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1、 1 三角函数与平面向量 03 诱导公式 一、具本目标：（1）能利用单位圆中的三角函数线推导出，2的正弦、余弦、正切的诱导公式.（2）由于诱导公式涉及的公式比较多，记忆时要分清诱导的方向与角的象限.二、知识概述：1.诱导公式()角 函 数 正弦 余弦 正切 记忆口诀 sin cos tan 函数名不变 符号看象限 -sin cos-tan -sin -cos tan sin -cos-tan cos sin-函数名改变 符号看象限 cos-sin-zk k222【考点讲解】2 2.事实上，对于角()2kkZ的正弦、余弦值有 当k为偶数时，函数名不变，符号看象限；当k为奇数时，函数名改变，符号看
2、象限.总的来说就是“奇变偶不变，符号看象限”3.诱导公式的作用：任意角)2,0(的角；原则：负化正，大化小.4.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号脱周期化锐角特别注意函数名称和符号的确定 1.【2019 年高考全国卷文数】tan255=（）A23 B2+3 C23 D2+3【解析】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)=tan45tan301tan45 tan3031323.313故选 D.【答案】D【变式】330cos（）A21
3、B21 C23 D23【解析】2330cos30360cos330cos.【答案】23【真题分析】3 2【2019 优选题】若点sin 56，cos 56在角 的终边上，则 sin()A.32 B.12 C32 D12【解析】本题考查的是三角函数的概念及诱导公式，由题意可得 sin 56sin6sin 612，cos 56cos 6 cos 6 32，所以点12，32在角 的终边上，且该点到角 顶点的距离 r1223221，所以 sin 321yr32.【答案】C 3.【2019 优选题】“32”是“2cos2tan”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不
4、必要条件【解析】由题意可知：当32时，332sin2322cos2，332tan.而3tan时，zkk,32.因此前者是后者的充分不必要条件.【答案】A【变式】6a是.21sin的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】.21sin656，得由.621sin不一定能得到但由 6a是21sin 的充分不必要条件.【答案】A 4 4【2019 优选题】设函数 22sinxxf，Rx，则()f x是（）A最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数【解析】由 22sinxxf可得：xxf2co
5、s，所以此函数是最小正周期为的偶函数.【答案】B【变式】下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A22cosxy B22sinxy Cxxy2cos2sin Dxxycossin【解析】由题意可知xxy2sin22cos，所以符合最小正周期为的奇函数.【答案】A 5.【2018 优选题】设函数 Rxxf满足 xxfxfsin当 x0时，0 xf，则 623f（）A21 B23 C0 D21【解析】由题意可得：617sin611sin611617sin617623fff 617sin611sin65sin65 f62sin62sin6sin0=212121210.【答案】A 6.若1 3cos()
6、,2,22 则sin(2)（）5 A.12 B.32 C.32 D.32【解析】由1 3cos(),2,22 可得：1cos()cos,2 1cos,2 所以sin(2)sin.而23sin1cos2 所以.3sin(2)2.【答案】C 7.【2017 年高考北京卷文数】在平面直角坐标系 xOy 中，角与角均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称.若 sin=13，则 sin=_【解 析】因 为 角与 角的 终 边 关 于y轴 对 称，所 以 2 ,kkZ，所 以1sinsin 2 sin3k.【答案】13 8.【2017 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 O
7、x 为始边，它们的终边关于 y 轴对称.若1sin3，则cos()=_.【解 析】因 为和关 于y轴 对 称，所 以 2 ,kkZ，那 么1sinsin3，2 2coscos3（或2 2coscos3），所以2227coscoscossinsincossin2sin19 .【答案】79 9.【2018 优选题】已知712sincos2225，且04，则sin_，cos_ 【解析】2512sincossincos27cos2sin.又04，由1cossin2512cossin22则，且0sincos，可得34sin,cos55 6【答案】35 45 10.【2018 年高考浙江卷】已知角 的顶点
8、与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P（3455，-）（1）求 sin（+）的值；（2）若角 满足 sin（+）=513，求 cos 的值【解析】（1）由角的终边过点34(,)55P 得4sin5，所以4sin()sin5.（2）由角的终边过点34(,)55P 得3cos5，由5sin()13得12cos()13.由()得coscos()cossin()sin，所以56cos65 或16cos65.【答案】（1）45；（2）56cos65 或16cos65.7 1.已知31)22015sin(，则)2cos(a的值为（）A31 B31 C97 D97【解析】因为31)
9、22015sin(，所以31cos，所以97)192()1cos2(2cos)2cos(2选 C【答案】C 2.已知232cos，且2，则 tan（）A33-B33 C3-D3【解析】根据诱导公式23sin2cos，又因为2，所以20，所以3，所以3tan【答案】D 3.若3sin()5，是第三象限的角，则sincos22sincos22 （）A12 B12 C2 D2【解析】由题意3sin5，因为是第三象限的角，所以4cos5，因此222sincoscossin(cossin)1 sin1222222cos2sincoscossincossin222222.【答案】B.4.已知sin2cos
10、 30，则cossincossin（）【模拟考场】8 A.3 B.3 C.13 D.13【解析】因为sin2cos 30，所以2cos0sin，可得costan12 11tan2,costan12 13sinsin ，故选 C.【答案】C 5.已知3sin()35x，则5cos()6x ()A.35 B.45 C.35 D.45【解析】3sin()sin()cos()32665xxx，53cos()cos()cos()6665xxx 【答案】C 6.已知1sin,(,)32 2 ，则3sin()sin()2的值为（）（A）922 （B）922 （C）91 （D）91【解析】212 2,cos1
11、 sin12 293 ,312 22 2sinsinsincos2339 .故 B 正确.【答案】B 7.750sin 【解析】本题考查的是三角函数求值问题，所以要求将750转化为303602750再利用诱导公式求30角的正弦值即可.由题意可得2130sin303602sin750sin.【答案】21 8.若1sin3，且2，则cos的值为_ 9【解析】由题意得112 2sinsin,cos1.3293 【答案】2 23 9.已知31sin()lg10，求cos(3)cos(2)3cos()cos()1cossin()cos2【解析】由题有31sinlg 103 ，1sin3，原式coscos
12、cos cos1cos(cos)cos 221122181 cos1 cos1 cossin【答案】18 10.已知函数 f(x)=4tanxsin(2x)cos(3x)-3.()求 f(x)的定义域与最小正周期；（）讨论 f(x)在区间,4 4 上的单调性.【解析】试题分析：（）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：()=2sin 23f xx，再根据正弦函数性质求定义域、周期 根据（1）的结论，研究三角函数在区间,4 4 上单调性【解析】解：f x的定义域为,2x xkkZ.4tancoscos34sincos333fxxxxxx 213=4sinco
13、ssin32sincos2 3sin322xxxxxx=sin23 1-cos23sin23cos2=2sin 23xxxxx.10 所以,f x的最小正周期2.2T 解：令2,3zx函数2sinyz的单调递增区间是2,2,.22kkkZ 由222232kxk,得5,.1212kxkkZ 设5,4 41212ABxkxkkZ ，易知,12 4AB.所以,当,4 4x 时,f x 在区间,12 4上单调递增,在区间412，上单调递减.【答案】（）,2x xkkZ，.（）在区间,12 4上单调递增,在区间412，上单调递减.11.已知角的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(mP（1）求实数m的值；（2）求1)23sin()sin()2sin(的值【解析】（1）角的终边在第二象限，且与单位圆交于点)415,(mP，m0，221514m，解得14m ；（2）由（1）可知151sin,cos44，1sin()cos315243sincos16151sin()sin()11244 11