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1、一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD；（2）在CEN 中，CNNECE；（3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCE ABACBDDEEC （法二：）如图 1-2，延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，
2、在ABF 和GFC 和GDE 中有：ABAF BDDGGF（三角形两边之和大于第三边）（1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDE ABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证：BDCBAC。直接的联系，可分析：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有适当添加辅助线构造新的三角形，
3、使BDC 处于在外角的位置，BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC 证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 F ABCDENM11图ABCDEFG21图ABCDEFG12图BDF 是ABD 的外角 BDFBAD，同理，CDFCAD BDFCDFBADCAD 即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知
4、 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证 BECFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知12，34，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把 EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，在DBE 和DNE 中：)()(21)(公共边已知辅助线的作法EDEDDBDN DBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF 在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑
5、在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF 证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中，)()(1)(辅助线的作法对顶角相等中点的定义MDEDCDMCDBD BDECDM （SAS）又12，34（已知）1234180（平角的定义）32=90 ABCDEFN13图123414 图ABCDEFM1234即：EDF90 FDMEDF 90 在EDF 和MDF 中 )()()(公共边
6、已证辅助线的作法DFDFFDMEDFMDED EDFMDF （SAS）EFMF（全等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF 注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证 ABAC2AD，由图想到：ABBDAD,ACCDAD，所以有 ABAC BDCDADAD2AD，左边比要证结论多 BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到
7、要构造 2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则 AE2AD AD 为ABC 的中线 （已知）BDCD （中线定义）在ACD 和EBD 中 )()()(辅助线的作法对顶角相等已证EDADEDBADCCDBD ACDEBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2，求证 EF2AD。ABCDE15图A
8、BCDEF25图 六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任一点。求证：ABACPBPC。分析：要证：ABACPBPC，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 ABACBN，再连接PN，则 PCPN，又在PNB 中，PBPNBN，即：ABACPBPC。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN,在APN 和APC 中)()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPACAN APNAPC（SAS）PCPN（全等三角形对应边
9、相等）在BPN 中，有 PBPNBN（三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC 证明：（补短法）延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，在ABP 和AMP 中 )()(21)(公共边已知辅助线的作法APAPAMAB ABPAMP（SAS）PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A，BCBD 于 B，求证：ADBC 分析：欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与BOC，ABD 与BAC，但
10、根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角ABCDNMP16图1 2作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90（垂直的定义）在DBE 与CAE 中 )()()(已知已证公共角ACBDCAEDBEEE DBECAE （AAS）EDEC EBEA（全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）八、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四
11、边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决。证明：连接 AC（或 BD）ABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC 与CDA 中 )(43)()(21已证公共边已证CAAC ABCCDA （ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E。求证：BD2CE 分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时 CE 与ABC 的平分线垂直，想到 要将其延长。证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知）
12、BEFBEC90（垂直的定义）在BEF 与BEC 中，19图DCBAEF12ABCD18图1234ABCDE17 图O )()()(21已证公共边已知BECBEFBEBE BEFBEC （ASA）CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等）BAC=90 BECF（已知）BACCAF90 1BDA901BFC90 BDABFC 在ABD 与ACF 中 )()()(已知已证已证ACABBFCBDACAFBAC ABDACF（AAS）BDCF（全等三角形对应边相等）BD2CE 十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1；AC、BD 相交于 O 点，且 ABDC，ACBD，求证：AD
13、。分析：要证AD，可证它们所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有 ABDC 和对顶角两个条件，差一个条件，难以证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由 ABDC，ACBD，若连接 BC，则ABC 和DCB 全等，所以，证得AD。证明：连接 BC，在ABC 和DCB 中 )()()(公共边已知已知CBBCDBACDCAB ABCDCB (SSS)AD (全等三角形对应边相等)十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有ABNDCN，故 BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有NBMNCM，所以NBCNCB。问题得证。证明：取 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN 中 DCBA110 图O )()()(已知已知辅助线的作法DCABDADNAN ABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC（全等三角形对应边、角相等）在NBM 与NCM 中 )()()(公共边辅助线的作法已证NMNMCMBMNCNB NMBNCM，(SSS)NBCNCB（全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。111图DCBAMN