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1、.华附、省实、深中、广雅 2019 届高三年级四校联考 数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共 5 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的、考号填写在答题卡上.2答案一律做在答题卡上，选择题的每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.保持答题卡的整洁，不要折叠，不要
2、弄破，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.第一部分 选择题(共 60 分)一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知31izi，则复数z的共轭复数z的虚部为 A.32 B.32 C.32i D.32i 2.设11ab ，0b，则下列不等式中恒成立的是 A.ba11 B.ba11 C.2ab D.22ab 3.已知 na是等比数列，22a，514a，则1223341nna aa aa aa a A.16 14n B.16 12n C.32143n D.32123n 4.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个
3、同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A、B为两个同高的几何体，:p A、B的体积不相等，:qA、B在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图是一个算法流程图，若输入n的值为13，输出S的值是46，则a的取值围是 A.910a B.910a C.1011a D.89a .sinyx 2 2 cosyx 6.如图，在正方形区域任取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A.21 B.2421 C.2421 D.16 7.已知函数 sin3cosf xxx，xR，先将 f x图像上所有点的
4、横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移0个单位长度，得到的图像关于y轴对称，则的最小值为 A.9 B.3 C.518 D.23 8.524131xxxx的展开式中常数项为 A.30 B.30 C.25 D.25 9.已知P是边长为 2 的等边三角形ABC边BC上的动点，则APABAC的值 A.有最大值8 B.是定值6 C.有最小值2 D.与P点的位置有关 10.函数 241xxx eefxx的部分图像大致是 A B C D 11.设1F、2F分别是椭圆22221yxab（0ab）的左、右焦点，若在直线2axc上存在点P，使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的
5、取值围是 A.2(02，B.3(03，C.21)2，D.31)3，12.已知函数 sinsin3f xxx，0,2x，则函数 f x的所有零点之和等于 A.0 B.3 C.5 D.7.第二部分 非选择题(共 90 分)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案填在答题卡的相应位置上.13.已知直线10axy 与圆22:11Cxya相交于A，B两点，且ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为 .14.某化肥厂生产甲、乙两种肥料，生产一车皮甲肥料需要磷酸盐 4 吨、硝酸盐 18 吨；生产一车皮乙肥料需要磷酸盐 1 吨、硝酸盐 15 吨.已知生产一车皮甲肥料产生的利润是 1
6、0 万元，生产一车皮乙肥料产生的利润是 5 万元.现库存磷酸盐 10 吨、硝酸盐 66 吨，如果该厂合理安排生产计划，则可以获得的最大利润是 万元.15.已知等差数列 na的前n项和为nS，且315S，7934aa，数列11nna a的前n项和为nT，且对于任意的nN*，11nnaTt，则实数t的取值围为 .16.在半径为 4 的球O的球面上有不同的四点A，B，C，D，若4ABACAD，则平面BCD被球O所截得的图形的面积为 .三、解答题：满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须做答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答.（一
7、）必考题：共 60 分.17.（12 分）如图，在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sincosacBB.（1）求ACB的大小；（2）若ACBABC，点A、D在BC的异侧，2DB，1DC，求平面四边形ABDC面积的最大值.18.（12 分）等边ABC的边长为 3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足12ADCEDBEA（图 1）.将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使二面角1ADEB成直二面角，连接1AB，1AC（图 2）.（1）求证：1AD 平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60？若存在，求出线段PB的长；若不存在，请说明理由
8、.图 1 图 2.19.（12 分）已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为12，点33,2M在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，与直线OM交于点N，并且点N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值.20.（12 分）某工厂共有员工 5000 人，现从中随机抽取 100 位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过 3200 件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的22列联表，并判断是否有 95的把握认为“生产能手”称号与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，
9、该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额 2600 件以的（包括 2600 件），计件单价为 1 元；超出(0,200件的部分，累进计件单价为 1.2元；超出(200,400件的部分，累进计件单价为 1.3 元；超出 400 件以上的部分，累进计件单价为1.4 元.将这 4 段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取 1 人，女员工中随机选取 2 人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过 3100 元的人数为Z，求Z的分布列和数学期望.附：22n adbcKabcdacbd，21.（12 分）已知函数 lnxf xaxe，aR.（1
10、）试讨论函数 f x的极值点的个数；（2）若aN*，且 0f x 恒成立，求a的最大值.每月完成合格产品的件数（单位：百件）(26,28(28,30(30,32(32,34(34,36 频数 10 45 35 6 4 男员工人数 7 23 18 1 1 非“生产能手”“生产能手”合计 男员工 女员工 合计 20P Kk 0.050 0.010 0.001 0k 3.841 6.635 10.828 .参考数据：（二）选考题：共10 分.请考生从给出的第22、23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，如果多做，则按所做的第
11、一题计分.22（10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为cos2sinxatyt（t为参数，0a），以坐标原点O为 极 点，x轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴，建 立 极 坐 标 系，直 线l的 极 坐 标 方 程 为cos2 24.（1）设P是曲线C上的一个动点，当2 3a 时，求点P到直线l的距离的最大值；（2）若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，数a的取值围.23.（10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数 23f xxmxm0m.（1）当1m 时，求不等式 1f x 的解集；（2）对于任意实数x，t，不等式 21f xtt恒成立，数m的
12、取值围.x 1.6 1.7 1.74 1.8 10 xe 4.953 5.474 5.697 6.050 22026 ln x 0.470 0.531 0.554 0.588 2.303 .数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.解析：1.3 133311122iiiziiii，w，答案选 A.2.对于 A，B，根据反比例函数的性质可知：11,0ab abab，所以 A，B 都不对.对于 C，2111,1bba 而，所以选项 C 正确；对于 D，取反例：21.1,1.21,0.8,21.6aabb.3.由已知求得14a，数列 na的公比12q，数列
13、1nna a是首项为8，公比为214q 的等比数列，所以122334118 1432141314nnnna aa aa aa a，选 C.4.“两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等”的等价命题是“两个同高的几何体，如体积不相等，则在等高处的截面积不恒相等”，所以p是q的充分条件，另一方面，显然A、B在等高处的截面积不恒相等，A、B的体积可能相等，因此p不是q的必要条件，所以答案选A.5.第 1 次循环，13n，13S；第 2 次循环，12n，25S；第 3 次循环，11n，36S；第 4 次循环，10n，46S，9n；当9n 时，退出循环，所以910a，答案选 B.6.阴影部
14、分的面积4400cossinsincos21Sxx dxxx，正方形面积为24，所以所求概率为22421214.7.将 sin3cos2sin3fxxxx图像上所有点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），得到 2sin 33g xx，再将 g x的图像上所有点向右平移0个单位长度，得题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C A B B C C B B D D .到 2sin 32sin 3333h xxx，其图像关于y轴对称，所以332kkZ，即183kkZ，所以0最小值为518，答案选 C.8.524131xxxx的展开式中常数项为42242551132
15、5xCxCxx ，答案选 C.9.如图，D为边BC的中点，APABAC22226APADAP ADAD，答案选 B.10.定义域12x x，f x是定义域上的偶函数，排除 A；当10,2x时，0f x，排除C；当12x 时，0f x，排除 D，所以选 B.11.设2(,)aPmc，1(,0)Fc，2(,0)F c，由线段1PF的中垂线过点2F得2122PFFFc，即222()2acmcc，得242222224()230aamccaccc，即4224320ca ca，得423210ee，解得213e，故133e，故选 D.利用两条直线的垂直关系也可以得到结果.12.sinsin3sinsin2s
16、insin cos2cos sin2f xxxxxxxxxxx 3222sin1cos2cos sin22sin2sincos2sinsincosxxxxxxxxxx 2sincos2xx，由 0f x 得到sin0 x 或者cos20 x.当sin0 x 时，0 x，2；当cos20 x 时，4x，34，54，74；所以 f x的所有零点之和等于7，选 D.另解：可以将零点问题转化为函数图像的交点问题，令 0f x，则sinsin3xx，在同一坐标系中画出函数sinyx和sin3yx的图像，如图所示，两个函数图像在区间0,2有 7 个交点，所以 f x有 7 个零点，其中 3 个零点是0，2
17、，另外四个零点为图中的1x，2x，3x，4x，由对称性可知，12xx，343xx，所以 f x的所有零点之和等于7，选 D.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.1或1（答对一个给 3 分）14.30 15.0,162 16.12.Oxy(2,2)解析：13.ABC为等腰直角三角形，等价于圆心C到直线10axy 的距离等于22，即21221a，解得a 1或1.14.设该厂生产x车皮甲肥料，y车皮乙肥料获得的利润为z万元，则约束条件为410181566,xyxyxN yN，目标函数为105zxy，如图所示，最优解为2,2，所以max1025230z.15.设公差为d
18、，则根据已知条件得到11331521434adad，解得132ad，所以21nan.111112 2123nna ann，1111111235572123nTnn 1 112122 323nnt恒成立，所以0t，且26 215182121 112 323nnntnn 186 215nn恒 成 立，由 于186 215162nn当 且 仅 当3n 时 取 等 号，所 以0,162t.16.考虑到4AOABACAD，则球心O与点A在平面BCD的两侧，且ABO是等边三角形.由于OBOCOD，则点O在平面BCD上的射影是BCD的外心，同理，点A在平面BCD上的射影也是BCD的外心，设BCD的外心为1O
19、，从而AO 平面BCD于点1O，所以1AOBO，且1O是AO的中点，12 3BO，1BO是平面BCD被球O所截得的圆的半径，所以圆的面积是12.三、解答题：满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）因为sincosacBB，且sinsinacAC，所以sinsinsincosACBB1 分 在ABC中，sinsinABC.所以sinsinsincosBCCBB2分 所以sincoscossinsinsinsincosBCBCCBCB 所以sincossinsinBCCB3 分 因为在ABC中，sin0B 所以cossinCC 4 分 因为C是ABC的角 所以4C.
20、5分（没有说明sin0B 或C的围，扣 1 分）（2）在BCD中，2222cosBCBDCDBD CDD54cos D6 分 因为ABC是等腰直角三角形，所以22115cos244ABCSABBCD 7 分 1sinsin2BCDSBD CDDD 8 分 所以平面四边形ABDC的面积S ABCSBCDS5cossin4DD 52sin44D 9 分 因为0D，所以3444D10 分 所以当34D时，sin14D，11 分 此时平面四边形ABDC的面积有最大值524.12 分 18.（1）证明：如图 1，在ADE中，1,2,60ADAEA，得到222cos603DEADAEAD AE 1 分 所
21、以222ADDEAE，从而,ADDE BDDE 2 分 所以在图 2 中，1,ADDE BDDE 1ADB是二面角1ADEB的平面角3分 所以190ADB，即1ADBD 又因为1,ADDE BDDED，,BD DE 平面BCED 所以1AD 平面BCED.5 分.（2）方法一：向量法 由（1）知，1,AD DB DE两两垂直，分别以1,DB DE DA所在直线为,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.6分 则0,0,0D，2,0,0B，10,0,1A，1 3 3,022C，且3 3 3,022BC.7分 假 设 线 段BC上 存 在 点P，使 直 线1PA与 平 面1ABD所 成 的 角
22、 为60，设33 3,022BPBC，其中0,1，1133 32,122APADDBBPBC 8 分 平面1BDA的一个法向量为0,1,0n 9 分 则111sin60cos,AP nAP nAP n 223 323233 3212210 分 解得5611分 所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52.12 分 方法二：传统法 由（1）知1AD 平面BCED，因为1AD 平面1ABD，所以平面1ABD 平面BCED.6 分 假设线段BC上存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60，作PFBD于F，则PF 平面1ABD.7 分 连接1AF，则1PAF就是直线1PA与平面1ABD所成的
23、角.8 分 设PBx，则311,2222PFx BFx DFx，9 分.222111524AFADDFxx10 分 2132tan601524xPFAFxx11 分 解得52x 所以存在满足要求的点P，且线段PB的长度为52.12 分 19.解：（1）因为12ca，所以32ba，1分 将点M坐标代入椭圆标准方程，得到223314ab 2 分 联立，解得23ab3 分 所以椭圆C的标准方程为22143xy.4 分（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykxm，并设11,A x y，22,B xy，线段AB中点1212,22xxyyN在直线OM上，所以121212121222yyyy
24、xxxx5 分 因为22112222143143xyxy，两式相减得到22221212043xxyy 12121212043xxxxyyyy 因为121212121,2yyyykxxxx.所以32k 6 分 由2214332xyyxm，消去y得到关于x的一元二次方程并化简得 223330 xmxm 2291230mm，解得2 32 3m7 分 212123,3mxxm x x8 分 原点O到直线l的距离21mdk9 分 2221212113mABkxxk 222121122232 3OABmmmmSAB d10 分 2212232 3mm 11 分 当且仅当6m 时取等号12 分 综上，当6m
25、 时，OAB面积最大值为3，此时直线l方程为362yx.（没有总结语，扣 1 分）20.解：（1）2 分 2K的观测值2100 48 842243.841505090 10k 3 分 所以有 95的把握认为“生产能手”称号与性别有关.4 非“生产能手”“生产能手”合计 男员工 48 2 50 女员工 42 8 50 合计 90 10 100 .分（2）若员工实得计件工资超过 3100 元，则每月完成合格品的件数需超过 3000 件.5分 由统计数据可知：男员工实得计件工资超过 3100 元的概率为125p；6分 女员工实得计件工资超过 3100 元的概率为212p.7分 设 2 名女员工中实得
26、计件工资超过 3100 元的人数为X，则12,2XB；1 名男员工中实得计件工资超过 3100 元的人数为Y，则21,5YB.Z的所有可能取值为 0,1,2,3，8分 20213300,0002520P ZP XYP XP YC 22121312211,00,125255P ZP XYP XYC 22121312722,01,1252520P ZP XYP XYC 212132,12510P ZP XY10 分 随机变量Z的分布列为 11 分 2717123520105E Z .12分 21.解：（1）函数 f x的定义域为0,.xafxex1 分 当0a 时，0fx，f x在定义域0,单调递
27、减，f x没有极值点；2 分 Z 0 1 2 3 P 320 25 720 110.当0a 时，xafxex在0,单调递减且图像连续，10afae，0 x 时，fx ，所以存在唯一正数0 x，使得 00fx，函数 f x在00,x单调递增，在0,x 单调递减，所以函数 f x有唯一极大值点0 x，没有极小值点.3 分 综上：当0a 时，f x没有极值点；当0a 时，f x有唯一极大值点，没有极小值点.4分（2）方法一：由（1）知，当0a 时，f x有唯一极大值点0 x，所以 00max0lnxf xf xaxe，0f x 恒成立 00f x5 分 因为00 xaex，所以 000001lnln
28、0af xaxaxxx，所以001ln0 xx.令 1lnh xxx，则 h x在0,单调递增，由于11.74ln1.7401.74h，11.8ln1.801.8h，所以存在唯一正数1.74,1.8m，使得 0h m，从 而00,xm.6分 由于 000ln0 xf xaxe恒成立，当00,1x 时，000ln0 xf xaxe成立；当01,xm时，由于00ln0 xaxe，所以00lnxeax.7分 令 lnxeg xx，当1,xm时，21ln0lnxexxgxx，所以 lnxeg xx在1,m单调递减，从而 ag m.因为 1.74g mg，且1.741.7410.3ln1.74eg，且a
29、N*，所以.10a.8分 下面证明10a 时，10ln0 xf xxe.10 xfxex，且 fx在0,单调递减，由于 1.740,1.80ff，所以存在唯一01.74,1.8x，使得 000100 xfxex，9 分 所 以 00000max0010110ln10 ln1010 ln10 xfxfxxexxxx.10分 令 110 ln10u xxx，1.74,1.8x，易知 u x在1.74,1.8单调递减，所以 11.7410 ln101.7410 2.3032.3101.74u xu，所以 00max0110 ln100fxfxxx 11 分 即10a 时，10ln0 xf xxe.所
30、以a的最大值是 10.12 分 方法二：由于 0f x 恒成立，所以 1.61.6ln1.60fae，1.610.5ln1.6ea；1.71.7ln1.70fae，1.710.3ln1.7ea；1.81.8ln1.80fae，1.810.3ln1.8ea；因为aN*，所以猜想：a的最大值是 10.6 分 下面证明10a 时，10ln0 xf xxe.10 xfxex，且 fx在0,单调递减，由于 1.740,1.80ff，.所以存在唯一01.74,1.8x，使得 000100 xfxex，8 分 所以 00000max0010110ln10 ln1010 ln10 xfxfxxexxxx.9
31、分 令 110 ln10u xxx，1.74,1.8x，易知 u x在1.74,1.8单调递减，所以 11.7410 ln101.7410 2.3032.3101.74u xu，10 分 所以 00max0110 ln100fxfxxx11 分 即10a 时，10ln0 xf xxe.所以a的最大值是 10.12 分 22解：（1）由cos2 24，得到cossin41 分 因为cos,sinxy 所以直线l普通方程为40 xy.2 分 设2 3cos,2sinPtt，则点P到直线l的距离 4sin42 3cos2sin432 2 sin1322tttdt4 分 当sin13t 时，max4
32、2d 所以点P到直线l的距离的最大值为4 2.5分（2）设曲线C上任意点cos,2sinP att，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，所以cos2sin40att对t R 恒成立，7 分 24sin4at，其中222cos,sin44aaa8 分 从而244a 9 分.由于0a，解得实数a的取值围是02 3a.10 分 23.解：（1）当1m 时，34,2312332,124,1xxfxxxxxxx 1 分 因为 1f x，所以3241xx 或者312321xx或者141xx 3 分 解得：332x 或者312x，所以不等式 1f x 的解集为31xx .5 分（2）对 于 任 意 实 数x，t，不 等 式 21f xtt恒 成 立，等 价 于 maxmin21f xtt6 分 因为 21213tttt，当且仅当210tt时等号成立，所以min213tt7 分 因为0m 时，23f xxmxm34,2332,24,mxmxmxmxmxmxm 函数 f x单增区间为3,2m，单间区减为3,2m，所以当32mx 时，max3522mmfxf9 分 所以532m，所以实数m的取值围605m.10 分 .