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1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷
2、和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1以下四个命题：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近 1；在回归分析中，可用相关指数2R的值判断拟合效果，2R越小，模型的拟合效果越好；若数据123,nx x xx的方差为 1，则1232+1,2+1,2+1,2+1nxxxx的方差为 4；已知一组具有线性相关关系的数据 11221010,x yx yxy，其线性回归方程ybxa，则“00,x y满足线性回归方程ybxa”是“1210010 xxxx，1210010yyyy”的充要条件；其中真命题的
3、个数为()A4 B3 C2 D1 2如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A53 B2 C52 D3 3 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AB中点，F为CD的三等分点（靠近D）若AFxACyDE，则yx的值为（）A12 B23 C13 D1 4已知向量(1,4)a，(2,)bm，若|abab，则m（）A12 B12 C-8 D8 5已知数列 na为等差数列，nS为其前n 项和，6353aaa，则7S（）A42 B21 C7 D3 6若集合2,33Ax yxBxx，则AB（）A3,2 B23xx C2,3 D32xx 7若实数,x y满足不等式组2,36,0,xyxyxy则3x
4、y的最小值等于（）A4 B5 C6 D7 8已知向量ab(3,1),(3,3)，则向量b在向量a方向上的投影为（）A3 B3 C1 D1 9已知四棱锥SABCD的底面为矩形，SA底面ABCD，点E在线段BC上，以AD为直径的圆过点E.若33SAAB，则SED的面积的最小值为（）A9 B7 C92 D72 10已知集合0,1,2,3A，|22Bxx，则AB等于（）A012,B 2,1,0,1,2 C2,1,0,1,2,3 D 12,11如图所示是某年第一季度五省 GDP 情况图，则下列说法中不正确的是（）A该年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 3 的是山东省 B与去年同期相比，该年第一季度的
5、 GDP 总量实现了增长 C该年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有 2 个 D去年同期浙江省的 GDP 总量超过了 4500 亿元 12函数 yf x，xR，则“yxfx的图象关于y轴对称”是“yf x是奇函数”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知数列 na的前n项满足3*1232232nnaaanaCnN，则na _.14某校共有师生 1600 人，其中教师有 1000 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽取学生的人数为_ 1
6、5已知0 x，0y，且211xy，若222xymm恒成立，则实数m的取值范围是_ 16在ABC中，CA0CB，BC2BA，则BC _.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）在四棱锥PABCD的底面ABCD中，/BC AD，CDAD，PO平面ABCD，O是AD的中点，且222POADBCCD （）求证：/AB平面POC；（）求二面角OPCD的余弦值；（）线段PC上是否存在点E，使得ABDE，若存在指出点E的位置，若不存在请说明理由.18（12 分）在极坐标系中，已知曲线 C 的方程为r（0r），直线 l 的方程为cos24.设直线 l 与曲线 C 相交
7、于 A，B 两点，且2 7AB，求 r 的值.19（12 分）在四边形ABCP中，2,3ABBCP，2PAPC；如图，将PAC沿AC边折起，连结PB，使PBPA，求证：（1）平面ABC 平面PAC；（2）若F为棱AB上一点，且AP与平面PCF所成角的正弦值为34，求二面角FPCA的大小.20（12 分）已知数列na满足112(2)nnnnaanaa，且12aa，315a，125,a a a成等比数列（1）求证：数列1na是等差数列，并求数列na的通项公式；（2）记数列1na的前 n 项和为nS，+114nnnnba aS，求数列 nb的前 n 项和nT 21（12 分）某超市计划按月订购一种酸
8、奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸
9、奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率 22（10 分）如图，三棱锥PABC中，PAPC，ABBC，120APC，90ABC，3ACPB.（1）求证：ACPB；（2）求直线AC与平面PAB所成角的正弦值.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】根据线性相关性与 r 的关系进行判断,根据相关指数2R的值的性质进
10、行判断,根据方差关系进行判断,根据点00,xy满足回归直线方程，但点00,xy不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断.【题目详解】若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数 r 的绝对值越接近于 1,故正确;用相关指数2R的值判断模型的拟合效果,2R越大,模型的拟合效果越好,故错误;若统计数据123,nx x xx的方差为 1,则1232+1,2+1,2+1,2+1nxxxx的方差为224,故正确;因为点00,xy满足回归直线方程，但点00,xy不一定就是这一组数据的中心点，即1210010 xxxx，1210010yyyy不一定成立，而回归直线必过样本中心点，所以
11、当1210010 xxxx，1210010yyyy时，点 00,xy必满足线性回归方程 ybxa；因此“00,xy满足线性回归方程ybxa”是“1210010 xxxx，1210010yyyy”必要不充分条件.故 错误;所以正确的命题有.故选：C.【答案点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.2、A【答案解析】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为 1，圆柱的底面半径为 1，高为 1再由球与圆柱体积公式求解【题目详解】由三视图还原原几何体如
12、图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为 1，圆柱的底面半径为 1，高为 1 则几何体的体积为32145111233V 故选：A【答案点睛】本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 3、D【答案解析】使用不同方法用表示出AF，结合平面向量的基本定理列出方程解出【题目详解】解：13AFADDFABAD，又11()()()()22AFxACyDEx ABADyABADxy ABxy AD 1231yxxy解得5949xy，所以1yx 故选：D【答案点睛】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，属于基础题 4、B【答案
13、解析】先求出向量ab,ab的坐标，然后由|abab可求出参数m的值.【题目详解】由向量(1,4)a，(2,)bm，则1,4abm，3,4abm 22|1+4abm，22|3+4abm 又|abab，则22221+4=3+4mm，解得12m.故选：B【答案点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.5、B【答案解析】利用等差数列的性质求出4a的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S的值.【题目详解】由等差数列的性质可得6354553aaaaaa，17477727 32122aaaS.故选：B.【答案点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计
14、算能力，属于基础题.6、A【答案解析】先确定集合A中的元素，然后由交集定义求解【题目详解】22,33Ax yxx xBxx，32xx.故选：A【答案点睛】本题考查求集合的交集运算，掌握交集定义是解题关键 7、A【答案解析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值【题目详解】解：作出实数x，y满足不等式组2360 xyxyxy表示的平面区域（如图示：阴影部分）由200 xyxy得(1,1)A，由3zxy得3yxz，平移3yx，易知过点A时直线在y上截距最小，所以3 1 14minz 故选：A 【答案点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中
15、档题 8、A【答案解析】投影即为cosa bba，利用数量积运算即可得到结论.【题目详解】设向量a与向量b的夹角为，由题意，得33 132 3a b ，22312a，所以，向量b在向量a方向上的投影为2 3cos32a bba.故选：A.【答案点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.9、C【答案解析】根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定，根据勾股定理，得到,BE EC之间的等量关系，再用,BE EC表示出SED的面积，利用均值不等式即可容易求得.【题目详解】设BEx，ECy，则BCADxy.因为SA平面ABCD，ED 平面ABCD，所以SAED.又AEED，SAAEA，所以
16、ED 平面SAE，则EDSE.易知23AEx，23EDy.在Rt AED中，222AEEDAD，即22233()xyxy，化简得3xy.在Rt SED中，212SEx，22933EDyx.所以221110834522SEDSSE EDxx.因为222210810832 336xxxx，当且仅当6x，62y 时等号成立，所以19364522SEDS.故选：C.【答案点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用，考查空间想象能力以及数形结合思想，涉及线面垂直的判定和性质，属中档题.10、A【答案解析】进行交集的运算即可【题目详解】0A，1，2，3，|22Bxx，0AB，1，2 故选：A
17、【答案点睛】本题主要考查了列举法、描述法的定义，考查了交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题 11、D【答案解析】根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.【题目详解】由折线图可知 A、B 项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的 省份有江苏均第一.河南均第四.共 2 个.故 C 项正确；4632.1(1 3.3%)44844500.故 D 项不正确.故选：D.【答案点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.12、B【答案解析】根据函数奇偶性的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【题目详解】设 g xxfx，若函
18、数 yf x是R上的奇函数，则 gxxfxxfxg x，所以，函数 yxfx的图象关于y轴对称.所以，“yf x是奇函数”“yxfx的图象关于y轴对称”；若函数 yf x是R上的偶函数，则 gxxfxxfxxfxg x ，所以，函数 yxfx的图象关于y轴对称.所以，“yxfx的图象关于y轴对称”“yf x是奇函数”.因此，“yxfx的图象关于y轴对称”是“yf x是奇函数”的必要不充分条件.故选：B.【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键，考查推理能力，属于中等题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、1n【答案
19、解析】由已知写出用1n 代替n的等式，两式相减后可得结论，同时要注意1a的求解方法【题目详解】31232232nnaaanaC，2n 时，31231123(1)2nnaaanaC，得3322112()2(1)nnnnnaCCCn n，1nan，又31322aC，1nan（*nN）故答案为：1n【答案点睛】本题考查求数列通项公式，由已知条件类比已知nS求na的解题方法求解 14、1【答案解析】直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【题目详解】分层抽样的抽取比例为801160020，抽取学生的人数为 6001201 故答案为：1【答案点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.15、（-4，2）【答
20、案解析】试题分析：因为21442(2)()4+428yxyxxyxyxyxyxy当且仅当2xy时取等号，所以22842mmm 考点：基本不等式求最值 16、2【答案解析】先由题意得：CACB，再利用向量数量积的几何意义得2BC BABC，可得结果.【题目详解】由0CA CB知：CACB，则BA在BC方向的投影为BC，由向量数量积的几何意义得：2cos2BC BAABBCABCBC，2BC 故答案为2【答案点睛】本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（）详见解析；（）105；（）存在，点E
21、为线段PC的中点.【答案解析】（）连结OC，BCAO，/BC AD，则四边形ABCO为平行四边形，得到证明.（）建立如图所示坐标系，平面PCD法向量为1(0,2,1)n，平面POC的法向量2(1,1,0)nBD，计算夹角得到答案.（）设(,)E x y z，计算(,1,22)DE，(1,1,0)AB，根据垂直关系得到答案.【题目详解】（）连结OC，BCAO，/BC AD，则四边形ABCO为平行四边形./AB OCABPOCOCPOC平面平面/AB平面POC.（）PO平面ABCD，CDADODBCCD四边形OBCD为正方形.所以OB，OD，OP两两垂直，建立如图所示坐标系，则(1,1,0)C，(
22、0,0,2)P，(0,1,0)D，(1,0,0)B，设平面PCD法向量为1(,)nx y z，则1110(0,2,1)0n CDnnPD，连结BD，可得BDOC，又BDPO所以，BD 平面POC，平面POC的法向量2(1,1,0)nBD，设二面角OPCD的平面角为，则121210cos5|n nnn.（）线段PC上存在点E使得ABDE，设(,)E x y z，(,2)(1,1,2)(,22)PEPCx y zE (,1,22)DE，(1,1,0)AB，102ABDEAB DE，所以点E为线段PC的中点.【答案点睛】本题考查了线面平行，二面角，根据垂直关系确定位置，意在考查学生的计算能力和空间想
23、象能力.18、3r 【答案解析】先将曲线 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.【题目详解】以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系xOy，可得曲线 C：r（0r）的直角坐标方程为222xyr，表示以原点为圆心，半径为 r 的圆.由直线 l 的方程cos24，化简得coscossinsin244，则直线 l 的直角坐标方程方程为20 xy.记圆心到直线 l 的距离为 d，则222d，又2222ABrd，即2279r，所以3r.【答案点睛】本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.19、（1）证明见详解；（2
24、）6【答案解析】（1）由题可知，等腰直角三角形ABC与等边三角形PAC，在其公共边 AC 上取中点 O，连接OB、OP，可得,OBAC OPAC，可求出3OP.在OPB中，由勾股定理可证得OPOB，结合OPACO，可证明OB 平面PAC.再根据面面垂直的判定定理，可证平面ABC 平面PAC.（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，由点 F 在线段AB上，设(01)AFmABm，得出CF的坐标，进而求出平面PFC的一个法向量n.用向量法表示出AP与平面PCF所成角的正弦值，由其等于34，解得n.再结合OB为平面PAC的一个法向量，用向量法即可求出n与OB的夹角，结合图形，写出
25、二面角FPCA的大小.【题目详解】证明：（1）在PAC中，2,3PAPCP PAC为正三角形，且2AC 在ABC中，2ABBC ABC为等腰直角三角形，且ABBC 取AC的中点O，连接0,B OP,OBAC OPAC 1,3,2OBOPPBPA，222PBOBOP，OPOB OPACO，,AC OP 平面PAC OB平面PAC OB 平面ABC.平面ABC 平面PAC（2）以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则(0,1,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,3)ABCP，(1,1,0),(0,1,3)ABAP，(0,1,3),(0,2,0)CPCA，设(01)AFm
26、ABm.则(,2,0)CFCAAFm m 设平面PFC的一个法向量为(,)x y zn.则 00n CFn CP (2)030mxy myz，令3y，解得231mxmz 23,3,1mnm AP与平面PFC所成角的正弦值为34，222 334|(2)2 33 1n APnAPmm 整理得23440mm 解得23m 或2m (含去)(2 3,3,1)n 又OB为平面PAC的一个法向量 3cos,2n OBn OBn OB ,6n OB，二面角FPA C的大小为6.【答案点睛】本题考查了线面垂直的判定，面面垂直的判定，向量法解决线面角、二面角的问题，属于中档题.20、（1）见解析；（2）84nnT
27、n【答案解析】（1）因为112(2)nnnnaanaa，所以0na，所以11112nnnaaa，所以数列1na是等差数列，设数列1na的公差为d，由12aa可得0d，因为125,a a a成等比数列，所以2125a aa，所以2152111aaa，所以2333111(2)(2)()dddaaa，因为315a，所以2(52)(52)(5)ddd，解得0d（舍去）或2d，所以311(3)21nndnaa，所以121nan （2）由（1）知121nan，2(121)2nnnSn，所以2+1111111()4(21)(21)44(21)(21)8 2121nnnnnba aSnnnnnn，所以1111
28、1111(1)(1)8335212182184nnTnnnn 21、（1）35（2）45【答案解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间20，25）和最高气温低于 20 的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率（2）当温度大于等于 25时，需求量为 500，求出 Y900 元；当温度在20，25）时，需求量为 300，求出 Y300 元；当温度低于 20时，需求量为 200，求出 Y100 元，从而当温度大于等于 20 时，Y0，由此能估计估计 Y 大于零的概率【题目详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，
29、25）和最高气温低于 20 的天数为 2+16+3654，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关 如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶，如果最高气温位于区间20，25），需求量为 300 瓶，如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 p543905（2）当温度大于等于 25时，需求量为 500，Y4502900 元，当温度在20，25）时，需求量为 300，Y3002（450300）2300 元，当温度低于 20时，需求量为 200，Y400（450200）2100 元，当温度大于等于 20 时，Y0，由前三年
30、六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20的天数有：90（2+16）72，估计 Y 大于零的概率 P724905【答案点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题 22、（1）证明见详解；（2）55【答案解析】（1）取AC中点O，根据,ACPO ACBO，利用线面垂直的判定定理，可得AC 平面OPB，最后可得结果.（2）利用建系，假设AC长度，可得AC，以及平面PAB的一个法向量，然后利用向量的夹角公式，可得结果.【题目详解】（1）取AC中点O，连接,OP O
31、B，如图 由PAPC，ABBC 所以,ACPO ACBO 由POBO O=,PO BO 平面OPB 所以AC 平面OPB，又PB 平面OPB 所以ACPB（2）假设3AC，由120APC，90ABC，3ACPB.所以333,22PBOBOP 则222PBOBOP，所以OPOB 又OPAC，,ACOBO,AC OB 平面ABC 所以PO平面ABC，所以POOB，POOC 又OBOC，故建立空间直角坐标系Oxyz，如图 33330,0,0,0,0,0,0,0,2222ACBP 3 3330,3,0,0,0,2 222ACABAP 设平面PAB的一个法向量为,nx y z 则330022033022xyn ABn APyz 令3z，所以1,1,3n 则直线AC与平面PAB所成角的正弦值为55n ACn AC【答案点睛】本题考查线面垂直、线线垂直的应用，还考查线面角，学会使用建系的方法来解决立体几何问题，将几何问题代数化，化繁为简，属中档题.