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1、数值分析课程设计实验报告 龙格库塔法分析 Lorenz 方程 200820302033 胡涛 一、问题叙述 考虑著名的 Lorenz 方程()dxs yxdtdyrxyxzdtdzxybzdt 其中 s，r，b 为变化区域内有一定限制的实参数，该方程形式简单，表面上看并无惊人之处，但由该方程揭示出的许多现象，促使“混沌”成为数学研究的崭新领域，在实际应用中也产生了巨大的影响。二、问题分析 Lorenz 方程实际上是一个四元一阶常微分方程，用解析法精确求解是不可能的，只能用数值计算，最主要的有欧拉法、亚当法和龙格-库塔法等。为了得到较高精度的，我们采用经典四阶龙格库塔方法求解该问题。三、实验程序
2、及注释（1）算法程序 function T=Runge_Kutta(f,x0,y0,h,n)定义算法，其中 f 为待解方程组，x0 是初始自变量，y0 是初始函数值，h 是步长，n 为步数 if nargin5 n=100;如果输入参数个数小于 5，则步数n=100 end r=size(y0);r=r(1);返回初始输出矩阵的行列数，并将值赋给 r(1)s=size(x0);s=s(1);返回初始输入矩阵的行列数，并将值赋给 s(1)r=r+s;T=zeros(r,n+1);T(:,1)=y0;x0;for t=2:n+1 以下是具体的求解过程 k1=feval(f,T(1:r-1,t-1)
3、;k2=feval(f,k1*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2);k3=feval(f,k2*(h/2)+T(1:r-1,t-1);x0+h/2);k4=feval(f,k3*h+T(1:r-1,t-1);x0+h);x0=x0+h;T(:,t)=T(1:r-1,t-1)+(k1+k2*2+k3*2+k4)*(h/6);x0;end（2）主程序 function dy=fun(x)定义函数 s=10.0;给参数 s，r，b 赋值 r=28.0;b=8.0/3;dy(1)=s*(x(2)-x(1);Lorenz方程表达式 dy(2)=(r*x(1)-x(3)*x(1)-x(2)
4、;dy(3)=x(1)*x(2)-b*x(3);dy=dy;（2）运行程序 T=Runge_Kutta(fun,0,10;10;10,0.01,5000);调用前面的算法程序 plot3(T(1,:),T(2,:),T(3,:);显示三分量的关系图 axis(-20 20-50 50 0 50)定义坐标轴长度 view(3)设定观察角度 四、实验数据结果及分析（1）各初始变量相同时的图像分析 各初始变量取相同的值10，10，10，运行上述程序后，得到如下图像：从图中可以看出，各初始变量相同时，曲线总是被吸引回奇怪吸引子附近作来回跳跃。初始变量值取为-10，-10，-10，20，20，20时，依
5、然如此。图像如下：-10，-10，-10 20，20，20 （2）初始值的每个分量变化对图像的影响 y 分量：0，2，0 0，5，0 0，15，0 0，20，0 从上面可以看出，随着初始 y 值的增大，奇怪吸引子中曲线在其附近来回跳跃的两个位置中的一个吸引力变弱，另一个吸引力变强。初始 y 继续增大到某一特定值，情况又会变回来。这说明在空间存在一些区域，当初始位置位于这些区域外时解将出现奇怪吸引子的性质，而在这些区域以内解将呈现普通吸引子的性质。z 分量：0，0，20 从上图可以看出解的曲线为一直线，这可以从方程的角度来解释。当 x=0,y=0 时在方程中 dx/dt=0,dy/dt=0，x，
6、y 方向的值不发生变化，仅 z 方向的值变化，因此解为一直线。（3）调整参数 r、s、b 对图像的影响 为便于分析，我们只调整 r、s、b 三个参数中的任意一个。当只调整 b 且将初始变量取为0，eps，0。具体情况如下：s=10.0，r=28.0，b=8.0/3 s=10.0，r=28.0，b=9.6/3 s=10.0，r=28.0，b=11.0/3 s=10.0，r=28.0，b=15.0/3 增大 b 值时，Lorenz 曲线在其附近来回跳跃的两个位置会一个加强，一个减弱。当 b达到某一值时，个位置丧失吸引力，另一位置则将曲线完全吸引过来变成普通吸引子。改变s 和 r 的值也有类似的现象。五、实验结论 本实验利用龙格库塔法对 Lorenz 方程进行了分析，从实验中我们得出，Lorenz 方程的解对初始变量和参数 r、s、b 具有很强的敏感性。