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1、2018-2019 年上海春考数学试卷及答案 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第7-12 题每题 5 分）1、已知集合1,2,3,4,5A，3,5,6B，则AB _【答案】3,5 2、计算22231lim_41nnnnn 【答案】2 3、不等式15x的解集为_【答案】6,4 4、函数 20fxxx的反函数为_【答案】,0yx x 5、设i为虚数单位，365zii，则z的值为_【答案】2 2 6、已知22214xyxa ya，当方程有无穷多解时，a的值为_.【答案】2a ；7、在61xx的二项展开式中，常数项的值为_【答案】15 8、在ABC中，3,3
2、sin2sinACAB，且1cos4C，则AB _【答案】10 9、首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_种（结果用数值表示）【答案】24【解析】在五天里，连续连续 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故一共有：33424P种.10、如图，已知正方形OABC，其中1OAa a，函数23yx交BC于点P，函数12yx交AB于点Q，当AQCP最小时，则a的值为_ 【答案】3 【解析】依题意得，1,3aPaQ aa，则11233aAQCPa，当且仅当3a 时，取等号，故3a.11、在椭
3、圆22142xy上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有121F P F P，则1FP与2F Q的夹角范围为_【答案】1arccos,3 【解析】设,P x y，因为121F P F P，则2221xy，与22142xy结合，可得21,2y，222212222222221222cos2222 2F P F QxyxyF PF Qxyxyxyx （与22142xy结合，消去x）222238131,322yyy .所以 1arccos,3.12、已知集合,14,9At ttt，0A，存在正数，使得对任意aA，都有Aa，则t的值是_【解析】1）：当0t 时，当,1at t，则4,9tta，当4,9at
4、t，则,1t ta，即当at时，9ta；当9at 时，ta，即9t t；即当1at 时，4ta，当4at 时，1ta，即14tt，所以 914t ttt，解得1t.当104tt 时，当,1at t，则,1t ta，当4,9att，则4,9tta，即当at时，1ta，当1at 时，ta，即1t t；即当4at 时，9ta，当9at 时，4ta 即49tt，所以 149t ttt，解得3t .当90t 时，同理可得，无解【解析】2）存在正数，使得对任意1aA，都存在2aA，使得1 2a a，当0t 时，思考 当1at时，1 24,9a at tt t 当11at 时，1 214,19a atttt
5、 当14at 时，1 24,14a at ttt 当19at 时，1 29,19a at ttt 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13、下列函数中，值域为0,的是（）A、2xy B、12yx C、tanyx D、cosyx 【答案】B 14、已知abR、，则“22ab”是“ab”的（）A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件【答案】C 15、已知平面、两两垂直，直线abc、满足：,abc，则直线abc、不可能满足以下哪种关系（）A、两两垂直 B、两两平行 C、两两相交 D、两两异面【答案】B 16、以 12,0,0aa为圆心的两圆
6、均过1,0，与y轴正半轴分别交于 12,0,0yy，且满足12lnln0yy，则点1211,aa的轨迹是（）A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线【答案】A【解析】因为2211111raay，2111 2ya，同理，22212ya，又因为12lnln0yy，所以121y y，则 121 21 21aa，即1 21212112,2a aaaaa 设1211xaya，则2xy为直线，故答案为 A.三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17、如图，在正三棱锥PABC中，2,3PAPBPCABBCAC （1）若PB的中点为M，BC的中点为N，求AC与MN的夹角；（2
7、）求PABC的体积.【答案】（1）3arccos4；（2）34.18、已知数列 na，13a，前n项和为nS.（1）若 na为等差数列，且415a，求nS；（2）若 na为等比数列，且lim12nnS，求公比q的取值范围.【答案】（1）22nSnn；（2）31,00,4；19、改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍，卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，下表为 2012 年2015 年我国卫生费用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比 （数据老源于国家统计年鉴）（1）计算 A、B 的数据，并指出 2012 年到 20
8、15 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势；（2）设 t=1 表示 1978 年，第 n 年卫生总费用与年份 t 之间拟合函数 6.4420 0.1136357876.60531tf te，研究函数 f t的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份。【答案】（1）个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多；（2）单调递增，51t，2028 年首次超过 12 万亿.20、已知抛物线方程24,yx F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：PFd PFQ.（1）当81,3P 时，求 d P；（2）证明：存在常数a，使得 2d PP
9、Fa；（3）123,P P P为抛物线准线上三点，且1 22 3PPP P，判断 13d Pd P与 22d P的关系.【题型】（2）定值问题；（3）平方法比较大小【答案】见解析【解析】（1）因为84431233PFkyx，联立方程24113,44Qyxxyx 则 1083534PFd PQF；（2）当1,0P 时，易得 22ad PPF，不妨设1,PPy，0Py，直线:1PF xmy，则2Pmy，联立 214xmyyx，2440ymy，2244162212Qmmymm，2222222 112 1221222221PPQymmmmd PPFm yymmmmmm （3）设1122331,1,1,
10、PyPyPy，则 132132222132222131322213132424424442424416d Pd Pd PPFP FP Fyyyyyyyyyyy 因为2222221313131 2441624428yyyyyyy y 又因22222131 3131 3444480yyy yyyy y，所以 13d Pd P 22d P.【总结】（3）的本质为：AE为ABC的中线，则由三角形两边之和大于第三边，可知2AEABAC DEBCA 21、已知等差数列 na的公差0,d，数列 nb满足 sinnnba，集合|,nSx xb nN.（1）若120,3ad，求集合S；（2）若12a，求d使得集
11、合S恰好有两个元素；（3）若集合S恰好有三个元素：n Tnbb，T是不超过 7 的正整数，求T的所有可能的值.【答案】见解析【解析】（1）33,0,22S；（2）23d或d；（3）当3T 时，3nnbb，集合123,Sb b b，符合题意；当4T 时，4,sin4sinnnnnbbada，42nnadak或42nnadka，因为 na为公差0d 的等差数列，故42nnadak，2kd，又d，故1,2k.当1k 时，如图取10a，0,1,1S，符合条件;当5T 时，5,sin5sinnnnnbbada，52nnadak或52nnadka，因为 na为公差0d 的等差数列，故52nnadak，25
12、kd，又d，故1,2k，当1k 时，如图取110a，3sin,1,sin1010S，符合条件；当6T 时，6nnbbsin6sinnnada，62nnadak或62nnadka，因为 na为公差0d 的等差数列，故62nnadak，3kd，又d，故1,2,3k.当1k 时，如图取10a 时，33,0,22S，符合 当7T 时，7,sin7sinnnnnbbada，72nnadak或72nnadka，因为 na为公差0d 的等差数列，故72nnadak，27kd，又d，故1,2,3k.当1k 时，因为127,b bb对应 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2mnaa，即22,mn ddmn，即22=7mn，7,7mnm,不符合条件;当2k 时，因为127,b bb对应 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2mnaa，即22,mn ddmn，即24=7mn，mn不是整数，故不符合条件;当3k 时，因为127,b bb对应 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有2mnaa或4，若22,mn ddmn，即26=7mn，mn不是整数，若44,mn ddmn，即46=7mn，mn不是整数，故3k 不符合条件;综上：3,4,5,6T.