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1、优质参考文档 优质参考文档 20RR 版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用2.3 函数的奇偶性【高考目标导航】一、考纲点击 1、结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2、会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性;3、了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性。二、热点难点提示 1、函数的奇偶性及简单函数的周期性是考查热点；2、函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数数值及求参数值等问题是重点，也是难点；3、题型以选择题和填空题为主，还可与其他知识点交汇命题【考纲知识梳理】一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函
2、数f(R)的定义域内任意一个，都有f(-R)=f(R)，那么函数f(R)是偶函数。关于R 轴对称 奇函数 如果对于函数f(R)的定义域内任意一个，都有f(-R)=-f(R)，那么函数f(R)是奇函数。关于原点对称 注：1、奇偶函数的定义域的特点：由于定义中对任意一个R 都有一个关于原点对称的-R 在定义域中，即说明奇偶函数的定义域必关于原点对称；2、存在既是奇函数，又是偶函数的函数，它们的特点是定义域关于原点对称，且解析式化简后等于零。二、奇偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反（填“相同”、“相反”）。2、在公共定义域内，优质参考
3、文档 优质参考文档 亦即：（1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数；（3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。注：以上结论是在两函数的公共定义域内才成立；并且只能在选择题、填空题中直接应用，解答题需先证明再利用。3、若是奇函数f(R)且在R=0 处有定义，则f(0)=0.4、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称，且这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；5、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；6、可逆性：)()(xfxf)(xf是偶函数；)()(xfxf)(xf奇函数；7、等价性：)()(xfxf0)
4、()(xfxf)()(xfxf0)()(xfxf 8、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；9、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。三、周期性 1、周期函数：对于函数R=f(R)，如果存在一个非零常数T，使得当R 取定义域内的任何值时，都有f(R+T)=f(R),那么就称函数R=f(R)为周期函数，T为这个函数的周期。2、最小正周期：如果在周期函数f(R)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期。【要点名师透析】一、函数奇偶性的判定 1、相关链接 利用定义判断函数奇偶性的一般步骤，即：优质参考
5、文档 优质参考文档（1）首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称。若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数。（2）若定义域关于原点对称，再判定f(-R)与 f(R)之间的关系 若f(-R)=-f(R)（或f(-R)+f(R)=0），则为奇函数；若f(-R)=f(R)(或 f(-R)-f(R)=0)，则f(R)为偶函数；若f(-R)=-f(R)且 f(-R)=f(R)，则f(R)既是奇函数又是偶函数;若f(-R)f(R)且 f(-R)-f(R)，则f(R)既不是奇函数也不是偶函数。一些重要类型的奇偶函数（1）函数f(R)=aR+a-R为偶函数;函数f(R)=aR-a-R为奇函数；（2）函数f(R)
6、=(aR-a-R)/(aR+a-R)=(aR-1)/(aR+1)其中（a0 且 a 1）为奇函数；（3）函数f(R)=loga(11xx)为奇函数（a0 且 a 1）;（4）函数f(R)=loga(21xx)为奇函数（a0 且 a 1）2、例题解析 例1讨论下述函数的奇偶性：);111(1)()3(;)0)(1(1)0(0)0)(1(1)()2(;22116)()1(222xxogxfxxxnxxxxnxfxfxxx);0(|)()4(22aaaxxaxf常数 解：（1）函数定义域为R，)(2211614161211161222116)(xfxfxxxxxxxxxxx，f(R)为偶函数；（另解
7、）先化简：14414116)(xxxxxf，显然)(xf为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。（2）须要分两段讨论：设);()1(1111)1(1)(,0,0 xfxxnxxnxxnxfxx 设 优质参考文档 优质参考文档)()1(1111)1(1)(,0,0 xfxxnxxnxxnxfxx 当R=0 时 f(R)=0，也满足f(R)=f(R)；由、知，对R R 有 f(R)=f(R)，f(R)为 奇函数；（3）10101222xxx，函数的定义域为1x，f(R)=log21=0(R=1)，即f(R)的图象由两个点A（1，0）与B（1，0）组成，这两点既关于R轴对称，又关于原点对称，
8、f(R)既是奇函数，又是偶函数；（4）R2 a2,要分a0 与 a0 时，),0()0,(|aaaaxaxa函数的定义域为 xxaxfax22)(,0|，当a0 时，f(R)为奇函数；,2,2,2)(,0|2122axaxaxxaxfax称的两点取定义域内关于原点对)(,0,03353)2()2(xfaafaf时当既不是奇函数，也不是偶函数 例2f（R）是定义在（，5 5，）上的奇函数，且f（R）在5，）上单调递减，试判断f（R）在（，5上的单调性，并用定义给予证明 解析：任取R1R25，则R1R25 因f（R）在5，上单调递减，所以f（R1）f（R2）f（R1）f（R2）f（R1）f（R2）
9、，即f（R）在（，5上单调减函数 二、分段函数的奇偶性 1、分段函数奇偶性的判定步骤（1）分析定义域是否关于原点对称；（2）对 R 的值进行分段讨论，寻求f(R)与 f(-R)在各段上的关系；（3）综合（2）在定义域内f(R)与 f(-R)的关系，从而判断f(R)的奇偶性。注：奇偶性是函数的一个整体性质，不能说函数在定义域的某一段上是奇函数或偶函数。2、例题解析 例1已知函数224(0)()4(0)xxxxf xxxxx。试判断()f x的奇偶性 优质参考文档 优质参考文档 分析：确定定义域判断每一段上()fx与()f x的关系判断整个定义域上()fx与()f x的关系结论。解答：由题设可知函
10、数的定义域关于原点对称。当0 x 时，0 x 2222224(),()()44(),()().0,0,4(),()()44(),()().0()()()xxf xxxxxxfxxxf xfxxxxxf xxxxxxfxxxf xfxfxf xf x 则当则综上所述，对于x都有成立，为偶函数。注：分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内R取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据R 的范围取相应的解析式化简，判断f(R)与 f(-R)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断 例2判断函数的奇偶性 解析：显然函数f(R)的定义域为：(-，0)(0,+)，关于原点对称，当R0，则f(-R)=-(-R)2-R=
11、-R2-R=-f(R)；当 R0 时,-R0，则f(-R)=(-R)2-R=R2-R=-f(R)；综上可知：对于定义域内的任意R，总有f(-R)=-f(R)成立，函数f(R)为奇函数；三、抽象函数的奇偶性 1、相关链接 判断（或证明）抽象函数的奇偶性的步骤（1）利用函数奇偶性的定义，找准方向（想办法出现f(R),f(-R)）;（2）巧妙赋值，合理、灵活变形配凑；（3）找出f(R)与 f(-R)关系，得出结论。2、例题解析 例1已知函数f(R)对一切R、R R，都有f(R+R)=f(R)+f(R)，(1)判断函数f(R)的奇偶性；优质参考文档 优质参考文档(2)若 f(-3)=a，用a 表示f(
12、12)分析：判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看f(-R)与f(R)的关系，进而得出函数的奇偶性；解决本题的关键是在f(R+R)=f(R)+f(R)中如何出现f(-R)；用a 表示f(12)实际上是如何用f(-3)表示f(12)，解决该问题的关键是寻找f(12)与 f(-3)的关系 解答：1()()()(),0(0)2(0),(0)0.,(0)()(),()(),()f xRxyf xyf xf yxyfffyxff xfxfxf xf x 显然的定义域是，关于原点对称。又函数对一切、都有令，得再令得为奇函数。(2)(3)()(3)(3).()()(),(12)(66)(6)(6)2(6)3
13、(33)4(3)4.faf xffaf xyf xf y xyRfffffffa 且为奇函数，又、，例2 设函数)(xf在),(上满足)2()2(xfxf，)7()7(xfxf，且在闭区间0，7上，只有0)3()1(ff（1）试判断函数)(xfy 的奇偶性；（2）试求方程0)(xf在闭区间2005,2005上的根的个数，并证明你的结论。解析：（1）由)2()2(xfxf，得函数)(xfy 的对称轴为2x)5()1(ff 而)1()1(0)5(fff，即)(xf不是偶函数 又)(xf在 0，7上只有0)3()1(ff0)0(f 从而知函数)(xfy 不是奇函数 故函数)(xfy 是非奇非偶函数（
14、2）)7()7()2()2(xfxfxfxf)14()4()14()()4()(xfxfxfxfxfxf)10()(xfxf 从而知函数)(xfy 的周期为T=10 又0)1()3(ff 0)9()7()13()11(ffff 故)(xf在 0，10和0,10上均有2个根，从而可知函数)(xfy 在 0，20RR上有400个根，在 20RR，优质参考文档 优质参考文档 20RR上有2 个根，在0,2000上有400 个根，在2000,2005上没有根。函数)(xfy 在2005,2005上有802 个根。注：抽象函数奇偶性的判断，关键是要充分理解题意，灵活选取变量的值。四、函数的周期性及其应用
15、 1、相关链接 关于周期函数的常用结论：（1）若对于函数f(R)定义域内的任意一个R 都有：f(R+a)=-f(R)，则函数f(R)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(R+a)=1()f x，则函数f(R)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(R+a)=-1()f x，则函数f(R)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；(2)如果T 是函数R=f(R)的周期，则 kT(k Z,k 0)也是函数R=f(R)的周期，即f(R+kT)=f(R)；若已知区间m,n(mn)上的图象，则可画出区间m+kT,n+kT(k Z,k 0)上的图象.2、例题解析 例1已知函数f(R)满足：f(1)=14
16、，4f(R)f(R)=f(R+R)+f(R-R)(R,R R)，则f(20PP)=_.思路分析：本题已知函数f(R)是抽象函数，所求f(20PP)的值与已知函数值的变量相差距离较大，可能与函数的周期性有关，因此可由归纳得出结论求值，需要求出多个函数值才发现规律；也可据递推关系推导出周期函数的结论，进而解决问题.解析：方法一：令 R=1,R=0，则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，所以f(0)=12；令 R=R=1，则4f(1)f(1)=f(2)+f(0)，所以f(2)=-14；令 R=2,R=1，则4f(2)f(1)=f(3)+f(1)，所以f(3)=-12；令 R=R=2，则4f(2)
17、f(2)=f(4)+f(0)，所以f(4)=-14；令 R=4，R=1,则 4f(4)f(1)=f(5)+f(3)，优质参考文档 优质参考文档 所以f(5)=14；令 R=R=3，则4f(3)f(3)=f(6)+f(0)，所以f(6)=12；令 R=6，R=1，则4f(6)f(1)=f(7)+f(5),所以f(7)=14；函数值以6 为周期循环出现，又因为20103356，所以f(20PP)=f(335 6+0)=f(0)=12.方法二：令R=1，则4f(R)f(1)=f(R+1)+f(R-1)，f(1)=14,f(R)=f(R+1)+f(R-1)，f(R+1)=f(R)+f(R+2)=f(R
18、+1)+f(R-1)+f(R+2)，f(R-1)=-f(R+2)，即f(R)=-f(R+3)，f(R+6)=f(R)，即函数f(R)是周期为6 的函数，又令R=1,R=0，则4f(1)f(0)=f(1)+f(1)，f(0)=12，f(20PP)=f(335 6+0)=f(0)=12.答案：12 例1已知f(R)是定义在R 上的函数，且满足f(R)+f(R-1)=1,当 R0,1时，有f(R)=R2，现有三个命题：f(R)是以2 为周期的函数；当R1,2时，f(R)=-R2+2R;f(R)是偶函数.其中正确命题的序号是_.解析：正确.f(R)+f(R-1)=1(1)优质参考文档 优质参考文档 f
19、(R+1)+f(R)=1(2)(2)-(1)得 f(R+1)-f(R-1)=0,f(R+1)=f(R-1),则 f(R+2)=f(R),f(R)是以2 为周期的函数.正确.当 R1,2时，R-10,1,f(R)=1-f(R-1)=1-(R-1)2=2R-R2(R0,1时，f(R)=R2).错误.当 R-1,0时，R+10,1.f(R)=1-f(R+1)=1-(R+1)2,f(R)=-R2-2R,又-R0,1,f(-R)=(-R)2=R2,f(R)f(-R)，f(R)不是偶函数.答案：五、函数奇偶性与周期性的综合应用 例已知函数f(R)在 R 上满足f(2-R)=f(2+R)，f(7-R)=f(
20、7+R)且在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0，(1)试判断函数R=f(R)的奇偶性；(2)试求方程f(R)=0 在闭区间-20PP,20PP上根的个数，并证明你的结论 思路分析：(1)判断函数奇偶性的一般思路是利用定义，看 f(-R)与 f(R)的关系，但本题不易出现f(-R)与f(R)，但可先假设该函数是奇函数或偶函数，看能否得出不正确的结论，进而得出结论(即举反例来判断函数的奇偶性).(2)先求函数的周期，然后在它的一个周期内求解，再由其周期性求出定义域内的全部解 解析：(1)若 R=f(R)为偶函数，则 f(-R)=f(2-(R+2)=f(2+(R+2)=f(4+R)=f(R)
21、，f(7)=f(3)=0，这与f(R)在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0 矛盾；因此f(R)不是偶函数.若 R=f(R)为奇函数，则 f(0)=f(-0)=-f(0)，f(0)=0,这与f(R)在闭区间0,7上，只有f(1)=f(3)=0 矛盾；因此f(R)不是奇函数.综上可知：函数f(R)既不是奇函数也不是偶函数.(2)f(R)=f(2+(R-2)=f(2-(R-2)=f(4-R)，优质参考文档 优质参考文档 f(R)=f(7+(R-7)=f(7-(R-7)=f(14-R)，f(14-R)=f(4-R),即 f(10+(4-R)=f(4-R)f(R+10)=f(R),即函数f(R)
22、的周期为10.又f(1)=f(3)=0，f(1)=f(1+10n)=0(n Z)，f(3)=f(3+10n)=0(n Z)，即 R=1+10n 和 R=3+10n(n Z)均是方程f(R)=0 的根.由-20PP 1+10n 20PP 及 n Z 可得n=0，1，2，3，201，共403 个；由-20PP 3+10n 20PP 及 n Z 可得n=0，1，2，3，200，-201，共402 个；所以方程f(R)=0 在闭区间-20PP,20PP上的根共有805 个.【方法提示】(1)如何判断函数不具有某性质 判断函数不具有某性质只需举出一个反例即可；(2)奇偶函数根的个数问题 由于奇偶函数的定
23、义域关于原点对称，且f(-R)=f(R)或 f(-R)=-f(R)，所以，除去根为零外，如果有解，则解的个数为偶数个.注:方程f(R)=A(其中A 为非零常数)的解的个数，如果函数f(R)为偶函数时解的个数为偶数个，如果函数f(R)为奇函数时解的个数不一定为偶数个 六、函数的奇偶性与单调性的综合应用 例定义在R 上的函数)(xf满足对任意Ryx、恒有)()()(yfxfxyf，且)(xf不恒为0。（1）求)1(f和)1(f的值；（2）试判断)(xf的奇偶性，并加以证明；（3）若0 x时)(xf为增函数，求满足不等式0)2()1(xfxf的x的取值集合。解析：（1）令1 yx，得)1()1()1(fff0)1(f 令1 yx，得)1()1()1(fff 0)1(f（2）令1y，由)()()(yfxfxyf，得)1()()(fxfxf 又0)1(f)()(xfxf 又)(xf不恒为0)(xf为偶函数（3）由0)2()1(xfxf 知)2()1(xfxf又由（2）知|)(|)(xfxf