6抽象函数的周期性8195.pdf

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1、抽象函数的周期和对称性 一、关于周期性的结论 1.()()f xTf x型：f x()的周期为T。2.f xaf xb()()型：f x()的周期为|ba。证明：f xaf xbf xf xba()()()()。3.f xaf x()()型：f x()的周期为2a。证明：f xafxaaf xaf x()()()()2 f x()4.)(1)(xfaxf型：f x()的周期为2a。证明：f xafxaaf xaf xf x()()()()()2111。5.f xaf xf x()()()11型：f x()的周期为4a。证明：f xafxaaf xaf xa()()()()211 1111111

2、f xf xf xf xf x()()()()()，f xafxaaf xaf xf x()()()()()4221211。6.两线对称型：函数f x()关于直线xa、xb对称，则f x()的周期为|22ba。证明：f xfaxf xfbxfaxfbxf xf xba()()()()()()()()222222，。7.一线一点对称型：函数f x()关于直线xa及点(,0)b对称，则f x()的周期为|44ba。证明：f xfaxfbxf xfaxfbxf xbaf x()()()()()()()()222222，所以f xbafxbabaf xbaf xf x()()()()()4422222

3、2 8.两点对称型：函数f x()关于点(,0)a、(,0)b对称，则f x()的周期为|22ba。证明：faxf xfbxf xfaxfbxf xf xba()()()()()()()()222222 。二、关于对称性的结论（1）若()()f xf ax，则()f x关于2ax 对称（2）若()()f axf ax，则()f x关于xa对称（3）若()()f axf bx，则()f x关于2abx对称 习题 1.设函数()yf x是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x 对称，已知2,2x 时，函数2()1f xx，则6,2x 时，()f x .2.在R上 定 义 的 函 数()f x是

4、偶 函 数，且()(2)f xfx，若()f x在 区间2,1上是减函数，则()f x （）A.在区间1,2上是增函数，在区间4,3上是增函数 B.在区间1,2上是增函数，在区间4,3上是减函数 C.在区间1,2上是减函数，在区间4,3上是增函数 D.在区间1,2上是减函数，在区间4,3上是减函数 3.设()f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数，且()yf x的 图 象 关 于 直 线12x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)fffff .4.已知定义在R上的奇函数()f x满足(2)()f xf x，则(6)f的值为（）A.1 B.0 C.1 D.2 5.已知偶函数()yf x满足(

5、1)(1)f xf x，且当 1,0 x 时，4()39xf x，则13(log 5)f的值等于（）A.1 B.5029 C.45101 D.1 6.设()f x为R上的奇函数，且()(3)0fxf x，若(1)1f ，(2)log 2af，则a的取值范围是 .7.函数()f x对于任意实数x满足条件1(2)()f xf x，若(1)5f，则(5)ff等于（）A.5 B.5 C.51 D.51 8.已知定义在R上的函数()yf x满足下列三个条件：对于任意的xR，都有(4)()f xf x；对于任意的1202xx，都有12()()f xf x；函数(2)yf x的图象关于y轴对称。则下列结论正

6、确的是（）A.(6.5)(5)(15.5)fff B.(5)(6.5)(15.5)fff C.(5)(15.5)(6.5)fff D.(15.5)(5)(6.5)fff 9定义在),(上的偶函数()f x满足(1)()f xf x，且在0,1 上是增函数，下面是关于()f x的判断：()f x是周期函数；()f x的图象关于直线1x 对称；()f x在1,0上是增函数；(2)(0).ff 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。10 函数()()yf xxR满足()f x是偶函数，又(0)2003f，()(1)g xf x为奇函数，则(2004)f .11 设f x()是R上的奇函数，

7、f xf x()()2，当01x时，f xx()，则f(.)20055=（）A.B.C.D.12已知定义在 R 上的奇函数()f x满足1(1)()f xf x,当102x时,xxf4)(,则)411(f=_ _.13对于函数()yf x定义域为R而言,下列说法中正确的是_.(填序号)函数(1)yf x的图像和函数(1)yfx的图像关于1x 对称.若恒有(1)(1)f xfx,则函数()yf x的图像关于1x 对称.函数(21)yfx的图像可以由(2)yfx向左移一个单位得到.函数()yf x和函数()yfx 图像关于原点对称.14 定 义 在R上 的 函 数()f x,对 任 意xR都 有)

8、()3(xfxf,当)0,3(x 时,xxf3)(,则)2014(f_.15已知 xf是以 2 为周期的函数,且当 3,1x时,xxfx2log4,则 1f _ _.16定义在R上的函数()yf x满足1(0)0,()(1)1,()()52xff xfxff x,且当1201xx时,12()()f xf x,则1()2013f_.17已知函数 xf是奇函数,且当0 x时,123xxxf,则当0 x时,xf的解析式为_ _.18若函数2()1axf xx的图象关于点(1,1)对称,则实数a=_.19设函数 f x是定义在R上的偶函数,当0 x 时,21xf x.若 3f a,则实数a的值为_;2

9、0已知函数)1(xfy的图像过点3 2(,),则函数f x()的图像关于x轴的对称图形一定过点_.21设函数()f x是周期为 5 的奇函数,当02x时,()23xf x,则(2013)f=_ _.22对于函数()()yf x xR,给出下列命题:(1)在同一直角坐标系中,函数(1)yfx与(1)yf x的图象关于直线0 x 对称;(2)若(1)(1)fxf x,则函数()yf x的图象关于直线1x 对称;(3)若(1)(1)fxf x,则函数()yf x是周期函数;(4)若(1)(1)fxf x,则函数()yf x的图象关于点(0,0)对称.其中所有正确命题的序号是_.23若函数()f x是

10、周期为 5 的奇函数,且满足(1)1,(2)2ff,则(8)(14)ff=_.24已知()f x是定义在R上的奇函数,且(4)()f xf x,当(0,2)x时,()2f xx,则(7)f_ _ 25设函数f(x)|x2|xa|的图像关于直线x2对称，则a的值为_ 26 已 知 函 数()f x是 定 义 在R上 的 偶 函 数,对 任 意 的xR都 有(4)()(2)f xf xf成立,若(1)3f,则(2013)f=_.27已知定义域为R的函数2()2xxbf xa是奇函数.(1)求,a b的值;(2)用定义证明()f x在R上为减函数;(3)若对于任意2,2t,不等式22(2)(2)0f ttftk恒成立,求k的取值范围.答案：1、2()(4)1f xx；2、B；3、0 4、B 5、D 6、1a 或102a 7、D 8、A 9、；10、2003.11 12、22 13、14、91,分析:周期为 3)2()23672()2014(fff 15、4.16、321 17.123xxxf ;18、1 19、1 20、(4,-2)21、1 22、23、1 24、3 25、6 26、3