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1、 2018-2019 学年度第一学期高三年级期中考试 数学试卷（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150分。考试时间 120分钟。第卷（选择题 共 60 分）注意事项：1.答卷前，考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。2.答卷前，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合31,6,8,10,12,14,Ax xnnNB则集合AB中元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2.已知复数12i,2iz则z的虚部
2、为 A.1 B.0 C.1 D.i 3.已知点4,3P 是角终边上的一点，则sin A.35 B.35 C.45 D.45 22210234.xyaaa已知双曲线的离心率为，则 A.2 B.62 C.52 D.1 5.某数学期刊的国内统一刊号是 CN42-1167/01，设na表示421167nn的个位数字，则数列 na的第 38 项至第 69 项之和383969aaa A.180 B.160 C.150 D.140 6.已知点1,4P，过点P恰存在两条直线与抛物线C有且只有一个公共点，则抛物线C的标准方程为 A.214xy B.24xy或216yx C.216yx D.214xy或216yx
3、 7.若数列 na中，262,0,aa且数列11na是等差数列，则4a A.12 B.13 C.14 D.16 8.s i nc o s423fxxxRxfxgxgx 已知函数的图象关于直线对称，把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为 A.6x B.4x C.3x D.116x 2290.2:33MxO xyNOMNM设点为直线上的动点，若在圆上存在点，使得，则的纵坐标的取值范围是A.1,1 B.1 1,2 2 C.2 2,2 2 D.22,22 1360,3,310.4ABCDBADABDFDC AEAC
4、BF DE已知菱中则形，A.89 B.218 C.34 D.43 22142xyABCDABAD11.若平行四边形内接于椭圆，直线的斜率为1，则直线的斜率为 A.12 B.12 C.14 D.2 21 2.,.3430,a b eeaebbe bab已 知是平面向量 是单位向量若非零向量 与 的夹角为，向量 满足则的最小值是 A.2 B.31 C.31 D.23 第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，共 20 分。把答案填在答题纸的横线上）2,0,13.=2,0,xxfxffx x设则_.2246614.2,14,naaaaaa已知数列是等比数列，满足则_.215.121,0
5、,_2,_.FCyxPlA BBPPAAFBF设 为抛物线：的焦点，经过点的直线 与抛物线交于两点，且则 16.2sinsin2,_.f xxxf x已知函数则的最小值是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置上）17.（本小题满分 10 分）,c o s.s i n1t a n21,2,.A B CA B Ca b c abbCCBabc在中，角所对应的边分别为求的值；若求 18.（本小题满分 12 分）22221.1212.klxyABABxklxyCD ABCDl斜率为 的直线 与抛物线交于两点、，且的中点恰好在直线上求
6、 的值；若直线 与圆交于两点、，求直线 的方程 19.（本小题满分 12 分）*112113,1.141212.nnnnnnnnnnnnnanSaSSyxnnNnSnnbbbnTa a 数列的前 项和为，若点在直线上求证：数列是等差数列；若数列满足，求数列的前项和 20.（本小题满分 12 分）1e l n12 e0.1215 e.xxfxaxxxyax fx 已知函数在处的切线与直线垂直求 的值；证明：21.（本小题满分 12 分）22222:100,1.2121,1,.xyEabAabEkEP QAAPAQ如图，椭圆经过点，且离心率为求椭圆 的方程；若经过点，且斜率为 的直线与椭圆 交于不
7、同的两点均异于点，证明：直线与的斜率之和为定值 22.（本小题满分 12 分）2224l n,.111,121,0.fxxa xx aRayfxfxfxxaa设函数当时，求曲线在点处的切线方程；若对任意恒成立，求实数 的取值范围 2018-2019学年度第一学期高三年级期中考试 文数参考答案及解析 一、选择题 15 DCADB 610 DADCB 1112 BC 二、填空题 113.2 14.8 15.172 16.3 32 三、解答题 17.解：（1）由cosabbC及正弦定理，得sinsinsincosABBC，即sinsinsincosBCBBC，即sincoscossinsinsinc
8、osBCBCBBC，即sincossinCBB，得sintanCB，所以sin1tanCB.（4 分）（2）由cosabbC，且1,2ab，得1cos2C ，由余弦定理，得22212cos142 1 272cababC ，所以7c.（10 分）18.解：（1）设直线l的方程为ykxm，1122,A x yB x y 由2,2,ykxmxy得2220 xkxm，则12122,2.xxk x xm（2 分）因为AB的中点在直线1x 上，所以122,xx即22k，所以1k.（4 分）（2）因为O到直线l的距离2,2 12,22mmdCD（5 分）由（1）得，221212121242 21 2,ABk
9、xxxxx xm（6 分）又,ABCD所以22 21 22 12,2mm 化简，得28200,mm所以10m 或2m.（10 分）由480,2 3,md 得12 6.2m 所以2,m 直线l的方程为2yx.（12 分）19.解：（1）点1,nnS S在直线*11nyxnnNn上，111nnnSSnn，两边同除以1n，则有111nnSSnn.（2 分）又131S，数列nSn是以 3 为首项，1 为公差的等差数列.（4 分）（2）由（1）可知，2*2,nSnn nN 当1n 时，13a；当2n 时，121,nnnaSSn 经检验，当1n 时也成立，*21nannN.（6 分）411111,21 2
10、32123nnnnbnnnn 211433nTn.（12分）20.解：（1）函数 f x的定义域为0,，ee lnxxfxaxx，由已知 yf x在1x 处的切线的斜率2ek，所以 1e2e,fa所以2a.（4 分）（2）要证明 11 5exxf x，即证明12 e ln15e,0 xxxxx，等价于证明512 ln,eexxx 令 52 ln,eg xxx所以 2 ln1g xx.当10ex时，0g x；当1ex 时，0g x，所以 52 lneg xxx在10,e上为减函数，在1,e上为增函数，所以 min13.eeg xg 因为1exy在0,上为减函数，所以0111eex，于是 311,
11、eexg x 所以 11 5e.xxf x（12 分）21.解：（1）由题设知2,1,2cba结合222abc，解得2a，所以椭圆E的方程为221.2xy（4 分）（2）由题设知，直线PQ的方程为112,yk xk代入221,2xy 得221241220,kxk kxk k 由已知0，设11221 2,0,P x yQ x yx x 则1212224122,1212k kk kxxx xkk 从而直线,APAQ的斜率之和为1212121211122 1122APAQyykxkkxkkkkkxxxxxx12124122222212.22k kxxkkkkkkx xk k（12 分）22.解：（1
12、）当1a 时，10f，44 ln24fxxxx，12,f 所以曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为21,yx即220 xy.（4 分）（2）设 22224ln,1,g xfxxaxaxxxa x 则 44ln2424ln1,1,g xxaxxaxxaxx 当1a 时，g x在1,上单调递增，所以，对任意1x，有 110g xga，所以1.a 当1a 时，g x在1,a上单调递减，在,a 上单调递增，所以 2min1 2lng xg aaaa，由条件知，212ln0aaa，即1 2ln10.aa 设 1 2ln1,1,h aaaa则 12ln0,1,h aaa 所以 h a在1,上单调递减，又 10h，所以 10h ah与条件矛盾.综上可知，实数a的取值范围为,1.（12 分）