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1、基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题 1.(2015浙江卷)双曲线x22y21 的焦距是_，渐近线方程是_.解析 由双曲线方程得 a22，b21，c23，焦距为 2 3，渐近线方程为 y22x.答案 2 3 y22x 2.(2016南昌模拟)若双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线倾斜角为6，则双曲线 C 的离心率为_.解析 由题意ba33，b2a2c2a2a213，e2 33.答案 2 33 3.(2015北京卷)已知(2，0)是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b_.解析 由题意：c2，a1，由 c2a2b2.得 b2413，又 b0，所以 b 3.
2、答案 3 4.已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为_.解析 由题意知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线为 y2x，所以ba2，即 b24a2.又双曲线的一个焦点是直线 l 与 x 轴的交点，所以该焦点的坐标为(5，0)，所以 c5，即 a2b225，联立得b24a2，a2b225，解得 a25，b220，故双曲线的方程为x25y2201.答案 x25y2201 5.(2016苏北四市调研)已知 F 为双曲线 C：x29y2161 的左焦点，P，Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等于虚
3、轴长的 2 倍，点 A(5，0)在线段 PQ 上，则PQF 的周长为_.解析 由x29y2161，得 a3，b4，c5.PQ4b162a.又A(5，0)在线段 PQ 上，P，Q 在双曲线的右支上，且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知PFPA2a6，QFQA2a6，PFQF28.PQF 的周长是 PFQFPQ281644.答案 44 6.如图，F1，F2是椭圆 C1：x24y21 与双曲线 C2的公共焦点，A，B 分别是 C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是_.解析 F1F22 3.设双曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0).AF
4、2AF14，AF2AF12a，AF22a，AF12a.在 RtF1AF2中，F1AF290，AF21AF22F1F22，即(2a)2(2a)2(2 3)2，a 2，eca3262.答案 62 7.(2016南京师大附中模拟)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的离心率为_.解析 双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点到一条渐近线 ybax 的距离等于b，依题意 bc2，4b24(c2a2)c2，3c24a2，e243，e2 33.答案 2 33 8.(2015重庆卷改编)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是 F，
5、左、右顶点分别是 A1，A2，过 F 作 A1A2的垂线与双曲线交于 B，C 两点，若 A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_.解析 不妨令 B 在 x 轴上方，因为 BC 过右焦点 F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为c，b2a，c，b2a，又 A1，A2的坐标分别为(a，0)，(a，0)，所以A1Bca，b2a，A2Cca，b2a，因为 A1BA2C，所以A1BA2C0，即(ca)(ca)b2ab2a0，即 c2a2b4a20，所以 b2b4a20，故b2a21，即ba1，又双曲线的渐近线的斜率为ba，故该双曲线的渐近线的斜率为1.答案 1 二、解答题 9.(2
6、015江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点 P(4，10).(1)求双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：MF1MF20.(1)解 e 2，可设双曲线的方程为 x2y2(0).双曲线过点(4，10)，1610，即 6.双曲线的方程为 x2y26.(2)证明 法一 由(1)可知，ab 6，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，kMF1m32 3，kMF2m32 3，kMF1kMF2m2912m23.点 M(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故 kMF1kMF21，MF1MF2.MF1MF20.法二 由(1)可知，
7、ab 6，c2 3，F1(2 3，0)，F2(2 3，0)，MF1(2 33，m)，MF2(2 33，m)，MF1MF2(32 3)(32 3)m23m2，点 M(3，0)在双曲线上，9m26，即 m230，MF1MF20.10.已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 2xy0，且顶点到渐近线的距离为2 55.(1)求此双曲线的方程；(2)设 P 为双曲线上一点，A，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若APPB，求AOB 的面积.解(1)依题意得ab2，|20a|52 55，解得a2，b1，故双曲线的方程为y24x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程
8、为 y2x，设 A(m，2m)，B(n，2n)，其中 m0，n0，由APPB得点 P 的坐标为mn2，mn.将点 P 的坐标代入y24x21，整理得 mn1.设AOB2，tan2 2，则 tan 12，从而 sin 2 45.又 OA 5m，OB 5n，SAOB12OAOBsin 2 2mn2.能力提升题组(建议用时：20 分钟)11.(2015江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点.若点 P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_.解析 双曲线 x2y21 的渐近线为 xy0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两平
9、行线的距离 d|10|121222.由点 P 到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立，得 c22，故 c 的最大值为22.答案 22 12.(2016柳州、北海、钦州三市联考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与抛物线y28x 有一个公共的焦点 F，且两曲线的一个交点为 P，若 PF5，则双曲线的渐近线方程为_.解析 抛物线 y28x 的焦点坐标为(2，0)，准线方程为直线 x2，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与抛物线 y28x 有一个公共的焦点 F，则双曲线的半焦距 c2，a2b24，又PF5，点 P 的横坐标为 3，代入抛物线 y28x 得 y2 6，则 P(3，2 6)
10、，点 P 在双曲线上，则有9a224b21，联立，解得 a1，b 3，双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为 y 3x.答案 y 3x 13.(2016南京、盐城模拟)已知 F1，F2分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线的左右两支分别交于点 A，B，若 ABAF2，F1AF290，则双曲线的离心率为_.解析 ABAF2，F1AF290，BF2 2AF2.又由双曲线的定义知 BF1BF22a，AF1AB 2AF22a，即 AF1(1 2)AF22a.又 AF2AF12a，AF22(2 2)a，AF12(1 2)a.在 RtAF1F2中，AF21
11、AF22F1F22，即2(2 2)a22(12)a2(2c)2，c2a296 2，e96 2 6 3.答案 6 3 14.已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别为 l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线 E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线 l 分别交直线 l1，l2于 A，B 两点(A，B 分别在第一、四象限)，且OAB 的面积恒为 8.试探究：是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E？若存在，求出双曲线 E 的方程；若不存在，说明理由.解(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y2x，y2x，所以ba2，所以c2a2a2，故 c 5a，从
12、而双曲线 E 的离心率 eca 5.由(1)知，双曲线 E 的方程为x2a2y24a21.如图，设直线 l 与 x 轴相交于点 C.若 lx 轴时，若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点，则 OCa，AB4a.又因为OAB 的面积为 8，所以12OCAB8，因此12a4a8，解得 a2，此时双曲线 E 的方程为x24y2161.若存在满足条件的双曲线 E，则 E 的方程只能为x24y2161.以下证明：当直线 l 不与 x 轴垂直时，双曲线 E：x24y2161 也满足条件.设直线 l 的方程为 ykxm，依题意，得 k2 或 k2，则 Cmk，0.记 A(x1，y1)，B(x2，y2).由ykxm，y2x，得 y12m2k，同理，得 y22m2k.由 SOAB12OC|y1y2|，得 12mk2m2k2m2k8，即 m24|4k2|4(k24).由ykxm，x24y2161，得(4k2)x22kmxm2160.因为 4k20，所以 4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216).又因为 m24(k24)，所以 0，即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点.因此，存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E，且E 的方程为x24y2161.