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1、.2.4 格林函数法 解的积分公式 在第七章至第十一章中主要介绍用分离变数法求解各类定解问题，本章将介绍另一种常用的方法格林函数方法。格林函数，又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念。格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。知道了点源的场，就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。一、泊松方程的格林函数法 为了得到以格林函数表示的泊松方程解的积分表示式，需要用到格林公式，为此，我们首先介绍格林公式。设u（r）和v（r）在区域 T 及其边界 上具有连续一阶导数，而在 T 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理将曲面积分 Sdvu 化成体积积分 .)(TTTvd
2、VuvdVudVvuSdvu（12-1-1）这叫作第一格林公式。同理，又有.TTvdVuudVvSduv （12-1-2）（12-1-1）与（12-1-2）两式相减，得,)()(TdVuvvuSduvvu 亦即.)(TdVuvvudSnuvnvu （12-1-3）n表示沿边界 的外法向求导数。（12-1-3）叫作第二格林公式。现在讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题。泊松方程是)(),(Trrfu （12-1-4）第一、第二、第三类边界条件可统一地表为 ),(Munu （12-1-5）其中（M）是区域边界 上的给定函数。0，0 为第一类边界条件，0，0 是第二类边界条件，、都不等于零是第三
3、类边界条件。泊松方程与第一类边界条件构成的定解问题叫作第一边值问题或狄里希利问题，与第二类边界条件构成的定解问题叫作第二边值问题或诺依曼问题，与第三类边界条件构成的定解问题叫作第三边值问题。为了研究点源所产生的场，需要找一个能表示点源密度分布的函数。5.3 中介绍的 函数正是描述一个单位正点量的密度分布函数。因此，若以v（r，r0）表示位于r0点的单位强度的正点源在r点产生的场，即v（r，r0）应满足方程).(),(00rrrrv （12-1-6）现在，我们利用格林公式导出泊松方程解的积分表示式。以v（r，r0）乘（12-1-4），u（r）乘（12-1-6），相减，然后在区域T中求积分，得.)
4、()(0TTTdVrruvfdVdVvuuv （12-1-7）应用格林公式将上式左边的体积分化成面积分。但是，注意到在rr0点，v具有 函数的奇异性，格林公式不能用。解决的办法是先从区域T中挖去包含r0的小体积，例如半径为 的小球K（图 12-1），的边界面为。对于剩下的体积，.格林公式成立，.)(dSnvunuvdSnvunuvdVvuuvKT （12-1-8）把（12-1-8）代入挖去K 的（12-1-7），并注意rr0，故（rr0）0，于是.KTvfdVdSnvunuvdSnvunuv（12-1-9）当10 rr，方程（12-1-6）的解 v（r，r0）位于点r0而电量为 0 的点电荷的
5、静电场中的电势，即140rr。令 0，得（12-1-9）右边,TvfdV 左边的0 4141 02rrnudnudnudSnuv 左边的).(141141022rudrrudSrrudSnvu （12-1-10）这样，（12-1-7）成为.),()()(),()(),()(0000dSnrrvrunrurrvdVrfrrvruT （12-1-11）（12-1-11）称为泊松方程的基本积分公式。（12-1-11）将（12-1-4）的解u用区域 T 上的体积分及其边界上的面积分表示了出来。那么，能否用（12-1-11）来解决边值问题呢？我们看到，（12-1-11）中需要同时知道u及 nu 在边界
6、上的值，但是，在第一边值问题中，已知的只.是 u 在边界 上的值；在第二边值问题中，已知的只是 nu 在边界上的值。在第三边值问题中，已知的是u和 nu的一个线性关系在边界 上的值，三类边界条件均未同时分别给出u和 nu 的边界 上的值。因此，我们还不能直接利用（12-1-11）解决三类边值问题。其实，这里距离问题的解决已经很近了。原来，对于函数v（r，r0），我们还只考虑其满足方程（12-1-6）。如果我们对v（r，r0）提出适当的边界条件，则上述困难就得以解决。对于第一边值问题，u在边界 上的值是已知的函数（M）。如果要求v满足齐次的第一类边界条件,0v （12-1-12）则（12-1-1
7、1）中含 nu 的一项等于零。从而不需要知道 nu 在边界 上的值。满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-12）的解称为泊松方程第一边值问题的格林函数，用G（r，r0）表示。这样，（12-1-11）式成为.),()()(),()(000dSnrrGrdVrfrrGruT （12-1-13）对于第三边值问题，令v满足齐次的第三类边界条件，.0 vnv （12-1-14）满足方程（12-1-6）及边界条件（12-1-14）的解称为泊松方程第三类边值问题的格林函数，也用G（r，r0）表示。以G（r，r0）乘（12-1-5）式两边，得.GuGnuG.又以 u 乘（12-1-14），并以 G 代
8、替其中的 v，得.0 uGnGu 将这两式相减，得 .GnGunuG 将此式代入（12-1-11），得.)(),(1)(),()(000dSrrrGdVrfrrGruT（12-1-15）至于第二边值问题，表面看来，似乎可以按上述同样的办法来解决，即令G为定解问题),(0rrG （12-1-16）0nG （12-1-17）的解，而由（12-1-11）得到.)(),()(),()(000dSrrrGdVrfrrGruT （12-1-18）可是，定解问题（12-1-16）（12-1-17）的解不存在。这在物理上是容易理解的：不妨把这个格林函数看作温度分布。泛定方程（12-1-16）右边的 函数表明在
9、 所围区域 T 中有一个点热源。边界条件（12-1-17）表明边界是绝热的。点热源不停地放也热量。而热量又不能经由边界散发出去，T 里的温度必然要不停地升高，其分布不可能是稳定的。这就需要引入推广的格林函数。对于三维空间，,1)()()(000TVzzyyxxG.0nG 式中VT 是T 的体积。对于二维空间，,1)()(00TAyyxxG.0nG 式中 AT 是 T 的面积，方程右边添加的项是均匀分布的热汇密度，这些热汇的总体恰好吸收了点热源所放出的热量，不多也不少。（12-1-13）和（12-1-15）的物理解释有一个困难。公式左边u的宗量r0 表明观测点在r0，而右边积分中的f（r）表示源
10、在r，可是，格林函数G（r，r0）所代表的是r0的点源在r点产生的场。这个困难如何解决呢？原来，这个问题里的格林函数具有对称性G（r，r0）G（r0，r），将（12-1-13）和（12-1-15）中的r和r0对调，并利用格林函数的对称性，（12-1-13）成为,),()()(),()(0000000dSnrrGrdVrfrrGruT （12-1-19）这就是第一边值问题解的积分表示式。（12-1-15）成为,)(),(1)(),()(000000dSrrrGdVrfrrGruT （12-1-20）这就是第三边值问题解的积分表示式。（12-1-19）和（12-1-20）的物理意义就很清楚了，右边
11、第一个积分表示区域T中分布的源f（r0）在r点产生的场的总和。第二个积分则代表边界上的状况对r点场的影响的总和。两项积分中的格林函数相同。这正说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场。现在来证明格林函数的对称性。在 T 中任取两个定点r1和r2。以这两点为中心，各作半径为 的球面 1和 2。从 T 挖去 1和 2 所围的球K1和K2。在剩下的区域TK1K2上，G（r，r1）和G（r，r2）并无奇点。以uG（r，r1），vG.（r，r2）代入格林公式（12-1-3）2121)(KKTdVuvvudSnuvnvu 由于G（r，r1）和G（r，r2）是调和函数，上式右边为零。又由于格
12、林函数的边界条件，上式左边0。这样.021dSnuvnvudSnuvnvu 令 0，上式成为 0v（r1）u（r2）00，即G（r1，r2）G（r2，r1）。对于拉普拉斯方程，即（12-1-4）式右边的 f（r）0，这时，我们只要令（12-1-19）和（12-1-20）两式右边的体积分值等于零，便可得到拉普拉斯方程第一边值问题的解 0000),()()(dSnrrGrru （12-1-21）以及第三边值问题的解 000)(),(1)(dSrrrGru （12-1-22）我们看到，借助格林公式，也可利用格林函数方法得到齐次方程定解问题的解。二、用电像法求格林函数 （一）无界空间的格林函数 基本解
13、 从12.1 讨论可知，确定了G，就能利用积分表式求得泊松方程边值问题的解。虽然，求格林函数的问题本身也是边值问题，但这是特殊的边值问题，其求解比一般边值问题简单。特别是对于无界区域的情形，常常还可以得到有限形式的解。无界区域的格林函数称为相应方程的基本解。.我们将一个一般边值问题的格林函数 G 分成两部分.10GGG （12-2-1）其中G0是基本解。对于三维泊松方程，即G0满足).(00rrG （12-2-2）G1则满足相应的齐次方程（拉普拉斯方程）01G （12-2-3）及相应的边界条件。例如在第一边值问题中，0G，从而有.)(001GGGG （12-2-4）拉普拉斯方程（12-2-3）
14、的边值问题的求解是熟知的。至于方程（12-2-2），它描述的是点r0的点源在无界空间产生的稳定场。以静电场为例，它描述在点r0电量为 0的点电荷在无界空间中所产生电场的r点的电势，即004/1rrG。现在再给出（12-2-2）的一种解法。先假设点源位于坐标原点，由于区域是无界的，点源产生的场应与方向无关，如果选取球坐标（r，），则G0只是r的函数，方程（12-2-2）变成一个常微分方程，当r0 时，G0满足拉普拉斯方程,01022drdGrdrdr （12-2-5）其解为.210CrCG （12-2-6）令无穷远处G00，于是C20。为了求出C1，将方程（12-2-2）在包含r00 的区域作体
15、积分，这个区域可取为以 r00 为球心，半径为 的小球 K，其边界面为（参见图 12-1），.10KdVG 利用（12-1-3）（令其中的u1），将上式右边体积分化成面积分。120021004 sinCddrrCrdSrGdVGK 则411C，从而.141)(0rrG 若电荷位于任意点r 0，则.141),(000rrrrG （12-2-7）类似地，用平面极坐标可求得二维泊松方程的基本解.1ln21),(000rrrrG （12-2-8）（二）用电像法求格林函数 让我们来考虑这样一个物理问题。设在一接地导体球的M0（r 0）点放置一带电量为 0的点电荷。则球电势满足泊松方程),(0rrG （1
16、2-2-9）边界条件是.0球面G （12-2-10）此处G便是泊松方程第一边值问题的格林函数。从电磁学知道，在接地导体球放置电荷时，导体球面上将产生感应电荷。因此，球电势应为球电荷直接产生的电势与.感应电荷所产生的电势之和。因此，我们可将G写成两部分之和 ,10GGG （12-2-11）其中G0是不考虑球面边界影响的电势，G1则是感应电荷引起的。由前面的讨论可知，G0满足),(00rrG （12-2-12）从而G1满足 01G （12-2-13）以及边界条件.)(001球面球面球面GGGG （12-2-14）这样，G0就是基本解，0004/1),(rrrrG。至于G1则可从方程（12-2-13
17、）及边界条件（12-1-14）用分离变数等方法求得。但这样得到的解往往是无穷级数。现在介绍另一种方法 电像法，用电像法可以得到有限形式的解。电像法的基本思想是用另一设想的等效点电荷来代替所有的感应电荷，于是可求得G1的类似于G0的有限形式的解。显然，这一等效点电荷不能位于球，因为感应电荷在球的场满足（12-2-13），即球是无源的。又根据对称性，这个等效电荷必位于OM0 的延长线上的某点M1，记等效电荷的电量为q，其在空间任意点M（r）引起的电势是 10114/),(rrqrrG。若将场点取在球面上的P点，如图 12-2 所示，则 OPM0和 OM1P具有公共角 POM1，如果按比例关系 r0
18、aar1（a为球的半径）选定M1（这M1必在球外），则 OPM0 跟 OM1P 相似，从而 球面上01rr0111rrr球面上.1a 因此，若取 00/raq，则球面上的总电势是.01411411410011100rarrrrrrrrrarr 正好满足边界条件（12-2-10）。这个设想的位于M1点的等效点电荷称为M0点点电荷的电像。这样，球任一点的总电势是.141141 141141),(0202001000rrarrarrrrrarrrrG （12-2-15）10.1 例 6 求出球外点电荷的电像（在球），读者不妨把这两种情况中的电像加以对比。若M0（r0）为圆的一点，则圆泊松方程第一边值
19、问题的格林函数满足),(0rrG （12-2-16）.0圆周上G （12-2-17）这个问题也可用电像法求解，结果是 ,ln211ln211ln21),(0100rarrrrrrG（12-2-18）式中a为圆的半径。例 1 在球ra求解拉普拉斯方程的第一边值问题).,(),(03fuaruar 解 前面已用电像法求得球的第一边值问题的格林函数.141141),(1000rrrarrrrG.把它代入第一边值问题的解的积分公式（12-1-13）就行了。为了把G（r，r0）代入（12-1-19），还必须先算出nG。引用球坐标系，极点就取在球心。,cos21120020rrrrrr （12-2-19）
20、其中是矢径r跟r0之间的夹角，).cos(sinsincoscoscos000 计算法向导数 2/32002020020)cos2(coscos211 rrrrrrrrrrrrrn 分子里的 cos 可利用（12-2-19）消去，.2 21302202030220200rraarrrrrrrrrrrrn 同理，.2 2 2130202023033002202202043122121010rrarrrararrrararrrarraarrrrarrran 于是.412412413020230202023022020rrararrarrrarraarrrnG 代入（12-1-13），得到球的第一边
21、值问题的解的积分公式 0202/32002202020230202000 sin)cos2(),(4 sin41),(),(ddrararafaddarrarafru 作代换),(),(000rr：0200002/322220000 sin)cos2(),(4),(ddrararafaru 这叫作球的泊松积分。例 2 在半空间 z0 求解拉普拉斯方程的第一边值问题).,(),0(003yxfuzuz 解 先求格林函数G（r，r0）.0),()()(00003zGzzyyxxG 这相当于接地导体平面z0 上方的电势，在点M0（x，y，z）放置着电量为 0的点电荷。这电势可用电像法求得。设想在M0
22、的对称点M1（x0，y0，z0）放置电量为 0的点电荷，不难验证，在两个点电荷的电场中，平面z0 上的电势确实是零。在点M1的点电荷就是电像。格林函数.)()()(141 )()()(141 141141),(202020202020100zzyyxxzzyyxxrrrrrrG 为了把G（r，r0）代入第一边值问题的解的积分公式（12-1-13），需要先计算0 znG即0 zzG。.)()(21 )()()(141 )()()(1412/3202020002020202020200zyyxxzzzyyxxzzzyyxxznGzz 代入（12-1-13）即得半空间的第一边值问题的解的积分公式 d
23、xdyzyyxxzyxfzyxu2/32020200000)()(),(21 ),(（12-2-21）作代换),(),(000zyxzyx 002/32202000)()(1),(2 ),(dydxzyyxxyxfzzyxu 这叫作半空间的泊松积分。例 3 在圆a求解拉普拉斯方程的第一边值问题).(),(02fuaua.答案.)()cos(212),(200020222dfaaau（12-2-22）例 4 在半平面y0 求解拉普拉斯方程的第一边值问题).(),0(002xfuyuy 答案 .)()(1),(00220dxxfyxxyyxu （12-2-23）三、含时间的格林函数 12.112.
24、2讨论的是稳定场问题的格林函数方法。至于波动与输运这类含时间的问题，同样可以运用格林函数方法求解。本节以波动问题为例介绍含时间的格林函数，并导出波动方程定解问题解的积分表式；对于输运问题，亦给出相应的结果。一般强迫振动的定解问题是),(2trfuautt （12-3-1）),(tMunu （12-3-2）).(),(00ruruttt （12-3-3）5.3 中曾指出，持续作用的力f（r，t）可年作是前后相继的脉冲力f（r，）（t）d 的叠加。现在我们再进一步将一个个连续分布于空间的脉冲力看作是鳞次栉比排列在许许多多点上的力的叠加。总之，把持续作用的连续分布力f（r，.t）看作是许许多多脉冲点
25、力的叠加 .)()(),(),(000Ttdrdtrrrftrf （12-3-4）把单位脉冲点力所引起的振动记作G（r，t；r0，t0），称之为波动问题的格林函数。求得了G，就可用叠加的方法求出任意力f（r，t）所引起的振动。G所满足的定解问题是),()(002ttrrGaGtt （12-3-5）,0Gnu （12-3-6）.0 ,000tttGG （12-3-7）我们可以用类似于求解泊松方程的方法求得定解问题（12-3-1）（12-3-3）的解的积分表式。需注意的是含时间的格林函数的对称性不同于泊松方程格林函数的对称性，).,;,(),;,(0000trtrGtrtrG （12-3-8）现在
26、证明对称关系（12-3-8）。在定解问题（12-3-5）（12-3-7）中将变量t，r0，t0分别换为t，r1，t1，而成为)()(),;,(),;,(1111211ttrrtrtrGatrtrGtt （12-3-9）0),;,(),;,(1111trtrGntrtrG （12-3-10）.0),;,(,0),;,(011011ttttrtrGtrtrG （12-3-11）以G（r，t；r1，t1）乘方程（12-3-5）。同时以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-9），相减，再对r在区域T上积分，同时对t在区间 ,t（其中 tt0和t1）上积分，得.).,;,(),;,(),;,(),;
27、,(),;,(),;,(),;,(),;,(),;,(),;,(0011110000121100200111100trtrGtrtrGdVdttrtrGtrtrGatrtrGtrtrGatrtrGtrtrGtrtrGtrtrGttTttt （12-3-12）利用第二格林公式（12-1-3），上式左端成为 .),;,(),;,(),;,(),;,(),;,(),;,(),;,(),;,(00111100200111100dSdttrtrGntrtrGtrtrGntrtrGadVtrtrGtrtrGtrtrGtrtrGttttTtt 由定解条件（12-3-6）（12-3-7）和（12-3-10）（
28、12-3-11）可以看出，上式为零，从而（12-3-12）右端也为零。于是有对称关系（12-3-8）。现在推导定解问题（12-3-1）（12-3-3）解的积分表式。考虑到关系式（12-3-8）中时间变数t与t0不能像空间变数那样简单地对调，我们先将定解问题（12-3-1）（12-3-3）中的r，t换为r0，t0，),(),(),(0000020000trftruatrutt （12-3-13）),(),(),(0000000tMtruntru （12-3-14）).(),(),(),(00000000000rtrurtruttt （12-3-15）将G的定解问题中的r与r0互换，同时将t和t0
29、分别换为t0 和t，并利用对称关系（12-3-8），得),()(),;,(),;,(0000020000ttrrtrtrGatrtrGtt（12-3-16）.,0),;,(),;,(00000trtrGntrtrG （12-3-17）.0),;,(,0),;,(00000000ttttrtrGtrtrG （12-3-18）以G（r，t；r0，t0）乘方程（12-3-13），以u（r0，t0）乘方程（12-3-16），相减，再对r0在区域T上积分，同时对t0在0，t上积分，并利用第二格林公式及初始条件（12-3-15）及（12-3-18），可得.)()(),(),;,()()(000000000
30、0000000020000000TtTtTtTtttttdtdVttrrudtdVtrftrtrGdtdVGuuGadtdVuGGu （12-3-19）其中 0，积分后取 0，引入 是为了使含 （tt0）的积分值确定（积分区间包含t0t在），于是可得 .)()(),(),;,(),(00000200000000000000TtTtttttTtdtdVGuuGadtdVuGGudtdVtrftrtrGtru (12-3-20)右边第二个积分中0/)(000000dtuGGuduGGutttttt因此，可完成对t0的积分，计及tt0时G0，00tG，这样得到.),(),;,(),(000000020000000000TttttTtdVuGGudtdSnGunuGadtdVtrftrtrGtru（12-3-21）.对于不同类型的边界条件，可令G满足相应的齐次边界条件，从而得到适用于不同边界条件的以G表示的解的积分表式。对于输运问题，),(2trfuaut （12-3-22）),(tMunu （12-3-23）).(0rut （12-3-24）类似上面的讨论，同样可得到其解的积分表式 .),(),;,(),(0000000200000000TttTtdVuGdtdSnGunuGadtdVtrftrtrGtru（12-3-25）作业（P387）：1，2