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1、 1 通用版高考数学考前 3 个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题5数列推理与证明第21练基本量法破解等差等比数列的法宝文 题型分析高考展望 等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个选择题或一个填空题，再加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大解决这类问题的关键是熟练掌握基本量，即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质 体验高考 1(2016课标全国乙)已知等差数列an前 9 项的和为 27，a108，则a100等于()A100 B99 C98 D97 答案 C 解析 由等差数列性质，知S99a1a9292a529a527，得a53，而a1
2、08，因此公差da10a51051，a100a1090d98，故选 C.2(2015福建)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于()A6 B7 C8 D9 答案 D 解析 由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，b0.在a，b，2 这三个数的 6 种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有a，2，b；b，2，a.ab4，2ba2或 ab4，2ab2，解得 a4，b1或 a1，b4.p5，q4，pq9，故选 D.3(2016北京)
3、已知an为等差数列，Sn为其前n项和 若a16，a3a50，则S6_.答案 6 2 解析 a3a52a40，a40.又a16，a4a13d0，d2.S6666612(2)6.4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_ 答案 2n1 解析 由等比数列的性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，联立方程 a1a48，a1a49，解得 a11，a48或 a18，a41，又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn12n122n1.5(2016课标全国乙)设等比数列an满足a1a310，a2a45，
4、则a1a2an的最大值为_ 答案 64 解析 设等比数列an的公比为q，a1a310，a2a45，即 a1a1q210，a1qa1q35，解得 a18，q12.a1a2an12(3)(2)(n4)1212n(n7)1212n722494，当n3 或 4 时，12n722494取到最小值6，此时1212n722494取到最大值 26，a1a2an的最大值为 64.3 高考必会题型 题型一 等差、等比数列的基本运算 例 1 已知等差数列an的前n项和为Sn，且a311，S324.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnann6an15，求数列bn中的最小的项 解(1)a3a12d，S33a1322
5、d3a13d，a12d11，3a13d24 a15，d3.an5(n1)33n2.(2)bnann6an153n220n123n n4n2032 n4n203323.当且仅当n4n，即n2 时，bn取得最小值323，数列bn中的最小的项为323.点评 等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a1和公差d(公比q)是两个基本的元素(2)解题思路：设基本量a1和公差d(公比q)；列、解方程(组)：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量 变式训练 1(1)等比数列an前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则数列an的
6、公比为_(2)(2015课标全国)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7等于()A21 B42 C63 D84 答案(1)13(2)B 解析(1)设等比数列an的公比为q，则当q1 时，S1a1,2S24a1,3S39a1，S1,2S2,3S3不成等差数列；当q1 时，S1,2S2,3S3成等差数列，4 4S2S13S3，即 4a11q21qa13a11q31q，即 3q24q10，q1(舍)或q13.(2)设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521，得 3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142，故选 B
7、.题型二 等差数列、等比数列的性质及应用 例 2(1)(2015广东)在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_.(2)设等比数列an的前n项和为Sn，若 27a3a60，则S6S3_.答案(1)10(2)28 解析(1)因为an是等差数列，所以a3a7a4a6a2a82a5，a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)由题可知an为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3a1q2，a6a1q5，所以 27a1q2a1q5，所以q3，由Sna11qn1q，得S6a113613，S3a113313，所以S6S3a11361313a113328.点评 等差
8、(比)数列的性质盘点 类型 等差数列 等比数列 项的 性质 2akamal(m，k，lN*，且m，k，l成等差数列)a2kamal(m，k，lN*，且m，k，l成等差数列)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)amanapaq(m，n，p，qN*，且mnpq)和的 性质 当n为奇数时：Snnan12 当n为偶数时：S偶S奇q(公比)依次每k项的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等差数列 依次每k项的和：Sk，S2kSk，S3kS2k，构成等比数列(k不为偶数且公比q1)变式训练 2(1)an为等差数列，若a11a101，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n
9、等于()A11 B17 C19 D21 5(2)在正项等比数列an中，3a1，12a3,2a2成等差数列，则a2 016a2 017a2 014a2 015等于()A3 或1 B9 或 1 C1 D9 答案(1)C(2)D 解析(1)Sn有最大值，d0，又a11a101，a110a10，a10a110，S2010(a1a20)10(a10a11)0，S19为最小正值(2)设数列an的公比为q(q0)，依题意，a33a12a2，a1q23a12a1q，整理得：q22q30，解得q3 或q1(舍)，a2 016a2 017a2 014a2 015a2 014q2a2 015q2a2 014a2 0
10、15q29.题型三 等差、等比数列的综合应用 例 3 已知等比数列an中，首项a13，公比q1，且 3(an2an)10an10(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列bn的通项公式和前n项和Sn.解(1)3(an2an)10an10，3(anq2an)10anq0，即 3q210q30，公比q1，q3.又首项a13，数列an的通项公式为an3n.(2)bn13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，bn13an12(n1)，即数列bn的通项公式为bn2n13n1.前n项和Sn(13323n1)13(2n1)12(3n1)n2.点
11、评(1)对数列an，首先弄清是等差还是等比，然后利用相应的公式列方程组求相关基本量，从而确定an、Sn.(2)熟练掌握并能灵活应用等差、等比数列的性质，也是解决此类题目的主要方法 变式训练 3(2015北京)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.6(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？解(1)设等差数列an的公差为d.因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以 2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1,2，)(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b6426
12、1128.由 1282n2，得n63，所以b6与数列an的第 63 项相等 高考题型精练 1设an是首项为a1，公差为1 的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于()A2 B2 C.12 D12 答案 D 解析 因为等差数列an的前n项和为Snna1nn12d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a11,4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)解得a112.2已知无穷等差数列an，前n项和Sn中，S6S8，则()A在数列an中a7最大 B在数列an中，a3或a4最大 C前三项之和S3必与前 10 项之和S10相等 D当n8 时，an
13、0 答案 D 解析 由于S6S8，所以S7S6a70，S8S7a80，故 C 错误 3已知an为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为an的前n项和，nN*，则S10的值为()A110 B90 C90 D110 答案 D 解析 a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3与a9的等比中项，(a112)2(a14)(a116)，解得a120.S10102012109(2)110.4(2016哈尔滨六中期中)已知Sn是等差数列an的前n项和，且S6S7S5，给出下列五个命题：d0；使Sn0 的最大n值为 12；数列Sn中的最大项为S11；|a6|
14、a7|，其中正确命题的个数是()A5 B4 C3 D1 答案 B 解析 S6S7S5，a70，a6a70，因此|a6|a7|；da7a60；S1212a1a1226(a6a7)0，而S1313a70 的最大n值为 12；由于a70，数列Sn中的最大项为S6，错，正确，故选 B.5在正项等比数列an中，a11，前n项和为Sn，且a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为()A125 B126 C127 D128 答案 C 解析 设正项等比数列an的公比为q(q0)，且a11，由a3，a2，a4成等差数列，得 2a2a4a3，即 2a1qa1q3a1q2.因为q0，所以q2q20.8 解得q1(舍)
15、或q2.则S7a11q71q112712127.6已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 由等差数列的前n项和及等差中项，可得anbn12a1a2n112b1b2n1 122n1a1a2n1122n1b1b2n1A2n1B2n1 72n1452n1314n382n2 7n19n1712n1(nN*)，故当n1,2,3,5,11 时，anbn为整数 即正整数n的个数是 5.7(2016江苏)已知an是等差数列，Sn是其前n项和若a1a223，S510，则a9的值是_ 答案 20
16、 解析 设等差数列an公差为d，由题意可得：a1a1d23，5a1542d10，解得 a14，d3，则a9a18d48320.8已知an为等差数列，a1a3a5105，a2a4a699，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是_ 答案 20 9 解析 等差数列an的公差为d，则 3a16d105，3a19d99，即 a12d35，a13d33，a139，d2.Sn39nnn12(2)n240n(n20)2400，当n20 时，Sn取得最大值 9公差不为 0 的等差数列an的部分项123,kkkaaa构成等比数列，且k11，k22，k36，则k4_.答案 22 解析 根据题意可知等差
17、数列的a1，a2，a6项成等比数列，设等差数列的公差为d，则有(a1d)2a1(a15d)，解得d3a1，故a24a1，a616a14kaa1(n1)(3a1)64a1，解得n22，即k422.10 若数列an对任意的正整数n和m等式a2nmanan2m都成立，则称数列an为m阶梯等比数列若an是 3 阶梯等比数列有a11，a42，则a10_.答案 8 解析 由题意有，当an是 3 阶梯等比数列，a2n3anan6，a24a1a7，所以a74，由a27a4a10，有a10a27a48.11(2016北京)已知an是等差数列，bn是等比数列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的
18、通项公式；(2)设cnanbn，求数列cn的前n项和 解(1)设数列an的公差为d，bn的公比为q，由 b2b1q3，b3b1q29，得 b11，q3.bn的通项公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1(141)d27，解得d2.an的通项公式ana1(n1)d1(n1)22n1(n1,2,3，)(2)设数列cn的前n项和为Sanbn2n13n1，Snc1c2c3cn 2113022131231322n13n12(12n)n 10 3013n13 2n1n2n3n12 n23n12.即数列cn的前n项和为n23n12.12在等差数列an中，a2a723，a3a829.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为 1，公比为q的等比数列，求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差是d，a3a8(a2a7)2d6，d3.a2a72a17d23，解得a11.数列an的通项公式为an3n2.(2)数列anbn是首项为 1，公比为q的等比数列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1.Sn147(3n2)(1qq2qn1)n3n12(1qq2qn1)，故当q1 时，Snn3n12n3n2n2；当q1 时，Snn3n121qn1q.