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1、 椭圆性质的证明 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】椭圆性质的证明与证明:性质 1、椭圆上一点 P 处的切线平分焦点三角形外角的证明：题目：已知12,F F为椭圆22221(0)xyabab的焦点，P 为椭圆上一点。求证：点P处的切线 PT 必平分12PF F在 P 处的外角.在解答此题之后，我们还得到一个重要的定理.证法 1 设1200(,0),(,0),(,)FcF cP xy.对椭圆方程22221xyab两边求导得，2222.0 xy yab 22b xya y 0020(,)20pTxyb xkkya y 又1010pFyk
2、kxc，2020pFykkxc，由到角公式知 22222200222000000()()b cxa bb cxabc x ya cycy cxacy，同理2002200120010200tan111.yb xxca ykkbyb xk kcyxc a y.1,2(0,)，12 ，又14 ，24 证法 2 设1(,0)Fc，2(,0)F c，00(,)P xy，如图1，过1F、2F作切线PT 的垂线，垂足分别为 M、N.y x F1 O D F2 T P 1 2 N 1 3 2 4 M 切线 PT的方程为00221x xy yab，则点1F、2F到 PT的距离为 0212200441cxaFMx
3、yab，022012010211cxcxaFMacxF Ncxaa 1PMF2PNF 12 ,又14 24 .两种证法都是由12 导出，如图，设PD为法线（即 PD切线 PT），则 PD平分12FPF，故得如下重要定理.定理 在椭圆上任意一点 P 的法线，平分该点两条焦半径的夹角.（到角公式）把直线 L1依逆时针方向旋转到与 L2重合时所转的角，叫做 L1到 L2 的角，简称到角.tan=(k2-k1)/(1+k1k2)性质 2椭圆焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图 1，椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,F F构成的三角形12PFF称之为椭圆焦点三角形（2）面积公式推导 解：在12PF
4、 F中，设12FPF，11PFr，22PFr，由余弦定理得 222121212cos2PFPFFFPFPF2221212(2)2rrcr r 21 21 2cos2rrbrr 图 1 F1 x y O P F2 即21 221cosbrr，1 221 2112sinsin221cosPF FbSrr2sin1cosb=2tan2b 例 1焦点为12,F F的椭圆2214924xy上有一点 M，若120MF MF，求12MF F的面积 解：120MF MF，12MFMF，12MF FS290tan24tan2422b 例 2在椭圆的22221(0)xyabab中，12,F F是它的两个焦点，B是
5、短轴的一个端点，M是椭圆上异于顶点的点，求证：1212FBFFMF 证明：如图 2，设 M的纵坐标为0y，2121021212121MFFFBFSyFFbFFS，221212tantan22FBFFMFbb，即1212tantan22FBFFMF，又121211,22FBFFMF都是锐角，故12121122FBFFMF 从而有1212FBFFMF 性质 3、双曲线焦点三角形定义及面积公式推导（1）定义：如图 3，双曲线上一点 P与双曲线的两个焦点12,F F构成的三角形12PFF称之为双曲线焦点三角形（2）面积公式推导：图 2 F1 x y O M F2 B 解：在12PF F中，设12FPF
6、，11PFr，22PFr，由余弦定理得 222121212cos2PFPFFFPFPF2221212(2)2rrcr r 21 21 2cos2rrrrb 即21 221 cosbrr，1 221 2112sinsin221 cosPF FbSrr2sin1 cosb=2cot2b 例 3、已知双曲线22169144xy，设12,F F是双曲线得两个焦点点 P在双曲线上，1232PFPF，求12FPF的大小 解：双曲线的标准方程为221916xy，1 21212121211sin32sin16sin22PF FSPFPFFPFFPFFPF，从而有1216sinFPF1216cot2FPF=12
7、1216sin1cosFPFFPF，12cos0FPF，1290FPF 例 4：椭圆22162xy与双曲线 2213xy的公共焦点为12,F F，P是两曲线的一个交点，求21cosPFF的值 解：在椭圆和双曲线中异算12PF F面积 1 22tan1 cot22PF FS，21tan22，2211tan1122cos131tan122 图 3 F1 x y O P F2 开拓：从上例我们不难发现，若椭圆221122111(0)xyabab和双曲线222222221(0,0)xyabab有公共的焦点12,F F和公共点 P，那么12PF F的面积2121tan2FPFSb，又2122cot2FPFSb，从而22212Sbb，即12Sb b 性质 4：若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.证明：设00(,)P xy.对椭圆方程22221xyab两边求导得，2222.0 xy yab 22b xya y 0020(,)20pTxyb xkkya y 由点斜式：200020()b xyyxxa y，又因为00(,)P xy在22221xyab上，所以2200221xyab，整理即得：00221x xy yab