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1、-1-2022-2023学年高一上学期期末联考 数学试题（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）一、单选题：本题共 8 题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合21 0,60Ax xBx xx=,则AB=（）A.(1,2)B.(2,1 C.1,2)D.2,3)【答案】B【解析】由21 01,6023Ax xx xBx xxxx=,则21ABxx=,故选:B.2sin454cos176+的值为（）Asin4 Bcos4 C0 D2sin4【答案】B【解析】sin454cos176sin94cos4cos4cos40+=，故选 C 3.函
2、数1()lnf xxx=的零点所在的大致区间是（）A.1,1e B.(1,)e C.()2,e e D.()23,ee【答案】B【解析】由于连续函数1()lnf xxx=满足1(1)10,()10eff e=,且函数在区间(0,)e上单调递增,故函数1()lnf xxx=的零点所在的区间为(1,)e.故选:B.4设p：实数a，b满足1a 且1b，q：实数a，b满足21abab+，则p是q的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当1a 且1b 时，1ab，2ab+成立，即充分性成立，反之当4a=，1b=时，满足足21abab+但1a 且1b
3、不成立，即必要性不成立，即p是q的充分不必要条件，-2-故选：A 5根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010已知0.4771lg30.4772，则下列各数中与MN最接近的是（）A3310 B5310 C7310 D9310【答案】D【解析】围棋状态空间复杂度的上限M约为3613，可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为8010，3613M，8010N，根据对数性质有lg30.47731010=，()3613610.477172.231010M，172.292.2938010101010MN=，故选 D 6.把函数()sin 23f xx=
4、的图象向左平移(0)个单位可以得到函数()g x的图象，若()g x是偶函数，则的值为（）A.512 B.6 C.512或6 D.512或1112【答案】D.【解 析】把 函 数()sin 23f xx=的 图 象 向 左 平 移(0)个 单 位，可 以 得 到 函 数()sin 223g xx=+的图象，若()g x是偶函数，则232k=+，k Z，分别令0k=，1k=，可得512=或1112=，故选 D.7.已知45sin()35+=，则cos()6=（）A.55 B.55 C.2 55 D.2 55【答案】B【解析】34()623=+，3445cos()cos()sin()62335=+
5、=+=.8.已知函数()2()2ln1f xxxx=+，若不等式()()39330 xxxff m+对任意Rx均成立，则m的取值范围为（）A.(,2 31)B.(,2 31)+C.(2 31,2 31)+D.(2 31,)+【答案】A-3-【解析】因为()()22()()2ln12ln1ln10fxf xxxxxxx+=+=，所以函数()f x是奇函数，由复合函数的单调性可知()2ln1yxx=+在R上单调递增，而2yx=在R上也单调递增，所以函数()f x在R上 单 调 递 增，所 以 不 等 式()()39330 xxxff m+对 任 意Rx均 成 立 等 价 于()()39(3333x
6、xxxff mfm=，即3933xxxm，即3313xxm+对任意Rx均成立，因为3331 2 312 3133xxxx+=，所以2 31m.故选：A.二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.如果角与角45+的终边相同，角与角45的终边相同，那么的可能值为（）A.90 B.360 C.450 D.2330 【答案】AC【解析】由题114536045360kk=+=，1k Z 224536045360kk=+=+，2k Z，()121245360453609036
7、0kkkk=+=+，选择 AC.10.下列函数中，既是偶函数又是区间(1,)上的增函数有（）A.|13xy B.ln(1)ln(1)yxx C.22yx D.221yxx 【答案】ACD【解析】根据题意依次分析选项：对于 A，|13xy，其定义域为R，有|1|1()33()xxfxf x，即函 数()f x偶 函 数，在 区 间(1,)上，|1133xxyy为 增 函 数，符 合 题 意；对 于 B，ln(1)ln(1)yxx，有1010 xx，解可得1x，即函数的定义域为(1,)，不是偶函数，不符合题意；对于 C，22yx为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，既是偶函数又是区间(1,)上的增函
8、数，符合题意；对于 D，221yxx，其定义域为R，有222211()()()()fxxxf xxx，即函数-4-()f x为偶函数，可令2tx，可得2tx在(1,)递增，1tyt在(1,)递增，则函数 221xyx为增函数，符合题意，故选 ACD.11.已知函数()()cos sinf xx=，()()sin cosg xx=，则下列说法正确的是（）A()f x与()g x的定义域都是1,1 B()f x为偶函数且()g x也为偶函数 C()f x的值域为cos1,1，()g x的值域为sin1,sin1 D()f x与()g x最小正周期为2【答案】BC【解析】对于 A，()f x与()g
9、 x的定义域都R，所以 A 错误；对于 B，因为()()fxf x=，()()gxg x=，()f x和()g x为偶函数，所以 B 正确 对于 C，()()cos sinf xx=中，令tsin1,1x=，所以()f x的值域为cos1,1，同理()g x的值域为sin1,sin1，所以 C 正确 对于 D，()()cos sincos sinf xxx=，所以周期为，所以 D 错误.故选：BC 12高斯（Gauss）是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过x的最大整数，则 yx=称为高斯函数，例如：2.33=，15.3115=已知函数2
10、1()122xxf x=+，()()G xf x=，则下列说法正确的有（）A()G x是偶函数 B()G x的值域是1,0 C()f x是奇函数 D()f x在R上是增函数【答案】BCD【解析】根据题意，对于 A，(1)(1)0Gf=，(1)(1)1Gf=，(1)(1)GG，则函数()G x不是偶函数，A 错误，对于 B，2111()122212xxxf x=+，由121x+，则11()22f x，则有()G x的值域是1,0，B 正确，对于 C，21()122xxf x=+，其定义域为R，由2111()122122xxxfx=+，则()()0fxf x+=，即函数-5-()f x为奇函数，C
11、 正确，对于 D，2111()122212xxxf x=+，设12xt=+，则112yt=，12xt+=在R上是增函数，112yt=，在(1,)+也是增函数，则()f x在R上是增函数，D 正确，故选：BCD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知扇形的弧长为6,圆心角弧度数为2,则其面积为 .【答案】9【解析】半径632lr=,根据扇形面积公式221123922Sr=,故答案为:9.14已知实数a，b满足42log(9)logabab，则ab的最小值是 .【答案】16【解析】2424log(9)loglog()ababab，9abab，即191ba，1999(
12、)()1 910216ababababbababa，当且仅当9abba，即312ab时，等号成立，ab的最小值是 16 15.已知函数()f x的定义域为(0,)+，且1()2()1f xfxx=，则()f x=.【答案】2133x+【解析】考虑到所给式子中含有()f x和1()fx，故可考虑利用换元法进行求解.在1()2()1f xfxx=，用1x代替x，得1()2()1f xfxx=，将12()()1f xfxx=代入1()2()1f xfxx=中，可求得21()33f xx=+.故答案为2133x+16 已知函数1()sin(2)(0,0)22f xAxA=+，33()3xxmg x=，
13、()f x的图象在y轴上的截距为 1，且关于直线12x=对称若对于任意的1 1,2x ，存在20,6x，使得12()()g xf x，则实数m的取值范围为 .【答案】2(,3 【解析】()f x的图象在y轴上的截距为 1，且关于直线12x=对称-6-1(0)sin12fA=，sin(2)112+=又0A，02，3=，3A=1()3sin(2)32f xx=+，06x，2(2),333x+，3sin(2),132x+，1()1,32f x min()1f x=333()33xxxmg xm=，1,2x，min1()3g xm=若对于任意的1 1,2x ，存在20,6x，使得12()()g xf
14、x，则12()()minming xf x，113m，解得23m 实数m的取值范围为2(,3 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 10 分）已知全集UR=，集合502xAxx=，222(1)0Bx xaxa=+.（1）当2a=时，求()()UUC AC B；（2）若xA是xB的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）(,15,)+；（2）3,4.【解析】（1）因为502,5)2xAxx=，222(1)0(1,1)Bx xaxaaa=+=+；当2a=时，(1,3)B=，所以()()(,2)5,)(,13,)(,15,)U
15、UC AC B=+=+.（2）若xA是xB的必要不充分条件，则BA，即1512aa+，得34a，所以实数a的取值范围是3,4.18.已知函数5()sin()(0)2f xwx w=，且其图象上相邻最高点、最低点的距离为24+.(1)求函数()f x的解析式；(2)若已知2sin()3f+=，求22sincos2sin1tana+的值.【答案】（1）()cosf xx=.（2）5 1418-7-【解析】（1）因为函数5()sin()cos2f xwxwx=，故其周期为2w，最大值为 1.设图象上最高点为1(,1)x，与之相邻的最低点为2(,1)x，则212Txxw=.因为其图象上相邻最高点与最低
16、点之间的距离为2224()2w+=+，解得1w=，所以函数()cosf xx=.（2）因为2sin()3f+=，所以2sincos3+=，两边平方可得：412sincos9+=，解得：52sincos9=，14cossin3=，所以 222sincos2sin2sincos2sin2sincos(cossin)5 14sin1tansincos181cosaa=+.19.李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择:方案一:每户每月收管理费 2 元,月用电不超过 30 度每度0.5元,超过 30 度时,超过部分按每度0.6元.方案二:不收管理费,每度0.58元.（1）求方案一收费()L x元与用电量
17、x(度)间的函数关系;（2）李刚家九月份按方案一交费 35 元，问李刚家该月用电多少度？（3）李刚家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?【答案】(1)20.5x,0 x 30L(x)0.6x1,x30+=(注:x也可不取 0);(2)李刚家该月用电 60 度;(3)李刚家月用电量在 25 度到 50 度范围内（不含 25 度、50 度）时,选择方案一比方案二更好.【解析】解:(1)当030 x时,()20.5L xx=+;当30 x 时,()230 0.5(30)0.60.61L xxx=+=,20.5x,0 x 30L(x)0.6x1,x30+=(注:x也可不取 0);(2)当
18、030 x时,由()20.535L xx=+=得66x=,舍去;当30 x 时,由()0.6135L xx=得60,x=李刚家该月用电 60 度;(3)设按第二方案收费为()F x元,则()0.58F xx=,当030 x时,由()()L xF x,得:20.50.58xx+,解得:25x,2530 x;当30 x 时,由()()L xF x,得:0.610.58xx,解得:50 x,3050 x;综上,2550 x.故李刚家月用电量在 25 度到 50 度范围内（不含 25 度、50 度）时,选择方案一比方案二更好.20.已知函数()2sinf xx=,其中常数0.-8-（1）若()yf x
19、=在2,43上单调递增,求的取值范围；(2)令2=,将函数()yf x=的图象向左平移6个单位,再向上平移1个单位,得到函数()yg x=的图象,求()yg x=的图象离原点O最近的对称中心.【答案】（1）304；（2）,16.【解析】(1)函数()2sinf xx=在2,43上单调递增,所以232，则304(2)令2=,将函数()2sin2yf xx=的图象向左平移6个单位,可得2sin26yx=+的图象;再向上平移 1 个单位,得到函数()2sin216yg xx=+的图象,令2sin 203x+=,可得2,3xkk+=Z,求得26kx=,故()g x的图象的对称中心为k,1,26kZ,故
20、()g x的图象离原点O最近的对称中心为,16.21.已知连续不断函数()sin042f xxxx=+,()cos042g xxxx=+（1）求证：函数()f x在区间0,2上有且只有一个零点;（2）现已知函数()g x在0,2上有且只有一个零点(不必证明),记()f x和()g x在0,2上的零点分别为 12,x x,试求12xx+的值.【解答】（1）证明函数()sin042f xxxx=+,因为2(0)0,0442ff=,所以(0)04ff,记sinyx=和x4y=在区间0,2上单调递增,故函数()f x在区间0,2上单调递增,由零点的存在性定理可得函数()f x在区间0,2上有且只有一个
21、零点;(2)解:因为函数()f x在区间0,2上有且只有一个零点,所以()111sin04f xxx=+=,即11cos0224xx+=,即102gx=,-9-因为函数()g x在0,2 上有且只有一个零点2x,所以122xx=,则122xx+=.22已知2()log(41)()xf xkx kR=+（1）设()()1g xf xa=+，2k=，若函数()g x存在零点，求a的取值范围；（2）若()f x是偶函数，设24()log(2)3xh xbb=，若函数()f x与()h x的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围【答案】（1）(1,)+；（2）|13b bb=或【解析】（1）由题意函数
22、()g x存在零点，即()1f xa=有解 又222411()log(41)2log()log(1)44xxxxf xx+=+=+，易知()f x在(,)+上是减函数，又1114x+，241log()04xx+，即()0f x，所以1(0,)a +，所以a的取值范围是(1,)a+（2）2()log(41)xf xkx=+的定义域为R，()f x是偶函数，(1)(1)ff=，221log(1)log(41)4kk+=+，1k=，检验22()log(41)log(22)xxxf xx=+=+，22()log(41)log(22)xxxfxx=+=+，()()f xfx=，()f x为偶函数，函数()f x与()h x的图象有且只有一个公共点，方程()()f xg x=只有一解，即方程142223xxxbb+=有且只有一个实根，令20 xt=，则方程24(1)103btbt=有且只有一个正根，当1b=时，34t=，不合题意，当1b 时，若方程有两相等正根，则2(4)4 3(1)(3)0bb=，且4023(1)bb，解得3b=若一个正根和一个负根，则101a，即1b 时，满足题意，实数a的取值范围为|13b bb=或