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1、 带电粒子在有界磁场中运动的临界问题 “临界问题”大量存在于高中物理的许多章节中，如“圆周运动中小球能过最高点的速度条 件”“动量中的避免碰撞问题”等等，这类题目中往往含有“最大”、“最高”、“至少”、“恰好”等词语，其最终的求解一般涉及极值，但关键是找准临界状态。带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，在解答上除了有求解临界问题的共性外，又有它自身的一些特点。一、解题方法 画图动态分析找临界轨迹。（这类题目关键是作图，图画准了，问题就解决了一大 半，余下的就只有计算了这一般都不难。）二、常见题型 （为磁场的磁感应强度，为粒子进入磁场的初速度）分述如下：第一类问题：例如图所示，匀强磁场的磁感应强度
2、为，宽度为，边界为 和。一电子从 边界外侧以速率垂直匀强磁场射入，入射方向与边界夹角为。已知电子的质量为，电荷量为，为使电子能从磁场的另一侧射出，求电子的速率至少多大？分析：如图，通过作图可以看到：随着 的增大，圆半径增大，临界状态就是圆与边 界 相切，然后就不难解答了。第二类问题：例如图所示，水平线 下方存在垂直纸面向里的磁感应强度为 的匀强磁场，在 线上某点正下方与之相距 的质子源，可在纸面内范围内发射质量为、电量 为、速度为的质子，不计质子重力，打在 上的质子在 点右侧最远距离，打在 点左侧最远距离。分析：首先求出半径得，然后作出临界轨迹如图所示（所有从 发射出去的质子 做圆周运动的轨道
3、圆心是在以 为圆心、以为半径的圆上，这类问题可以先作出这一圆 就是圆心的集合，然后以圆上各点为圆心，作出一系列动态圆），。【练习】如图所示，在屏的上方有磁感应强度为的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。为屏上的一小孔，与垂直。一群质量为、带电荷量为的粒子（不计重力），以相同的速率，从 的平面内，且散开在与 （）处沿垂直于磁场的方向射入磁场区域。粒子入射方向在与磁场 垂直 夹角为 的范围内，则在屏 上被粒子打中的区域的长度为 分析：如图所示，打在屏上距 最远的点是以 为圆心的圆与屏的交点，打在屏上最 近的点是以或为圆心的圆与屏的交点（与例 相似，可先作出一系列动态圆）。故答案选 “”。第三类问题：例
4、（年山东卷）如图甲所示，建立 坐标系，两平行极板、垂直于 轴且关 于轴对称，极板长度和板间距均为，第一、四象限有磁场，方向垂直于 平面向里。位于极板左侧的粒子源沿 轴向右连续发射质量为、电量为、速度相同、重力不计的带 电粒子。在时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知时刻进入两板间的带电粒子恰好在 时刻经极板边缘射入磁场。上述、为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回极板间的情况）（）求电压的大小。（）求时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径。（）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。图丙 分析：粒子进入电场做类平抛运动，由平抛运动规律即可
5、求得偏转电压；时刻进入 的粒子先做类平抛运动，后沿末速度方向做匀速直线运动，利用相应规律可求得射出电 场的速度大小，进入磁场后做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，可求提半径；时刻 进入的带电粒子加速时间最长（如图丙所示），加上此时粒子进入磁场是向上偏转，故运动 时间最短，同样应用类平抛运动规律和圆周运动规律，即可求得此最短时间。第四类问题：例如图所示，磁感应强度大小、方向垂直纸面向里的匀强磁场分布在半 径的圆形区域内，圆的左端跟 轴相切于直角坐标系原点，右端跟荧光屏 相 切于轴上的点。置于原点的粒子源可沿 轴正方向射出速度 的带正电 的粒子流，粒子的重力不计，荷质比 。现以过点并垂直于纸面的直
6、线 为轴，将圆形磁场逆时针缓慢旋转，求此过程中粒子打在荧光屏上离 的最远距离。分析：本题可先设想磁场是无界的，那么粒子在磁场中运动的一段圆弧如图 中的弧（半径，圆心为），现在圆形磁场以 为轴在旋转相当于直径 也在旋转，当直径旋转至位置时，粒子从圆形磁场中离开射向荧光屏 时离有最远距离（落 点为）。图中为等边三角形，与O 延长交于点，图中，。练习：如图所示，一个质量为，带电荷量为的粒子以速度从点沿轴正方向射入磁感应强度为的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从轴上的 点穿过，其速度方向与 轴正方向的夹角为 ，粒子的重力可忽略不计，试 求：（）圆形匀强磁场区域的最小面积；（
7、）粒子在磁场中运动的时间；（）到 的距 离。分析：如图，过 点作速度的反向延长线交 轴于 点，作 的角平分线交 轴 于，再以为圆心、以为半径画弧，与直线相切于点，粒子运动的轨迹即为 ，圆形磁场即为以为直径的圆，利用相关物理公式及几何知识不难计算出本题的结果。第五类问题：例电子质量为 ，电荷量为 ，从坐标原点 处沿 平面射入第一象限，射入时速 度方向不同，速度大小均为，如图所示。现在某一区域加一方向向外且垂直于 平面 的匀强磁场，磁感应强度为，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏 上，荧光屏 与轴平行，求：（）荧光屏上光斑的长度；（）所加磁场范围的最小面积。分析：本题可先作出这些射入第一象限的
8、电子做圆周运动的轨道圆心的集合，必在弧 上（如图），然后设想以该弧上的各点 （如图中的等四点）为圆心作出粒子运动的 轨迹，最终垂直射到 上的间，所以荧光屏上光斑的长度即为；所加磁场 范围即为图中由弧 所围的区域，其中弧可看成是由弧 向上平移得到的。练习：例若改为“磁场方向垂直于 平面向里，荧光屏 移至 轴右侧，”其他条 件不变，情况又怎样呢？读者可试作分析。（所加磁场的最小范围为一“树叶”形状）综合以上题型，我们可以看到，这些问题的解答很能体现学生的分析思维能力以及想象 能力，要求学生能够由一条确定的轨迹想到多条动态轨迹，并最终判定临界状态，这需要在 平时的复习中让学生能有代表性地涉猎一些习题
9、，才能在高考应试中得心就手，应对自如。例析用圆心轨迹确定带电粒子在磁场中运动区域问题 同种带电粒子从同一点以相同速率、沿不同方向进入同一匀强磁场中，粒子可能达到的区域的确定是教学中常遇，学生感到棘手，高考又考查的问题。现就此类问题举例分析。题目年全国高考 如图，在一水平放置的平板 的上方有一匀强磁 场，磁感应强度的大小为，磁场方向垂直纸面向里，许多质量为、带电荷量为 的粒子，以相同的速率 沿位于纸面内的各个方向，由小孔 射入磁场区域。不计重 力，不计粒子间的相互影响。图 中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中 ，哪个图是正确的 析与解 依据题意，所有带电粒子在磁场中做圆周运动的半径相同 所
10、 以，在纸面内由点沿不同方向入射的带电粒子作圆周运动的圆心轨迹是以 为圆心，为半径的圆周图中虚线圆示。又因为带电粒子带正电、进磁场时只分布在以 和为边界的上方空间，而向心力由洛仑兹力提供，它既指向圆心又始终垂直速度，可确定：圆心轨迹只能是 图中虚线圆直径分隔的左半边虚线圆周；再以 图中左半 虚线圆上各点为圆心、以 为半径作圆，圆周在磁场中所能达到的区域应为 图阴影 区。所以图正确。题目 如图 所示，有许多电子 每个电子的质量为，电量为在平面 内从坐标原点不断地以相同大小的速度沿不同方向射入第一象限。现加上一个方 向向里垂直于 平面、磁感应强度为 的匀强磁场，要求这些电子穿过该磁场后都 能平行于
11、轴并向轴的正方向运动。试求符合该条件的磁场的最小面积。析与解 因为所有电子都在匀强磁场中作半径为 的匀速圆周运动。而沿轴的正方向射入的边缘电子需转过 圆周才能沿 轴的正方向运动，它的轨迹应为所求最小面积磁场区域的上边界如图中弧线，其圆心在垂直入射速度的 轴上，。现设沿与 轴成任意角 射入的电子在动点 离开磁场。这些从 点沿不同方向入射的电子做圆周运动的圆心 到入射点的距离又都为半径。所以，形成一个以入射点即坐标原点为圆心、为半径的圆弧轨迹如图 中 弧线 。根据题目要求，各电子射出磁场时速度 要为平行 轴的正方向。故由做圆周 运动的物体的圆心又应在垂直出射速度的直线上可知，从不同点 射出的电子的
12、圆心 又必在对应出射点 的正下方，即曲线 上各点到对应正上方出射点 的距离也都 等于 ；因此将 圆弧轨迹 沿 轴正向平移距离后如图中弧线 ，弧线 就是 各出射点 的轨迹，它实际是以 ，为圆心，半径为 的圆弧；既然点 是出射点即磁场的下边界，故弧线 应为所求最小面积磁场区域的下边界。所以，所求面积为图中弧线 与所围阴影面积。由几何得：“带电粒子在磁场中的圆周运动”解析 分类：高三物理 字号大 中小 订阅 处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，其本质是平面几何知识与物理知识的综合运用。重要的 是正确建立完整的物理模型，画出准确、清晰的运动轨迹。下面我们从基本问题出发对“带电粒子在磁场 中的圆周运
13、动”进行分类解析。一、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的基本型问题 找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛仑兹力作用下必作匀速圆 周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的交点必为圆心；或者用垂径 定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答 物理问题。【例】图示在的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于 平面并指向纸面外，磁场的磁感应强 度为；一带正电的粒子以速度 从点射入磁场中，入射方向在 平面内，与轴正方向的夹角为；若粒子射出磁场的位置与 点的距离为。求该粒子的电荷量和质量比；粒子在磁场中的运
14、动时间。分析：粒子受洛仑兹力后必将向下偏转，过 点作速度的垂线必过粒子运动轨迹的圆心；由 于圆的对称性知粒子经过点 时的速度方向与轴正方向的夹角必为，故点 作速度的垂线与点 处速 度垂线的交点即为圆心（也可以用垂径定理作弦的垂直平分线与点处速度的垂线的交点也为圆心）。由图可知粒子圆周运动的半径由 有。再由洛仑兹力作向心力得出粒子在 磁场中的运动半径为 故有，解之。由图知粒子在磁场中转过的圆心角为，故粒子在磁场中的运动时间为 。【例】如图以为边界的二匀强磁场的磁感应强度为，现有一质量为带电的粒子从 点以初速度沿垂直于方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒子第 次穿过直线 所经历的时 间、路程
15、及离开点 的距离。（粒子重力不计）分析：粒子在二磁场中的运动半径分别为，由粒子在磁场中所受的 洛仑兹力的方向可以作出粒子的运动轨迹如图所示。粒子从点 出发第次穿过直线时的位置必为点；故粒子运动经历的时间为，而粒子的运动周期 代入前式有 。粒子经过的路程。点与的距离为 。二、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的范围型问题 寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径 ”，然后利用粒子运动的实际轨道半径 与的大小关 系确定范围。【例】如图所示真空中宽为的区域内有强度为的匀强磁场方向如图，质量 带电的粒子以与 成 角的速度垂直射入磁场中；要使粒子必能从射出则初速度应满足什么条件？上有粒子射 出的区域？分析：粒
16、子从点进入磁场后受洛仑兹力作匀速圆周运动，要使粒子必能从轨迹必为过点并与相切的轨迹如图示，作出、点速度的垂线相交于 射出，则相应的临界即为该临界轨迹的圆心，临界半径由 有；故粒子必能穿出 的实际运动轨迹半径 R，即 有。由图知粒子不可能从 点下方向射出，即只能从点上方某一区域射出；又由于粒子从点 进入磁 场后受洛仑兹力必使其向右下方偏转，故粒子不可能从 直线上方射出；由此可见 中有粒子射出的区 域为，且由图知。【例】如图所示为电子射线源能在图示纸面上和范围内向各个方向发射速率相等的质量为、带电的电子，是一块足够大的竖直档板且与 的水平距离，档板左侧充满垂直纸面向里的匀强 磁场；若电子的发射速率
17、为，要使电子一定能经过点，则磁场的磁感应强度 的条件？若磁场的 磁感应强度为，要使发射出的电子能到达档板，则电子的发射速率多大？若磁场的磁感应强度为，从发射出的电子的速度为，则档板上出现电子的范围多大？分析：电子从点发出后必受到洛仑兹力作用而在纸面上作匀速圆周运动，由于电子从点 射出的方 向不同将使其受洛仑兹力方向不同，导致电子的轨迹不同，分析知只有从点 向与成锐角且位于上 方发射出的电子才可能经过点。要使电子一定能经过点，即为圆周的一条弦，则电子圆周运动的轨道半径必满足，由 。要使电子从发出后能到达档板，则电子至少能到达档板上的 点，故仍有粒子圆周运动半径 ，由 有。当从发出的电子的速度为
18、时，电子在磁场中的运动轨迹半径，但由于 电子发射出的方向不同则其轨道不同，因而到达板的位置不同。由此作出图示的二临界轨迹，故电子击中档板的范围在 间；对弧由图知，且该电子的发射方向与 必成向下方发射；对弧由图知，且该电子的发射方向与 成 为 而向 的左上方发射。三、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的极值型问题 寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的 极值。【例】图中半径的圆形区域内有匀强磁场，其边界跟 轴在坐标原点 处相切；磁场 垂直于纸面向内，在处有一放射源可沿纸面向各个方向射出速率均为 的 粒子；已知 粒子质量为，电量，则 粒子通过磁场空间的最大偏
19、转 角 及在磁场中运动的最长时间 各多少？分析：粒子从点进入匀强磁场后必作匀速圆周运动，其运动半径由 一 定；由于 粒子从点进入磁场的方向不同故其相应的轨迹与出场位置均不同，则粒子通过磁场的速度偏 向角 不同；要使 粒子在运动中通过磁场区域的偏转角 最大，则必使粒子在磁场中运动经过的弦长 最大；因而圆形磁场区域的直径 即为粒子在磁场中运动所经过的最大弦；故 粒子从点 入磁场而从 点出场的轨迹如图圆所对应的圆弧示，该弧所对的圆心角即为最大偏转角。由前面计算知S 必为等边三角形，故 且 。此过程中粒子在磁场中运动的时间由 即为粒子在磁场中运动的最长时间。【例】一质量、带电的粒子以速度从点沿等边三角
20、形的方向射入强度为 的垂直于 纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿 射出，求圆形磁场区域的最小面积。分析：由题中条件求出粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径为一定，故作出粒子沿进入磁场而从射出磁场的运动轨迹图中虚线圆所示，只要小的一段圆弧能处于磁场中即能完成题中要求；故由直 径是圆的最大弦可得圆形磁场的最小区域必为以直线 为直径的圆如图中实线圆所示。由于三角形 为 等边三角形，故图中，那么，故最小磁场区域的面积为 。【例】有一粒子源置于一平面直角坐标原点 处，如图所示相同的速率 向第一象限平面内的不同 方向发射电子，已知电子质量为，电量为。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 的匀
21、强磁场 后，都能平行于轴沿方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积。分析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 是确定的，设磁场区域足够大，作出电子 可能的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 ，它就是磁场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 为圆心，以为半径的圆弧。由于要求所有电子均平行于 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆 而言，要使电子能平行于轴向右飞出磁场，过作弦的垂线，则电子必将从点 飞出，相当于将此轨迹的圆心 沿方向平移了半径即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的
22、圆心组成的圆弧沿方向向上平移了半径后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧示。综上 所述，要求的磁场的最小区域为弧 与弧所围。利用正方形 的面积减去扇形的面积即为 ）的面积；即R。根据几何关系有最小磁场区域的面积为 （R）（）（。四、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的多解型问题 抓住多解的产生原因：速度方向的不确定引起的多解，与自然数相关的多解即粒子运动时间与运 动周期的倍数不确定。【例】在前面“【例】”中若将档板取走，磁场磁感应强度为 ，当电子以速率 从点 射出 后要击中点，则点处电子的射出方向与的夹角为多少？从 到点的时间多少？分析：由已知条件知电子圆周运动的半径，电子从点 射出后要经过点即直
23、线为 圆的一条弦，由图知必有两种运动轨迹存在；由于题中 ，故，那么电子从点 的发 射速度的方向与所成的夹角；图中 ，故电子的发射速度 的方向与所成的 夹角。【例】一质量带电的粒子以速率垂直射入磁感应强度为 的匀强磁场中，粒子经过一段时间 受到的冲量的大小为，粒子重力不计。则此过程经历的时间为多少？分析：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径，右图示设粒子的初位置为，因其受冲量的 大小为而方向未知故必有右图中的两种情况，即未动量的方向有、两个，对应的冲量方向仍有、两个。粒子作匀速圆周运动中动量的大小始终为 不变，由动量定理 可知 而 ；故粒子在该过程中经历的时间为，其中。【例】在半径为的圆筒中有沿筒轴
24、线方向的匀强磁场，磁感应强度为；一质量为 带电的粒 子以速度从筒壁处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛仑兹力作用且与筒壁发生弹性 碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 处射出；则 必须满足什么条件？带电粒子在磁 场中的运动时间？分析：由于粒子从处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从 处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒壁的碰撞次数为（不含返回 处并从处射出的一次），由 图可知，其中为大于或等于的整数（当时即粒子必沿圆的直径作直线 运动，表示此时）；由图知粒子圆周运动的半径 为，再由粒子在磁场 中的运动半径 可求出。粒子在磁场中的运动周
25、期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得 ，粒子从射入磁场再从沿半径射出磁场的过程中将经过 段圆弧，故粒子 运动的总时间为：，将前面代入后与 共同代入前式得 。五、“带电粒子在磁场中的圆周运动”的动力学问题 注意洛仑兹力不做功，洛仑兹力的方向将随物体的运动方向的变化而发生相应的变化；正确结合变速 圆周运动中的动力学关系与能量守恒定律处理。【例】金属小球质量带电，由长的绝缘细线悬挂于图示匀强磁场中的 点，然后将小球拉到 处由静止释放，小球沿圆弧运动到最低点时悬线上的张力恰好为；求磁场的磁感应强度？小球住复摆动中悬线上的最大张力多少？分析：小球从点由静止释放后在绕点运动中必同时受到重力、线的拉
26、力及洛仑兹力作用，由左 手定则知小球从向运动中洛仑兹力方向必沿半径指向圆心，且洛仑兹力对小球不做功；故小球到达 点的速度大小为；小球在 点受力如图示由圆周运动有 ；由共得，由“”求出 故。小球从右向左运动或从左向右运动中由于所受洛仑兹力的方向将发生变化故悬线上的张力大小将 作相应的变化，分析可知当小球从左向右运动经过点 时线上的张力必有最大值，小球从左向右经过点 时的速度大小仍为 有；小球从左向右过 点时其受 到的洛仑兹力方向必沿半径向外，故 点处线上的张力为 可得 ，将 及 代入前式得 到。总之在处理带电粒子在磁场中的匀速圆周运动问题中，我们必须将物理规律与数学知识紧密结合，准 确分析粒子运
27、动过程及临界状态与极值条件；处理带电粒子在磁场中的变速圆周运动问题时，时刻注意洛 仑兹力的方向变化并在解答中注意洛仑兹力不做功，正确利用动力学规律与能量守恒定律。带电粒子在磁场中运动的六类高考题型归类解析 分类：高三物理 字号大 中小 订阅 一、带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题 找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用 下必作匀速圆周运动，抓住运动中的任两点处的速度，分别作出各速度的垂线，则二垂线的 交点必为圆心；或者用垂径定理及一处速度的垂线也可找出圆心；再利用数学知识求出圆周 运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答物理问题。（天津）钍核 发生衰变生
28、成镭核 并放出一个粒子。设该粒子的质量为、电荷量为，它进入电势差为的带窄缝的平行平板电极 和 间电场时，其速度为，经电场加速后，沿 方向进入磁感应强度为、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场，垂 直平板电极，当粒子从 点离开磁场时，其速度方向与 方位的夹角，如图所 示，整个装置处于真空中。（）写出钍核衰变方程；（）求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径；（）求粒子在磁场中运动所用时间。解析（）钍核衰变方程 （）设粒子离开电场时速度为，对加速过程有 粒子在磁场中有 由、得 （）粒子做圆周运动的回旋周期 粒子在磁场中运动时间 由、得 二、带电粒子在磁场中轨道半径变化问题 导致轨道半径变化的原因有：带电粒子速
29、度变化导致半径变化。如带电粒子穿过极板 速度变化；带电粒子使空气电离导致速度变化；回旋加速器加速带电粒子等。磁场变化导 致半径变化。如通电导线周围磁场，不同区域的匀强磁场不同；磁场随时间变化。动量变 化导致半径变化。如粒子裂变，或者与别的粒子碰撞；电量变化导致半径变化。如吸收电 荷等。总之，由 看、中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致 带电粒子的轨道半径变化。（年全国）如图所示，在与 的区域中，存在磁感应强度大小分别为 与 的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且。一个带负电的粒子从坐标原点 以速 度 沿 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 点，与 的比值应满足什么 条件？解析
30、：粒子在整个过程中的速度大小恒为，交替地在平面内 与 磁场区域中做 匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为 和，圆周运动 的半径分别为和，有 分析粒子运动的轨迹。如图所示，在 平面内，粒子先沿半径为 的半圆 运动至轴上离 点距离为的 点，接着沿半径为的半圆 运动至轴的 点，距离 （）此后，粒子每经历一次“回旋”（即从轴出发沿半径的半圆和半径为的半圆回到原点下方轴），粒子坐标就减小。设粒子经过次回旋后与轴交于点。若即满足 则粒子再经过半圆 就能够经过原点，式中 ，为回旋次数。由式解得 由式可得、应满足的条件 ，三、带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问
31、题 带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有：粒子运动范围的空间临界问题；磁场所占据范围的空间临界问题，运动电荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好，最大、最多、至少等关键字 （全国）两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为 轴和轴，交点为原点，如图所示。在，的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在，的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为。在 点处有一小孔，一束质量为、带电量为（）的粒子沿轴经小孔射入磁场，最后打在 竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数 值已知速度最大的粒子在的区域中运动的时间与在的区域中运动
32、的时间之比为：，在磁场中运动的总时间为，其中为该粒子在磁感应强度为的匀强磁场中作 圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围（不计重力的影响）。解析：粒子在磁感应强度为的匀强磁场中运动半径为：速度小的粒子将在的区域走完半圆，射到竖直屏上。半圆的直径在轴上，半径的范围从到，屏上发亮的范围从到。轨道半径大于 的粒子开始进入右侧磁场，考虑 的极限情况，这种粒子在右侧的圆 轨迹与轴在点相切（虚线），这是水平屏上发亮范围的左边界。速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示，它由两段圆弧组成，圆心分别为 和，在轴上，有对称性可知 在 直线上。设为粒子在的区域中运动的时间，为在的区域中运动的时间，由题意可 知 由此
33、解得：由式和对称性可得 所以 即弧长为圆周。因此，圆心 在 轴上。设速度为最大值粒子的轨道半径为，有直角 可得 由图可知，因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标 四、带电粒子在有界磁场中的极值问题 寻找产生极值的条件：直径是圆的最大弦；同一圆中大弦对应大的圆心角；由轨迹确定半径的极值。有一粒子源置于一平面直角坐标原点 处，如图所示相同的速率向第一象限平面内的 不同方向发射电子，已知电子质量为，电量为。欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为的匀强磁场后，都能平行于轴沿方向运动，求该磁场方向和磁场区域的最小面积。解析：由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 是确定的，设磁场区域足够 大，作出电子可能
34、的运动轨道如图所示，因为电子只能向第一象限平面内发射，所以电子运 动的最上面一条轨迹必为圆 其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为 ，它就是磁场的上边界。以点为圆心，以为半径的圆弧。由于要求所有电子均平行于 轴向右飞出磁场，故由几何知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆 而言，要 使电子能平行于 轴向右飞出磁场，过 作弦的垂线，则电子必将从点飞出，相当于 将此轨迹的圆心 即为此电子的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆 沿方向平移了半径 心组成的圆弧 沿方向向上平移了半径后所在的位置即为磁场的下边界，图中圆弧 示。综上所述，要求的磁场的最小区域为弧 与弧所围。利用正方形 的面 。
35、根据几何关系有最小磁场区域的面 积减去扇形的面积即为的面积；即R 。积为（R）（）（）五、带电粒子在复合场中运动问题 复合场包括：磁场和电场，磁场和重力场，或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡 问题，匀变速运动问题，非匀变速运动问题，在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特 点。粒子动能的变化是电场力或重力做功的结果。（四川）如图所示，在坐标系的第一象限中存在沿 轴正方形的匀强电场，场强 大小为。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。是轴上的一点，它 到座标原点 的距离为；是 轴上的一点，到 点的距离为，一质量为、电荷量为 的带负电的粒子以某一初速度沿 轴方向从点进入电场区域，继
36、而通过点进入大磁场区 域，并再次通过点。此时速度方向与轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：（）粒子经过点时速度的大小合方向；（）磁感应强度的大小。解析：（）以表示粒子在电场作用下的加速度，有 加速度沿轴负方向。设粒子从 点进入电场时的初速度为 ，由 点运动到 点经历 的时间为，则有 由式得 设粒子从点进入磁场时的速度为 ，垂直于 轴的分量 由式得 设粒子经过点时的速度方向与轴的夹角为，则有 由式得 （）粒子经过点进入磁场后在磁场中作速率为 的圆周运动。若圆周的半径为，则有 设圆心为，则必与过点的速度垂且有 。用 表示 与 轴的夹 角，由几何关系得 由式解得 由式得 六、带电粒子在磁场中的周期性
37、和多解问题 多解形成原因：带电粒子的电性不确定形成多解；磁场方向不确定形成多解；临界状态 的不唯一形成多解，在有界磁场中运动时表现出来多解，运动的重复性形成多解，在半径为 的圆筒中有沿筒轴线方向的匀强磁场，磁感应强度为；一质量为带电的粒子以速度 从筒壁处沿半径方向垂直于磁场射入筒中；若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生 弹性碰撞，欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周后仍从 处射出；则必须满足什么条 件？带电粒子在磁场中的运动时间分析：由于粒子从处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动，要使粒子又从处沿半径方向射向磁场，且粒子与筒壁的碰撞次数未知，故设粒子与筒 壁的碰撞次数为（不含返回处并从处射出的
38、一次），由图可知 其 中为大于或等于的整数（当时即粒子必沿圆的直径作直线运动，表示此时）；由图知粒子圆周运动的半径，再由粒子在磁场中的运动半径 可求出。粒子在磁场中的运动周期为，粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得 ，粒子从射入磁场再从沿半径射出磁场的过程中将经过 段圆 弧，故粒子运动的总时间为：，将前面代入后与 共同代入前式得。练习 一质量为，电量为的负电荷在磁感应强度为的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它运动的平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是（）（宁夏）在半径为 的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直
39、于纸面，磁感应强 度为。一质量为，带有电量的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径 方向经点（）射入磁场（不计重力影响）。如果粒子恰好从 点射出磁场，求入射粒子的速度。如果粒子经纸面内 点从磁场中射出，出射方向与半圆在 点切线方向的夹角为 （如图）。求入射粒子的速度。（新题）如图以为边界的二匀强磁场的磁感应强度为，现有一质量为 带 电的粒子从点以初速度沿垂直于方向发射；在图中作出粒子运动轨迹，并求出粒 子第次穿过直线所经历的时间、路程及离开点 的距离。（粒子重力不计）一质量、带电的粒子以速度从点沿等边三角形的方向射入强度为 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中，要使该粒子飞出磁场后沿 射出，求圆形磁场区域 的最小面积。如图所示真空中宽为的区域内有强度为的匀强磁场方向如图，质量 带电的 粒子以与成 角的速度垂直射入磁场中；要使粒子必能从 射出则初速度 应满足 什么条件？上有粒子射出的区域？参考答案：