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1、精选优质文档-倾情为你奉上。5 习题解答 . - 已知英文宇-母 e出现的概率为 0. 105, 出现的概率为 0.002,i式求 e和解 的信息量。 解 e的信息量 f, e log.p右 =-1og2P(e) m-log.0.105 = 3.25 (:bit) 知 的償息量 . = log.p右高 -1og.P(”) =-log.0.002 _ 8.97 (bit)评注: 概率越小,信息量越大。-2 某信源符号集由 A、B、C、D和E 组成,设每一符号独立出现,其出现概率分别为1/4,l/8,1/8,3/16和5/16。试求该信程l源符号的平均信息量。解 平均信息量(婀)9(先) =- 3
2、P(;)9P(;) 一 -j-。g2 -j- - 合。g2 十 - 十。g2 告 - 養,。g.是 - 是。g2 養.= 2.23 (b,符号) -3 设有4个符号,其中前3个符号的出现概率分别为1/4 ,l/8 ,1/8 ,且各符号的出现是相对独立的。试计算该符号集的平均信息量。 解 各符号的概率之和等于l ,故第4个符号的概率为1/2,则该符号集的平均信息量为膚 -j-1。g2j-2 x告l。g2告 一告1。動告 = 1-75 (bi/符号)l-4 设有一个由字母 A、B、C、D组成的字,传输每一个字母用=进制码元编码,“00”代替 A,“01”代替 B,“10”代替 C,“ll”代替 D
3、,每个码元宽度为-5mg。( 1 ) 不同的字母是等可能出现时,试计算传输的平均信息速率;一一一 (2)若每个字母出现的可能性分别为pA= _1_, pn益_1_,pc= 1,p =i5 4 4 o l0 试计算传输的平均信息速率 。解 ( 1 ) 一个字母对应两个=进制码元,属于四进制符号,故一个字母的持续时间(码元宽度)为2 x5me,传送字母的符号速率为 表o=2x5:10: = 100 (9) . 等概时的平均信息速率 置b= 置n1og.M= 量.1og24 200 (bit/s) (2)平均信息量为 置 = 告log.5+-j-log24+j1og24+ 高1og2学 = l.98
4、5 (bi,/符号)非等概时的平均信息速率为 表b= 及B lf = 100 x1.985益198.5 (bit/s)评注: 符号速率(码元速率)仅与码元宽度有关; 等概时;1t能获得最大信息速率,这是因为等概时有最大f商 。l -5 国际摩尔斯电码用“点”和“划”的序列发送英文字母,“划”用持续3单位的电流脉冲表示,“点”用特续1个単位的电流脉冲表示;且“划”出现的概率是“点”出现概率的l/3 。(1)计算“点”和“划”的信息量;(2)计算“点”和“划”的平均信息量。 .解 (1)设点与划出现的概率分别为P.和P_ ,已知P_ =1P. ,且P_+P. =1,故得P_ = -j-,P. =号
5、,则点的信息量为 专心-专注-专业f.益log2ff = log2手 =0.415 (bit)划的信息量Z2f_= 1og2j = log24 = 2 (bit)(2)平均信息量为 .9 =jxf.+-j-xf_E0.81 (bit/符号)1 -6 设某信息源的输出由128个不同的符号组成,其中16个出现的概率为1/32,其余112个的出现概率为l/224。信息源每秒发出1000个符号,且每个符号彼此独立。试计算该信息源的平均信息速率。解每个符号的平均信息量 # = 16 X3jlO9232+112 X 念l?g2224 = 6.405( bit/ 待号)已知符号速率盘a=1000(B) ,故
6、平均信息速率 .量b,= RE-f = 1000 x6.404 =6.405 x103 (bil/s)1 -7 设某数字传输系统传送二进制码元的速率为2400Bd ,试求该系统的信息速率;若该系统改为传送16进制信号码元,码元速率不变,则这时的系统信息速率为多少? (设各码元独立等概率出现) . 解 (1)二进制时,.Rb=.Rn=:2400- (bit/s)(2) 16进制时,.R1,=量B1og2l6選2400 x4=9600 (bit/s) 评注: 码元速率不变时,通过增加进制数 M,可以提高信息速率。1-8 若题1 -2中信息源以1000B速率传送信息。 (1)试计算传送1h的信息量;
7、 (2)试计算传送1h可能达到的最大信息量。 . 解 (1)由题1-2可知信息源的先商 .9 = - jl92 -j-2 x ;log2 - 養log2 告 - 是lig。 益2.23( bit/ 符号)故平均信息速率表b= 量nF 器1000 x2.23 =2.23 x103 (bit/s)传送1h的信息量 f出 Rbi=2.23 x103 x3600出8.023x106 (bjl) (2)等概时的信息脑最大。由式(1. 2 _4)可得9m =1og25 =2.33 (bit/特号)此时平均信息速率最大,故有最大信息量fM益(.Rn直m_) t=1000x2.33x3600=8.352x10
8、6 (bjt)评注: f商建立了信息速率与码元速率的关系 。 因此,当码元速率不变时,描越大,信息速率就越大,在一定时间内传送的信息量也就越多 。l-9 如果二进制独立等概信号的码元宽度为 0.5ms,求.Rl1和 及b;若改为四进制信号,码元宽度不変,求传码率 置n和独立等概时的传信率置b。 .13Kb2400Rs()-130解 (1)已知码元宽度 l=o.5ms,则码元速率KB=j- =2ooo (B)二进制时,信息速率等于码元速率,即. Rb最Rn=2000 (bit/s)(2) 著码元宽度不变,则码元速率也不变,即仍为200oB,故四进制时,且独立等概发送,信息速率为 ,Rl,=,Rn
9、1og24器2000 x2 =4000 (bit/s)评注: 码元速率 量B仅与码元宽度有美,而与进制数无关,与各符号出现的概率无关。码元速率 RB一定时,信息速率随进制数的增加而增加 。l -10 已知某四进制数字传输系统的信息速率为24oOb/s,接收端在 0. 5h内共收到216个错误码元,试计算该系统的误码率 P.。 解 码元速率为= 1200 (B)一B- 1og2M- 1og24 - - 、一0. 5k(1800s)内传送的码元个数为 fVKBi= 1200 x1800 - 2.16 x106 (个)错误码元数 Ne a216个,因此误码率 P.为p。 生 重_f16。6 = ,o
10、,N 2.16xl02。.5 习题解答(说明:本节中引用的公式序号与通信原理(第6版)的一致) 2-1 试证明图 u-1中周期性信号的频谱为 s(,) =;告j 器c。s(2n+ 1) ,证明 取区间一1/2t3/2作为一个周期进行计算,并令周期 f。=2,则由式(2. 2 - 1)可得c.=c(,M。) 類六f:2s(t)ej2成d,=一2图 P2-1 信号s(,)的波形士23jf:as()e-Jd = jf:e-Pd_ f:e-前d, =1 e-jma_ej前a_ 1 P一 e-i前a _-j2n71- _j2n11;e - -n毒sin(学)- 毒e-sin(学) =i -l n言1-C
11、OS(lt元)Sin(子)- _j =4&+n n 3o n偶将上式代入式(2.2 -2) ,得到s(t) 続.che,nKaa =ef”_ efT) 告COS(7t) -3美COS(3t)十5美COS(5t)- =告差器cos(2n+1) T,【证毕 2-2 设一个信号s(t)可以表示成s(t) H2oos(27l;t十0) -oo.loo试问它是功率信号还是能量信号,并求出其功率谱密度或能量谱密度。 . 解 (1)它是功率信号。 . (2)计算其功率谱密度:信号的振幅A最2,基频.f。 =i ,周期 f。 1,先求此周期性信号的傳里叶级数的系数lC. l ,由式(2.2-1),得 Cn最告
12、f:2s(i)eP一明fdt= f:a2cos(2-)e波adt=eiOW十e-jSin(1十n)f =0土1(1 n)1t (1+n)71; n或者写成J1oC響 e0所.以,仅当 nH:1时,上式才不等于0,并且得出n器十1n=-1 其他于是2国i l1i一Z- 一、J 商能量谱密度为 IS(f) l2 =4/(1+47f2) 2 -4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质:(1)(f) 十cos227l:f(2)a十(f-a) (3) exp(a_f2)提示: 可以用式(2. 2 -44)验证。解 由式(2.2-44) P 置 f:Puf,得(1)0 十 cos22 体fCn1=1
13、n=士1 Cnl2=1 n意土1将上式代入式(2. 2-48) ,得到 s(t)的功率谱密度.P(f) = l IC(f) l2(f-n明。) ,ii(f-f。)+,ii(f+f。)n_-02-3 设有一信号如下: 2exp(-t) t0前(t) =0 t0试问它是功率信号还是能量信号,并求出其功率谱密度或能量谱密度 。 解 (1)计算此信号的能量: e2dt _2ea: =_2(0_1)器2 (有限值)所以此信号是能量信号。(2) 计算其能量谱密度:首先计算其频谱密度su =f:2e-e-a常fdt最 2 f:e-(+aKnd-2 .0_1= 21十j2 1+j27flSff) l =- (
14、1十j21tfe-(1+nfn;j;裁P意f:a + cos22元ff = f:。uy+ f:noos2体fy =1+jf+8高sin44:。=不满足功率谱密度的性质 。(2) a十(f-a)P= f:a+(f- a)(1lf= a32 f:。f + f:a,(-a)f=afl:。+1 =P(f33不满足功率谱密度的性质 。 (3) exp(a_f2)pf:e一fdf = ea f:e-fd-a(上式最后一步利用了积分公式:f:e-a的出 2表f)满足功率谱密度的性质。 2 -5 试求出 s(t) =Aoosot的自相美函数,并从其自相美函数求出其功率。解 对于周期性功率信号,自相关函数的定义
15、为及(7) = 女f:,s(t)s(t+r)dt -ar1/2 由自相美函数定义式(2. 3 - 1) ,并参照下图,可以写出。 f:a1d -1-最。(T) 最fHS(t)S(t+)dt= la 装 f1a1dt 011十 -10=1_lrl _1r11-r 0r1 .i-1 02 -7 已知一信号 s(t)的自相关函数为及o(7) =;e-Md(1 )试求其功率谱密度 P(f) 和功率 P;(2)试画出表。(r)和Pn(_f)的曲线。 -解.(1)由式(2.3-14b),得 P。u 差 f:a最(r)e融f资dr=;ta,=常数2Af h2h四 P=置.(0) =h/2(2) R。(r)和
16、 Pn(f) 的曲线:2 -8 已知一信号 s(t)的自相关函数是以2为周期的周期性函数:K(r) =1- lrl -1r1试求 s(t)的功率谱密度 P。 (f)并画出其曲线。 解 (l)对R(r)进行傅里叶变换,得到PT(f) 裁 sinc2(7f)30490 /P.(f) = 学jPr(f)(f- 手) = 行jsinc2(ff)(f一号)(2)功率谱密度P,(f)曲线:-2-3/2-1 -1/2 0 1/2 1 3/2 2 f2-9 已知一信号 s(t)的双边功率谱密度为10-;f2 _10kHzf十10kHzP(f) = o 其他试求其平均功率。解 s(t)的功率为P f:。P。u-
17、o4 f:二f2d-o jf3“為 j1o93。5 习题解答 3-1 设X是 a 建o,o- 組1的高斯随机变量,试确定随机变量 r= cx + d的概率密度函数f(1y) , 其中o,d均为常数。 解 因为高斯随机变量经过线性变换后仍是高斯型,所以.y也是高斯随机变量。 的均值:.E益通aX+d=d l的方差: n :二.1i(r_d)2 =B(or)2 -o2g(21)2j;益ca. o=c2r的概率密度西数:f(y) = 右exp(_ -)3 -2 设一个随机过程f(t)可表示成 e(t) = 2cos(2i十l9)式中,0是一个离散随机变量,且 P(=0) = 1/2、P(=f/2)
18、整 1/2,试求 9f(1)及 置f(0,1 ) 。解 在,= 1时,i(,)的均值: 9f(1):=i2cos(2Tt十) 1.1 =29cos(2元十) =29cos = 2(jcos0+jcos号)= l在 t, 0,t2 =1时,f(i)的自相芙題数Kf(0,1) =9f(0) lf(1) =92cos2cos(2f十) =.84cos2 = 4(joos20+jcos2号) 報 23 -3 设随机过程 y(t) =K,cosa,-X,sin。t,若,与;,是彼此独立且均值为 0、方差为o,2的高新随机变量,试求: (1) gy(t)、g2(t);(2) (t)的一维分布密度函数f(y
19、) ; .(3) 足(t1,t2)和B(t;,t2) . . 解 (1) 通(t) =9Xlcos0ot-X2sinot =cosot lfXl -sinooi 通X2 =0g2(t) 器g(11cosj0ot-X2sin0oi)2 = cos20ot 通X12-si通t 9XIX2十sin2ot 9X22因为X,和K2相互独立,所以 g.X1.Xlt =g.Xl il1X2 又因 9X1=9X2出0,所以. 9Xf置 通X量 = r2故 g2(l) = (cos2ot十sjn2ool) f2 = f2 1(i)的方差 . 0(j) =g2(l) _g2(j) =o,2(2)因为 X,和X2服
20、从高斯分布, (i)是X,和 X2的线性组合,所以 y(i)也服从高斯分布,其一维概率密度函数f(y)= 右exp(_2券) 50f1(3) R(il,t2) ng(i1) (t2)毒g(.XICOS00tl -X2Sin0t1)(.XICOS0t2 -X2Sin0t2) =2COS0tlCOS0t2 十Sill0t1Sin00t2最 02cos0(t1 -t2)最0-2cos0(t2-t1) =f2 cosor其中, r=t2 -i1 。8(tl,t2) = 長(tl,t2) -gi(i1) gZ(t2)因为9(i) 準0,所以 .B(tl,t2) = R(t1,i2) =02cos10o3
21、 -4 已知 X(l)和 (l)是统计独立的平稳随机过程,且它们的均值分别为 a.r和 ar;自相美函数分别为 表.(r)和 R,( r) 。 . (1)试求乘积Z(i):=.X(t) y(t)的自相美函数。(2)试求和 Z(i) =.1t(,l)+(i)的自相关函数。解 (1) IRz(t1,i2) =gZ(il) Z(i2) =g.;(i1)1(i1) X(t2)(t2)= ; iX(t1)X(t2) y(t1)y(12)器gX(i1).X(t2) 1gy(i1)(t2) (.X,独立)=,Rr(tl,t2) Ry(t1,t2) =正r(r) 表r(r) (1,平稳)(2) 表z(i1,t
22、2)=ll1Z(l1) Z(t2)器石lX(fl)十1(i1);(i2) 十y(t2)l =石X(il).X(1l2) 十X(tl)(i2)十y(i1).X(i2)十y(il)(t2) = Kf()十aK,ar十ara十量y( ) 二=ft.f()十置r(r)十2aay评注: 两个独立的平稳随机过程,其乘积的自相关函数等于它们各自的自相美函数的乘积;其和的自相美函数等于它们各自的自相美函数的之和,并外加两者均值之积的2倍。3 -5 已知随机过程 z(t) =m(t)cos(et+) ,其中,m(t)是广义平稳过程,且其自相美函数为1十 -1-)足m(r) = 1_r 01o 其他 .随机变量在
23、(0,27f )上服从均匀分布,它与 m( t)彼此统计独立。(1)证明z(i)是广义平稳的; (2)试四出自相关函数.ii:(r)的波形;(3)试求功率谱密度 P_(f)及功率 S。 解 (1)欲证随机过程 z(i)广义平稳,只需验证名( t)的均值与时间无美,自相关題数仅与时间间隔r有关即可。由题意可知,m(t)的均值为常数1f(l9) 業2美,(o2 r) ,所以9z(t) n9m(t)cos(oo 十) 9 9m(t) -,9oos(oot十) 因为m(t)独立 =fm(i) fKoos(ot+) 2告d= 0及.(t1,t2) =gZ(tl)Z(t2) =gm(t1) -cos(0t
24、1十) m(t2) COS(00t2十0)重gm(tl) m(t2) gcoS(0otl 十l9) COS(a00t1十0) nm(r) 通_j_cos2+0o(tl+t2)+-j-00s0o(t1 -ta)=量m(r) , 19j-cos20十oo(t1十t1)+通jCOSo(tt-t2) =表n(r) 0+-j-eosoo(t,-t2) = 置国(r) 一j-oosoor= 及.()可见,z(t)的均值与 t无美,自相美藍l数仅与时间间隔r有美,故 z(i)广义平稳。(2) 表:(r) =j最国(r) cosoorjj(+r)c。s。 - -j(1_r)cosoor 0r1o 其他其波形如
25、图3 -7所示。图3-7 自相关函数,R,(r)的波形 ,(3)因为z(t)广义平稳,所以其功率j着密度P.(o)R:(r)。由图3 -7可见,jR(?)的渡形可视 为余弦函数与三角波的乘积。利用傅里叶变換的频域卷积性质,可得 p二(。) =2去. ,(+o。) +(一o。) * jSa2(号 x1)=jsa2(学)+Sa2(学)平均功率s=,R.(0)量j3-6 已知噪声n(l)的自相关函数为53量.(?) = je- f,为常数(1)试求其功率谱密度 P.(f)及功率jv ;(2)试画出 量n(r)及P.(f)的图形。解 (1)对于平稳过程 n(t) ,有 P.(),1=,.1tn(r)
26、,因此p.(o) =f:量一e-Mdr;fehe-Md+告fe-e一如dr=;,高 - &高組 高fV =.R.(0)益 ; (2) 最.(r)和 Pn(f) 的.图形如图3 -8所本。表.(T)0f 图3-8一和Pn的图形 . 本和一i 樹 , - 、 本_3-1 -i均值为 a,自相美函数为量.(r)的平稳随机过程X(t)通过一i线性系统后的输出过程为 (t) =X(t)+X(l-1) l为延迟时间 (1)试画出该线性系统的框图;(2)试求 y(t)的自相关函数和功率谱密度。 解 (1)线性系统框图如图3-9所示。 (2) 根据平稳过程 X(t)通过线性系统后的输出过程 y(t)也是平稳的
27、,以及由维纳一辛钦定理可知 最r(r),t=;Pr() ,.Ry(r)t=;Pr()。 1(t)的自相美函数为 图3-9 线性系统框图及r(?) =19】(t)(t十r) =ilX(t)十K(t-)K(i十r)十X(t十一)l 8gX(t)X(t十 t) -l.X(i)X(t十 一 )十X(i- ).X(i十 ) 十X(i- )X(t十 一 ) 指JR(r)+RT(r-)+表x(r十l)+Rr( r) =2最r(r) +Kx,(?-)+R1r(7+)功率谱密度为Pr(0) = 2pA,()十Px()eiJ十Pr()ej 当 2(1 十cos)p()另一种方法:利用公式 Pr() = 1 9() 12 P()求解:该系统的単位冲激响应h(i) 器(t) 十(t-)其相应的传速函数H(0) = 1+e-i= e-f乎(ej平 +e-i学) =2cos?e-j学所以 Py() = l.方() l2PA(a) =2(1+coso)P.t(co)