《2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案5006.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案5006.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 ，2 2 a 2016 年福建省高中数学竞赛 暨 2016 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016 年 5 月 22 日上午 9：0011：30，满分 160 分）一、填空题（共 10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中的横线上）1.若函数 f(x)3cos(x )sin(x )（0）的最小正周期为，则 f(x)在区间 6 3 0 上的最大值为 。2【答案】2【解答】f(x)3cos(x )sin(x )3cos(x )sin(x )6 3 6 6 2 3cos(x )cos(x )4 cos(x )，且 f(x)的最小正周期为。6
2、6 6 2，f(x)4 cos(2x )。又 x 0 时，2x 7，6 ，6 6 6 2x ，即 x 0 时，f(x)在区间0 上取最大值2。6 6 ，2.已知集合 A x x2 3x 2 0 ，B x 1 x 3 a ，若 A B，则实数a 的取值范 围为 。【答案】(1，)2 【解答】A x 1 x 2。由 1 x 3 a，得ax 3a 1 0。x 3 a 0 时，B x x 3 。满足 A B。x (3 1)a 0 时，由 ax 3a 1 0，得 a 0，B x x 3 或 x 3 1 。满足 A B。x 3 x 3 a x (3 1)a 0 时，由 ax 3a 1 0，得 a 0，B
3、x 3 1 x 3。由满足 A B，x 3 得3 1 1，1 a 0。x 3 a 2 3 3 2 2 3 2 E B1 D B1 D 1 综合得，a 1。a 的取值范围为(1，)。2 2 3.函数 f(x)x2 ln x x2 2 零点的个数为 。【答案】1【解答】f(x)2x ln x x 2x x(2 ln x 3)。0 x e 3 2 时，f(x)0；x e 3 2 时，f(x)0。f(x)在区间(0，e 3 2)上为减函数，在区间(e 3 2 ，)上为增函数。3 3 1 又0 x e 2 时，ln x 1 1 0，f(x)x2(ln x 1)2 0；2 2 3 3 f(e 2)e 3(
4、1)2 0，f(e)2e2 2 0。2 函数 f(x)的零点个数为 1。或：作图考察函数 y ln x 与 y 2 x2 1图像交点的个数。4.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，二面角 B A1C D 的大小为 。【答案】120【解答】设正方体棱长为 1。作 BE A1C 于 E，连结 DE。D1 C1 由正方体的性质知，A1DC A1BC。DE A1C，A1 BED 为二面角 B A1C D 的平面角，且 BE DE ，BD 。C A B 2 2 2 cosBED 3 3 。（第 4 题）2 2 2 2 3 3 D1 C1 二面角 B A1C D 的大小为120。A1 或：设
5、AC、BD 交于点O，由BEO 60，得BED 120。C A B 3 1 t 2 1 1 1 2 y 5 在 空 间 四 边 形 ABCD 中，已知 AB 2，AC BD。【答案】7 BC 3，CD 4，DA 5，则 【解答】以 AB，BC，CD 为基底向量。则 AD AB BC CD。2 AD A (AB BC CD)2，2 即 AD 2 AB 2 BC 2 CD 2 AB BC 2 AB CD 2BC CD。25 4 9 16 2(AB BC AB CD BC CD)，AB BC AB CD BC CD 2。B D AC BD (AB BC)(BC CD)C AB BC AB CD BC
6、 CD BC BC 2 9 7。6.已知直线l 过椭圆C：x2 2 2 1的左焦点 F 且交椭圆C 于 A、B 两点。O 为坐标原 点，若OA OB，则点O 到直线 AB 的距离为 。【答案】6 3【解答】F(1，0)。显然 x 轴不符合要求。设直线 AB 方程为 x ty 1。x ty 1 x2 y2 1，得(t 2 2)y2 2ty 1 0.2 的判别式大于 0。设 A(x，y)，B(x，y)，则 y y 2t，y y 1。由OA OB，得 1 1 2 2 1 2 t 2 2 1 2 t 2 2 2(t2 1)2t x1x2 y1 y2 (ty1 1)(ty2 1)y1 y2 (t 1)y
7、1 y2 t(y1 y2)1 t2 2 t 1 0。t2 2 (t 2 1)2t 2 t 2 2 0，t 2 1。2 点O 到直线 AB 的距离为 1 6。3 由 4 5 5 0 0 2b 4 4 7.已知 z C，若关于 x 的方程 x2 2zx 3 i 0（i 为虚数单位）有实数根，则复数 z 的 4 模 z 的最小值为 。【答案】1 【解答】设 z a bi（a，b R），x x0 是方程 x2 2zx 3 i 0 的一个实数根。4 则 x2 2(a bi)x 3 i 0。4 x2 2ax 3 0 0 0 4。2bx 1 0 0 1 1 1 3 2 3b2 1 由得，x0 2b，代入，得
8、 4b2 2a 0，3b 4ab 1 0，a 。4b 2 2 2 3b2 1 2 2 25 2 1 3 5 3 z a b ()b b 1，当且仅当b 时等号 4b 16 16b2 成立。z 的最小值为 1。8 8 8 5 （a 2 5，b 5 或a 2 5，b ，即 z (2 5 5 i)）。5 5 5 5 5 5 8.将 16 本相同的书全部分给 4 个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为 。（用数字作答）【答案】216【解答】将 16 分解成 4 个互不相同的正整数的和有 9 种不同的方式：16 1 2 3 10，16 1 2 4 9，16 1
9、2 5 8，16 1 2 6 7，16 1 3 4 8，16 1 3 5 7，16 1 4 5 6，16 2 3 4 7，16 2 3 5 6。符合条件的不同分配方法有9 A 4 216 种。5 1 9f(x)是定义在 R 的函数，若 f(0)1008，且对任意 x R，满足 f(x 4)f(x)2(x 1)，f(x 12)f(x)6(x 5)，则 【答案】504 f(2016)。2016【解答】对任意 x R，f(x 4)f(x)2(x 1)，f(x 12)f(x)f(x 12)f(x 8)f(x 8)f(x 4)f(x 4)f(x)2(x 8)1 2(x 4)1 2(x 1)6x 30 6
10、(x 5)又 f(x 12)f(x)6(x 5)，f(x 12)f(x)6(x 5)。f(2016)f(2016)f(2004)f(2004)f(1992)f(12)f(0)f(0)6 2009 61997 6 5 1008 6(2009 5)168 1008 10081008。2 f(2016)1008 504。2016 2 1 0.当 x，y，z 为正数时，【答案】17 2 4xz yz x2 y2 z2 的最大值为。【解答】x2 16 z2 2 16 xz，当且仅当 x z 时等号成立，y2 1 17 z2 2 17 17 yz，当且仅当 y z 时等号成立。x2 y2 z2 (x2 1
11、6 z2)(y2 1 z2)2 16 xz 2 yz(4xz yz)。17 16 17 4xz yz x2 y2 z2 立。17，当且仅当 x 2 z，y z，即 x：y：z 4：1：17 时等号成 4xz yz x2 y2 z2 的最大值为 17。2 注：本题利用待定系数法。将 z 2 拆成两项 z2 和(1)z2。由 x2 z2 2 y2 (1)z2 2 1 yz，以及 2 4，得 16。由此得到本题的解法。xz，2 1 17 4 17 1 17 1 17 1 17 2 17 4 17 1 17 6 n n n n n n 1 n 二、解答题（共 5 小题，每小题 20 分，满分 100
12、分。要求写出解题过程）1 1.已知数列 a 的前n 项和S 2a 2（n N*）。（1）求 an 的通项公式an；（2）设b 1 1，T 是数列 b 的前n 项和，求正整数k，使得对任意n N*均 n 有Tk Tn；an n(n 1)（3）设c a n 1，R 是数列 c 的前n 项和，若对任意n N*均有 R 成(1 an)(1 a n 1)立，求 的最小值。【解答】（1）由Sn 2an 2，得S n 1 2a n 1 2。两式相减，得a n 1 2a n 1 2an。a n 1 2an，数列 an 为等比数列，公比q 2。由又S1 2a1 2，得a1 2a1 2，a1 2。a 2n。.5
13、分 （2）b 1 1 1 n(n 1)1 。n 2n n(n 1)n(n 1)2n 由计算可知，b1 0，b2 0，b3 0，b4 0。当n 5 时，由 n(n 1)(n 1)(n 2)(n 1)(n 2)0，得当n 5 时，数列 n(n 1)为 2n 2n 1 2n 1 2n 递减数列。于是，n 5 时，n(n 1)5(5 1)1。2n 25 n 5 时，b 1 n(n 1)1 0。n n(n 1)2n 因此，T1 T2 T3 T4，T4 T5 T6 。对任意n N*均有T T 。故k 4。.10 分 4 n a n 1 2n 1 1 1（3）cn (1 a)(1 a 2()(1 2n)(1
14、 2n 1)2n 1 2n 1 1)15 分 R 2 (1 1)(1 1)(1 1)2(1 1)2 2。n 3 5 5 9 2n 1 2n 1 1 3 2n 1 1 3 2n 1 1 对任意n N*均有 R 成立，2。的最小值为 2。.20 分 3 3 n n n n n n 7 e，1 2.已知 f(x)ln(ax b)x2（a 0）。（1）若曲线 y f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y x，求a，b 的值；（2）若 f(x)x2 x 恒成立，求ab 的最大值。【解答】（1）f(x)a ax b 2x。依题意，有f(1)a a b 2 1 。解得，a 1，b 2。f(1)ln(a
15、b)1 1 a 1，b 2。.5 分（2）设 g(x)f(x)(x2 x)，则 g(x)ln(ax b)x，g(x)0。a 0 时，g(x)定义域(，b)，a b 1 取 x 使得ln(ax b)b 1，得 x e a b b。0 0 a 0 a a 则 g(x)ln(ax b)x ln(ax b)(b)(b 1)b 1 0 与 g(x)0 矛盾。0 0 0 0 a a a a 0 时，g(x)0 不恒成立，即a 0 不符合要求。.10 分 a(x a b)a 0 时，g(x)a 1 a（ax b 0）。ax b ax b 当 b x a b 时，g(x)0；当 x a b 时，g(x)0。a
16、 a a g(x)在区间(b a b)上为增函数，在区间(a b，)上为减函数。a a a g(x)在其定义域(b，)上有最大值，最大值为 g(a b)。a a 由 g(x)0，得 g(a b)ln a a b 0。a a b a a ln a。.15 分 ab a2 a2 ln a。设h(a)a2 a2 ln a，则h(a)2a (2a ln a a)a(1 2 ln a)。0 a 时，h(a)0；a e 时，h(a)0。h(a)在区间(0，e)上为增函数，在区间(e，)上为减函数。8 e h(a)的最大值为h(e)e e e。2 2 当a e，b 时，ab 取最大值为 e。综合，得，ab
17、2 的最大值为 e。2 2 20 分 9 1 3.如图，O 为ABC 的外接圆，DA 是O 的切线，且DBA ABC，E 是直线 DB 与O 的另一交点。点 F 在O 上，且 BFEC，G 是CF 的延长线与切线 DA 的交点。求证：AG AD。G F C O E A B D（第13 题）【解答】在ABC 和ABD 中，由 DA 是O 的切线知，BAD BCA。又DBA ABC。ADB CAB。A、B、E、C 四点共圆，CAB CEB 180。5 分 ADE DEC 180。ECDA。10 分 又 BFEC，ECBFDG。由 EC，BF 是O 的两条平行弦知CF EB。GC DE，GF DB。
18、.15 分 又GA2 GF GC，DA2 DB DE。GA2 DA2，AG AD。.20 分 10 x0 5 5 5 2 m 5 5 x 2 5 m 5 x 2 2 5 0 1 5 y0 4 x x x2 2 1 4.如图，F1、F2 为双曲线C：4 y 1的左、右焦点，动点 P(x0 ，y0)（y0 1）在双 曲线C 上的右支上。设F1PF2 的角平分线交 x 轴于点M(m，0)，交 y 轴于点 N。（1）求m 的取值范围；（2）设过 F1，N 的直线l 交双曲线C 于点 D，E 两点，求F2 DE 面积的最大值。【解答】（1）依题意，F1(5，0)，F2(5，0)。直线 PF1 方程为 y
19、 y0 0(x 5)；直线 PF2 方 程为 y(x 5)。即直线 PF 方程为 y x (x 5)y 5 y 0；（第14 题）1 0 0 0 直线 PF2 方程为 y0 x (x0 5)y 5 y0 0。y0m 5 y0 y0m 5 y0 由点M(m，0)在F1PF2 的平分线上，得 。y2 (x 5)2 y2 (x 5)2 0 0 0 0 由 m ，y 1，以及 y2 1 x2 1，得 x 2。0 0 4 0 0 y2 (x 5)2 5 x2 2 5x 4 (5 x 2)2，y2 (x 5)2 (5 x 2)2。0 0 4 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 0。m 4。.5 分
20、 x0 结合 x0 2，得0 4 。x0 m 的取值范围为0，2 。.10 分 （2）由（1）知，直线 PM 方程为 y y0 0 (x 4)。x0 0 0 0 (1)令 x 0，得 y 4 y0 1 x2 4 y。故，点 N 坐标为(0，1)。k y l y0 。0 0 0 y0 0 x0 5 2 11 5y0(y y)2 4 y y 1 2 1 2(10 y0)2 4 1 5 y2 4 0 5 y2 4 0 1 2 t 5 5()1 1 2 1 t 10 20 30 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 直线l 方程为 y 1(x 5)。y (x 5)，消 x 得(5 y 2 4)y
21、2 10 y y 1 0.x2 4 0 0 y2 1 的判别式 100 y2 4(5 y2 4)80 y2 16 0。设 D(x，y)，E(x，y)，则 y y 10 y0，y y 1。.15 分 1 1 2 2 1 2 5y2 4 1 2 5 y2 4 4 5 y2 1 y y 0。1 2 由 y 1，得 y y 10 y0 0，y y 1 0。5 y2 4 0 1 2 5 y2 4 1 2 5y2 4 1 4 5y2 1 y 0，y 0，S F F y y 2 5 0。1 2 F2 DE 1 2 1 2 2 5y2 4 设5 y2 4 t，则t 1，SF DE 4 5 4 5 t 4 5
22、。t 1，即点 P 为 P(2 2，1)时，F2 DE 面积取最大值4。F2 DE 面积的最大值为4。.20 分 1 5 y0 t2 5 1 t 30 由 12 1 5.求满足下列条件的最小正整数n：若将集合 A 1，2，3，n 任意划分为 63 个两 两不相交的子集（它们非空且并集为集合 A）A1，A2，A3，A63，则总存在两个正整数 x，y 属于同一个子集 Ai（1 i 63）且 x y，31x 32 y。【解答】考虑模 63 的剩余类，即将集合 A 划分为如下 63 个两两不相交的子集：Ai a a 63k i，k N ，i 1，2，3，63。.5 分 则对每一个 Ai（1 i 63）
23、及任意的 x，y Ai（x y）都有 x y 63。于是，y x 63，x n。32 y 31x 32(x 63)31x x 32 63 n 2016。若n 2016，则32 y 31x n 2016 0，31x 32 y，与31x 32 y 矛盾。n 2016 时，不满足题设条件。.10 分 另一方面，当 n 2016 时，由 2016 32 63 知，下列 64 个数：31 63，31 63 1，31 63 2，31 63 63 都在集合 A 中。因此，对将 A 1，2，3，n 任意划分为 63 个两两不相交的子集 A1，A2，A3，A63 的划分方法，由抽屉原则知，31 63，31 63 1，31 63 2，31 63 63 这 64 个数中必有两个数 x，y（x y）属于同一个 Ai。.15 分 设 x 31 63 x1，y 31 63 y1，63 x1 y1 0。于是，31x 32 y 31(31 63 x1)32(31 63 y1)(31x1 32 y1)31 63(31 32)31x1 31 63 31 63 31 63 0。n 2016，满足题设的条件。综上可知，满足题设条件的n 的最小值为 2016。.20 分