伸缩变换：（1）函数()yaf x(0)a 的图像可以将函数()yf x的图像中的每一点横坐标不实用标准 文档大全 变纵坐标伸长(1)a 或压缩（01a）为原来的a倍得到；（2）函数()yf ax(0)a 的图像可以将函数()yf x的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a 或压缩（01a）为原来的1a倍得到 第二课时 函数的零点 1 方程的根与函数的零点（1）函数零点 概念：对于函数
10、)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点。二次函数)0(2acbxaxy的零点：），方程02cbxax有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；），方程02cbxax有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；），方程02cbxax无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函
11、数)(xfy 在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么函数)(xfy 在区间),(ba内有零点。既存在),(bac，使得0)(cf，这个c也就是方程的根。2.二分法 二分法及步骤：对于在区间a，b上连续不断，且满足)(af)(bf0的函数)(xfy，通过不断地把函数)(xf的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 给定精度，用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间a，b，验证)(af)(bf0，给定精度；（2）求区间a(，)b的中点1x；实用标准 文档大全（3）计算)(1xf：若)(1xf=0
12、，则1x就是函数的零点；若)(af)(1xf0，则令b=1x（此时零点),(10 xax）；若)(1xf)(bf0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）0)(0mfa或）0)(0nfa亦可合并定成0)(0)(nfmf 同理，若在m,n内恒有 f(x)0，则有0)(0)(nfmf n m o x y n m o x y 实用标准 文档大全 二、二次函数型 若二次函数 y=ax2+bx+c=0(a0)大于 0 恒成立，则有00a 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个
13、变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。四、根据函数的奇偶性、周期性等性质 五、直接根据图象判断 若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。不等式恒成立与有解的区别（1）不等式 f(x)k在 xI 时恒成立kxf,)(maxxI.或 f(x)的上界小于或等于 k；（2）不等式 f(x)k在 xI 时恒成立kxf,)(minxI.或 f(x)的下界大于或等于 k；（4）不等式 f(x)k在 xI 时有解kxf
14、,)(maxxI.或 f(x)的上界大于 k；解决不等式恒成立和有解解问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：分类讨论，数形结合，参数分离，变换主元等等.*耐克函数与飘带函数的图像与性质 第三课时：二次函数和幂函数 一、二次函数主要问题：1 讨论二次函数的区间最值问题：注意对称轴与区间的相对位置；函数在此区间上的单调性；2 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置 二、幂函数及其性质 一、幂函数的定义 一般地，形如yx（xR）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，是常数.如11
15、234,yxyxyx等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.二、幂函数的图像和性质 3 幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过实用标准 文档大全 点（1，1）；（2）x0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在0，+上，是增函数（3）0 时，幂函数的图象在区间（0，+）上是减函数.第四课时 反函数（一）主要知识：1 反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；2 反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()yf x与1()yfx互为反函数，函数()yf x的定义域为A、值域为B，则1()()f fxx xB，1()(
16、)ff xx xA；3 互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于yx对称（二）主要方法：1 求反函数的一般方法：（1）由()yf x解出1()xfy，（2）将1()xfy中的,x y互换位置，得1()yfx，（3）求()yf x的值域得1()yfx的定义域 第五课时：指数式与对数式 1 对数的概念(1)对数的定义 如果axN(a0 且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数(2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a0 且a1)logaN 常用对数 底数为 10 lg N 自然对数 底数为 e ln_N 2.对数的
17、性质与运算法则 (1)对数的性质 alogaNN；logaaNN(a0 且a1)(2)对数的重要公式 换底公式：logbNlogaNlogab(a，b均大于零且不等于 1)；logab1logba，推广 logablogbclogcdlogad.(3)对数的运算法则 如果a0 且a1，M0，N0，那么 loga(MN)logaMlogaN；logaMNlogaMlogaN；实用标准 文档大全 logaMnnlogaM(nR)；log amMnnmlogaM.第六课时 指数函数 1 指数函数的图象与性质 一个关系 分数指数幂与根式的关系 根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转
18、化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算 两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0 a1和a1 进行分类讨论(2)换元时注意换元后“新元”的范围 三个关键点 画指数函数yax(a0，且a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，1，1a.零距离书和作业全利用 第七课时：对数函数 对数函数的图象与性质 反函数 指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数，它们的图象关于直线yx对称 一种思想 对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明 两个防范 解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围 三个关键点 画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，1a，1.书和作业全利用