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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国卷)第卷一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2010 课标全国卷,文 1)已知集合A=x|x|2,xR,B=x|x4,xZ,则AB等于()A.(0,2)B.0,2 C.0,2D.0,1,2答案:D2.(2010 课标全国卷,文 2)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于()A.658B.658C.6516D.6516答案:C3.(2010课标全国卷,文 3)已知复数z=2)31(3ii+,则|z|等于()
2、A.41B.21C.1D.2答案:B4.(2010课标全国卷,文 4)曲线y=3x2x+1 在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x1B.y=x+1C.y=2x2D.y=2x+2答案:A5.(2010课标全国卷,文5)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()A.6B.5C.26D.25答案:D6.(2010课标全国卷,文 6)如图,质点P在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为0p(2,2),角速度为 1,那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为()x y O P P02 2 2 2 2 2 d d d d t t t t OOOO4443
3、A B C D答案:C7.(2010课标全国卷,文 7)设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()A.3a2B.6a2C.12a2D.24a2答案:B8.(2010课标全国卷,文 8)如果执行下面的框图，输入N=5，则输出的数等于()开始结束输入N输出Sk S=1,=0k k=+1k N0等于()A.x|x4B.x|x4C.x|x6D.x|x2答案:B10.(2010 课标全国卷,文 10)若 cos=54,是第三象限的角，则 sin(+4)等于()A.10107B.1027C.102D.102答案:A11.(2010课标全国卷,文 11)已知ABCD
4、的三个顶点为A(1,2),B(3,4),C(4,2),点(x,y)在ABCD的内部，则z=2x5y的取值范围是()A.(14,16)B.(14,20)C.(12,18)D.(12,20)答案:B12.(2010 课标全国卷,文 12)已知函数f(x)=+.10,621,10,lgxxxx若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是()A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)答案:C第卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡的相应位置.13.(2010课标全国卷,文 13)圆心在原点且与直线x+y2=
5、0相切的圆的方程为_.答案:x2+y2=214.(2010课标全国卷,文 14)设函数y=f(x)在区间0,1上的图像是连续不断的一条曲线,且恒有 0f(x)1,可以用随机模拟方法近似计算由曲线y=f(x)及直线x=0,x=1,y=0 所围成部分的面积S.先产生两组(每组N个)区间0,1上的均匀随机数x1,x2,Nx和y1,y2,Nx,由此得到N个点(iiyx,)(i=1,2,N),再数出其中满足iyf(ix)(i=1,2,N)的点数N1,那么由随机模拟方法可得S的近似值为_.答案:NN115.(2010课标全国卷,文 15)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_.
6、(填入所有可能的几何体前的编号)三棱锥四棱锥三棱柱四棱柱 圆锥 圆柱答案:16.(2010课标全国卷,文 16)在ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=2,ADB=135.若AC=2AB,则BD=_.答案:2+2三、解答题:本大题共 8 小题,共 70 分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2010课标全国卷,文 17)设等差数列an 满足a3=5,10a=9.(1)求an 的通项公式;(2)求an 的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值.解:(1)由an=a1+(n1)d及a3=5,10a=9 得=+=+.99,5211dada可解得=.2,91da数列an 的通项公
7、式为an=112n.(2)由(1)知,Sn=na1+2)1(nnd=10nn2.因为Sn=(n5)2+25,所以当n=5 时,Sn取得最大值.18.(2010课 标 全 国 卷,文 18)如 图,已 知 四 棱 锥PABCD的 底 面 为 等 腰 梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高.A B C D H P(1)证明平面PAC平面PBD;(2)若AB=6,APB=ADB=60,求四棱锥PABCD的体积.(1)证明:因为PH是四棱锥PABCD的高,所以ACPH.又ACBD,PH,BD都在平面PBD内,且PHBD=H,所以AC平面PBD,故平面PAC平面PBD.(2)解:因为ABC
8、D为等腰梯形,ABCD,ACBD,AB=6,所以HA=HB=3.因为APB=ADB=60,所以PA=PB=6,HD=HC=1,可得PH=3.等腰梯形ABCD的面积为S=21ACBD=2+3.所以四棱锥的体积为V=31(2+3)3=3323+.19.(2010课标全国卷,文 19)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老年人,结果如下:性别是否需要志愿者男女需要4030不需要160270(1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例.(2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关?(3)根据(2)的结论,能否
9、提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由.附:P)(2kK0.0500.0100.001k3.8416.63510.828K2=)()()()(2dbcadcbabcadn+解:(1)调查的 500位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为50070=14%.(2)K2=43070300200)1603027040(50029.967.由于 9.9676.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关.(3)由(2)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能
10、看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好.20.(2010课标全国卷,文 20)设F1、F2分别是椭圆E:x2+22by=1(0b0;当x(1,0)时,f(x)0.故f(x)在(,1),(0,+)上单调增加,在(1,0)上单调减少.(2)f(x)=x(xe1 ax).令g(x)=xe1 ax,则g(x)=xea.若a1,则当x(0,+)时,g(x)0,g(x)为增函数,则g(0)=0,从而当x0 时g(x)0,即f(x)0.若a1,则当x(0,lna)时,g(
11、x)0,g(x)为减函数,而g(0)=0,从而当x(0,lna)时g(x)0,即f(x)0.综合得a的取值范围为(,1.22.(2010课标全国卷,文 22)选修 4 1:几何证明选讲如图,已知圆上的弧=,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,证明(1)ACE=BCD;(2)BC2=BECD.A B C D E证明：(1)因为=,所以BCD=ABC.又因为EC与圆相切于点C,故ACE=ABC,所以ACE=BCD.(2)因为ECB=CDB,EBC=BCD,所以BDCECB,故BEBC=BCCD,即BC2=BECD.23.(2010课标全国卷,文 23)选修 4 4:坐标系与参数方程已知直线C1
12、:=+=sin,cos1tytx(t为参数),圆2C:=sin,cosyx(为参数).(1)当=3时,求C1与C2的交点坐标;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,P为OA的中点.当变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解：(1)当=3时,C1的普通方程为y=3(x1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组=+=1),1(322yxyxx解得C1与C2的交点为(1,0),(21,23).(2)C1的普通方程为xsinycossin=0.A点坐标为(sin2,cossin),故当 变化时,P点轨迹的参数方程为=cossin21,sin212yx(为参数).P点轨迹的普通方程为(x41)2+y2=161.故P点轨迹是圆心为(41,0),半径为41的圆.24.(2010课标全国卷,文 24)选修 4 5:不等式选讲设函数f(x)=|2x4|+1.x y O 11(1)画出函数y=f(x)的图像;(2)若不等式f(x)ax的解集非空,求a的取值范围.解：(1)由于f(x)=+,2,32,2,52xxxx则函数y=f(x)的图像如图所示.x y O 11(2)由函数y=f(x)与函数y=ax的图像可知,当且仅当a21或a 2 时,函数y=f(x)与函数y=ax的图像有交点,故不等式f(x)ax的解集非空时,a的取值范围为(,2)21,+).