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1、 数 学 M 单元 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理 11 M12015山东卷 观察下列各式:C01 40;C03 C13 41;C05 C15 C25 42;C07 C17 C27 C37 43;照此规律,当n N*时,C02n1 C12n1 C22n1Cn12n1 _ 11 4n1 解析 归纳可知,C02n1 C12n1 C22n1Cn12n1 4n1.M2 直接证明与间接证明 16 2015湖南卷 N1(1)选修4-1:几何证明选讲 如图1-5,在O 中,相交于点E 的两弦AB,CD 的中点分别是M,N,直线MO 与直线 CD 相交于点F.证明:(i)MENNOM 180;(ii)F
2、EFN FMFO.图 1-5 N3(2)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线l:x 532t,y312t(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为 2cos .(i)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(ii)设点M 的直角坐标为(5,3),直线l 与曲线C 的交点为A,B,求|MA|MB|的值 N4、M2(3)选修4-5:不等式选讲 设 a0,b0,且a b1a1b.证明:(i)a b 2;(ii)a2 a2 与 b2 b0,b0,得 ab1.(i)由基本不等式及 ab1,有 ab2 ab2(当且仅当 ab 时等号成立),即 ab2.(i
3、i)假设 a2a2 与 b2b2 同时成立,则由 a2a0,得 0a1;同理,0b1.从而 ab1,这与 ab1 矛盾,故 a2a2 与 b2b0,函数 f(x)eaxsin x(x0,)记 xn为 f(x)的从小到大的第 n(nN*)个极值点证明:(1)数列f(xn)是等比数列;(2)若 a1e21,则对一切 nN*,xn|f(xn)|恒成立 21证明:(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)a21eaxsin(x),其中 tan 1a,02.令 f(x)0,由 x0,得 xm,即 xm,mN*.对 kN,若 2k x(2k1),即 2k x0;若(2
4、k1)x(2k2),即(2k1)x(2k2),则 f(x)0.因此,在区间(m1),m)与(m,m)上,f(x)的符号总相反,于是当 xm(mN*)时,f(x)取得极值,所以 xnn(nN*)此时,f(xn)ea(n)sin(n )(1)n1ea(n)sin .易知 f(xn)0,而 f(xn1)f(xn)(1)n2ea(n1)sin(1)n1ea(n)sin ea是常数,故数列f(xn)是首项为 f(x1)ea()sin ,公比为ea的等比数列(2)由(1)知,sin 1a21,于是对一切 nN*,xn|f(xn)|恒成立,即 n 1a21ea(n)恒成立,等价于a21a0)设 g(t)et
5、t(t0),则 g(t)et(t1)t2.令 g(t)0,得 t1.当 0t1 时,g(t)1 时,g(t)0,所以 g(t)在区间(1,)上单调递增 从而当 t1 时,函数 g(t)取得最小值 g(1)e.因此,要使(*)式恒成立,只需a2 1a1e2 1.而当a1e2 1时,由tan 1ae2 1 3且 02知,3 2.于是 2332 e2 1.因此对一切n N*,axnn e2 1 1,所以g(axn)g(1)ea2 1a,故(*)式恒成立 综上所述,若a1e2 1,则对一切n N*,xn|f(xn)|恒成立 M3 数学归纳法 22 B3、M3、E72015湖北卷 已知数列an的各项均为
6、正数,bn n11nnan(n N),e 为自然对数的底数(1)求函数f(x)1 x ex的单调区间,并比较11nn与 e 的大小;(2)计算b1a1,b1b2a1a2,b1b2b3a1a2a3,由此推测计算b1b2 bna1a2 an的公式,并给出证明;(3)令 cn(a1a2 an)1n,数列an,cn的前n 项和分别记为Sn,Tn,证明:Tn0,即x0 时,f(x)单调递增;当 f(x)0 时,f(x)单调递减 故 f(x)的单调递增区间为(,0),单调递减区间为(0,)当 x0 时,f(x)f(0)0,即1 xex.令 x1n,得11ne1n,即11nne.(2)b1a1 11111
7、1 1 2;b1b2a1a2b1a1b2a2 2 21122(2 1)2 32;b1b2b3a1a2a3b1b2a1a2b3a3 32 31133(3 1)3 43.由此推测:b1b2 bna1a2 an(n 1)n.下面用数学归纳法证明.(i)当 n 1 时,左边右边2,成立(ii)假设当n k 时,成立,即b1b2 bka1a2 ak(k 1)k.当 n k 1 时,bk1(k 1)11k 1k 1ak1,由归纳假设可得 b1b2bkbk1a1a2akak1b1b2bka1a2akbk1ak1(k1)k(k1)11k1k1(k2)k1.所以当 nk1 时,也成立 根据(i)(ii),可知对
8、一切正整数 n 都成立(3)证明:由 cn的定义,算术-几何平均不等式,bn的定义及得 Tnc1c2c3cn(a1)11(a1a2)12(a1a2a3)13(a1a2an)1n(b1)112(b1b2)123(b1b2b3)134(b1b2bn)1nn1 b112b1b223b1b2b334b1b2bnn(n1)b11121231n(n1)b2123 1341n(n1)bn1n(n1)b111n1b2121n1 bn1n1n1b11b22bnn1111a11122a211nnanea1ea2eaneSn,即 TneSn.23M32015江苏卷 已知集合 X1,2,3,Yn1,2,3,n(nN*
9、),设 Sn(a,b)|a 整除 b 或 b 整除 a,aX,bYn令 f(n)表示集合 Sn所含元素的个数(1)写出 f(6)的值;(2)当 n6 时,写出 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明 23解:(1)f(6)13.(2)当 n6 时,f(n)n2n2n3,n6t,n2n12n13,n6t1,n2n2n23,n6t2,n2n12n3,n6t3,n2n2n13,n6t4,n2n12n23,n6t5(tN*)下面用数学归纳法证明:当 n6 时,f(6)62626313,结论成立 假设n k(k 6)时结论成立,那么n k 1 时,f(k 1)在f(k)的基础上新增加的元素在(1,k 1)
10、,(2,k 1),(3,k 1)中产生,分以下情形讨论:(i)若 k 1 6t,则k 6(t 1)5,此时有 f(k 1)f(k)3 k 2k 12k 23 3 (k 1)2k 12k 13,结论成立;(ii)若 k 1 6t 1,则k 6t,此时有 f(k 1)f(k)1 k 2k2k3 1 (k 1)2(k 1)12(k 1)13,结论成立;(iii)若 k 1 6t 2,则k 6t 1,此时有 f(k 1)f(k)2 k 2k 12k 13 2 (k 1)2k 12(k 1)23,结论成立;(iv)若 k 1 6t 3,则k 6t 2,此时有 f(k 1)f(k)2 k 2k2k 23
11、2 (k 1)2(k 1)12k 13,结论成立;(v)若 k 1 6t 4,则k 6t 3,此时有 f(k 1)f(k)2 k 2k 12k3 2 (k 1)2k 12(k 1)13,结论成立;(vi)若 k 1 6t 5,则k 6t 4,此时有 f(k 1)f(k)1 k 2k2k 13 1 (k 1)2(k 1)12(k 1)23,结论成立 综上所述,结论对满足n 6 的自然数n 均成立 M4 单元综合 8 M42015广东卷 若空间中n 个不同的点两两距离都相等,则正整数n 的取值()A至多等于3 B至多等于4 C等于5 D大于5 8 B 解析 正四面体符合要求,因此n 可以等于4.下
12、面证明n 5 不可能 证明:假设存在五个点两两距离相等,设为A,B,C,D,E.其中A,B,C,D 构成空间的正四面体ABCD,设其棱长为a.设 G 为BCD 的中心,则不难算出AG63a,BG33a,且AG平面BCD.如果点E 到 A,B,C,D 四点的距离相等,那么点E 一定在直线AG 上,且EB a.如果点E 在线段AG 上,那么在Rt EBG 中,EGBE2 BG263a,AG63a,此时 A,E 重合,所以点E 可能在AG 的延长线上 如果点E 在 AG 的延长线上,此时EG63a,EA2 63a a.综上所述,如果E 到正四面体的四个顶点的距离相等,那么点E 只能是正四面体的四个顶
13、点之一 所以若空间中n 个不同的点两两距离相等,则正整数n 的取值至多是4.15 M42015福建卷 一个二元码是由0 和 1 组成的数字串x1x2 xn(n N*),其中xk(k 1,2,n)称为第k 位码元二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0 变为1,或者由1 变为0)已知某种二元码x1x2 x7的码元满足如下校验方程组:x4 x5 x6 x7 0,x2 x3 x6 x7 0,x1 x3 x5 x7 0,其中运算定义为:0 0 0,0 1 1,1 0 1,1 1 0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述
14、校验方程组可判定k 等于_ 15 5 解析 1101101 中 x1 x2 x4 x5 x7 1,x3 x6 0,则 x4 x5 x6 x7 1,不满足方程组,x2 x3 x6 x7 0,满足方程组,所以推测x4或x5错误又x1 x3 x5 x7 1,不满足方程组,所以x5错误,故k 5.7 2015泉州五校联考 已知三次函数f(x)ax3 bx2 cx d(a 0),设f(x)是函数y f(x)的导数,f(x)是 f(x)的导数,若方程f(x)0 有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现,任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且
15、“拐点”就是对称中心设函数f(x)13x312x2 3x512,请你根据该同学的发现,计算f12015 f22015 f32015f20142015 _ 7 2014 解析 f(x)x2 x 3,由f(x)2x 1 0 得 x12,则12,1 为 y f(x)的对称中心,故f12015 f20142015 f22015 f201320152f12 2,故 f12015 f22015 f32015f20142015 2014.8 2015武汉三调 如图K522(1)所示,在平面几何中,设O 是等腰直角三角形ABC底边BC 的中点,AB 1,过点O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q,R,则有
16、1AQ1AR 2.类比以上结论,将其拓展到空间中,如图K522(2)所示,设O 是正三棱锥A-BCD中底面BCD 的中心,AB,AC,AD 两两垂直,AB 1,连接AO,且过点O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q,R,P,则有_ 图 K522 8.1AQ1AR1AP 3 解析 设 O 到正三棱锥A-BCD 三个侧面的距离为d.易知V三棱锥R-AQP13SAQP AR1312 AQ AP AR16AQ AP AR.又V三棱锥R-AQP V三棱锥O-AQP V三棱锥O-ARP V三棱锥O-AQR13SAQP d13SARP d13SAQR d16(AQAP ARAP AQAR)d
17、,16AQ AP AR16(AQAP ARAP AQAR)d,即1AQ1AR1AP1d.而 V三棱锥A-BDC13SBDC AO1334 23316,V三棱锥O-ABD13V三棱锥A-BDC118,即13 SABD d1312 d118,得d13,1AQ1AR1AP 3.6 2015江西师大附中模拟 由棱长为1 的正方体叠成的几何体如图K521 所示,第 1个几何体的表面积为6,第 2 个几何体的表面积为18,第 3 个几何体的表面积是36.依此规律,则第n 个几何体的表面积是_.63n(n 1)解析 第 1个几何体的表面积为6 1 6,第 2个几何体的表面积为6(1 2)18,第3 个几何体的表面积为6(1 2 3)36,由此可得第n 个几何体的表面积为6(1 2 3n)3n(n 1)