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1、 考点 13 平面向量的数量积及应用【知识框图】【自主热身，归纳总结】1、(2018 苏州暑假测试）已知平面向量a(2，1)，ab10，若|ab|5 2，则|b|的值是_【答案】、5 【解析】、因为 50|ab|2|a|2|b|22ab520|b|2，所以|b|5.2、(2017 无锡期末）已知向量a(2,1)，b(1，1)，若ab与mab垂直，则实数m的值为_【答案】、14 【解析】、根据向量a，b的坐标可得ab(1,2)，mab(2m1，m1)，因为(ab)(mab)，所以(ab)(mab)1(2m1)2(m1)4m10，故m14.3、(2016 苏北四市摸底）.已知|a|1，|b|2，a
2、b(1，2)，则向量a，b的夹角为_【答案】、.23【解析】、因为ab(1，2)，所以|ab|3，两边平方得a22abb23，将|a|1，|b|2代入得12ab43，从而ab1，所以cos a，b ab|a|b|12，而 a，b0，所以a，b23，即向量a，b的夹角为23.4、(2017 苏北四市期末）已知非零向量a，b满足|a|b|ab|，则a与 2ab夹角的余弦值为_【答案】、5 714【解析】、解法 1 因为非零向量a，b满足|a|b|ab|，所以a2b2a22abb2，ab12a212b2，所以a(2ab)2a2ab52a2，|2ab|2ab2 5a24ab 7|a|，cosa,2ab
3、a2ab|a|2ab|52a2|a|7|a|52 75 714.解法 2 因为非零向量a，b满足|a|b|ab|，所以a，b23，所以a(2ab)2a2ab2a2|a|b|cos2352a2，|2ab|2ab25a24ab5a24|a|b|cos23 7|a|.以下同解法 1.5、(2017 南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA3，OC5.若ABAD7，则BCDC的值是_ 【答案】、.9 【解析】、BCDC(OCOB)(OCOD)(OCOD)(OCOD)OC2OD2，类似ABADAO2OD27，所以BCDCOC2OD2OC2AO279
4、.思想根源 极化恒等式：abab22ab22.在ABC中，若M是BC的中点，则 ABACAM2MC2.其作用是：用线段的长度来计算向量的数量积 6、(2017 南京学情调研）在ABC中，已知AB3，BC2，D在边AB上，AD13AB.若DBDC3，则边AC的长是_【答案】、10 【解析】、思路分析 1 注意到AB，BC已知，故以BA，BC为基底，将其它向量表示出来，通过DBDC3 计算出向量BA，BC的夹角后，再利用余弦定理求得AC的长 思路分析 2 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，从而用向量的坐标运算来研究问题，要求AC的长本质就是求点A的坐标，可以通过DBD
5、C3 来求得点A的坐标 解法 1 因为AD13AB，所以DBDC23AB23ABBC49AB223ABBC42332cosABC3，解得 cosABC14，因此AC2AB2BC22ABBCcosABC10，即AC 10.解法2 以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系设ABC，则因为AB3，BC2，所以C(2,0)，A(3cos，3sin)又因为AD13AB，所以D(2cos，2sin)，故DB(2cos，2sin)，DC(22cos，2sin)，因此DBDC4cos4cos24sin23，解得 cos14，从而A34，3 154，由此可得AC34223 1542 10.
6、7、（2016 无锡期末）已知平面向量，满足|1，且与的夹角为 120，则的模的取值范围为_【答案】、.(0，2 33 【解析】、思路分析 本题题设虽然简单，但不易入手实际上，本题隐含条件：|，|，|必能构成三角形，故引入与的夹角，根据正弦定理，用表示|，利用函数思想求解 设与的夹角为，则 0120，由正弦定理可得|sin120|sin60，所 以|2 33sin(120)因 为 0120，所 以 0120120，所以 0sin(120)1，所以 00，q0，且直线 PQ：xpyq1，因为点E 在直线 PQ 上，所以12p14q1，BQCP(2，q)(p，1)2pq(2pq)12p14q54q
7、2pp2q542q2pp2q94，当且仅当q2pp2q，即 pq34时取“”，所以BQCP的最大值是94.【变式 2】(2018 苏州期末）如图，ABC 为等腰三角形，BAC120，ABAC4，以 A为圆心，1 为半径的圆分别交 AB，AC 于点 E，F，点 P 是劣弧EF上的一动点，则PBPC的取值范围是_ 【答案】.11，9 【解析】(坐标法)以 A 为原点，垂直于 BC 的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xAy，则 B(2，2 3)，C(2，2 3)，设 P(cos，sin)，其中 3，3.PBPC(2cos，sin2 3)(2cos，23sin)(cos2)2sin21274cos.
8、因为cos12，1，所以PBPC11，9【变式 3】(2018 苏北四市期末）如图，在ABC 中，已知 AB3，AC2，BAC120，D 为边 BC 的中点若 CEAD，垂足为 E，连结 BE，则EBEC的值为_ 【答案】277 【解析】思路分析 建立平面直角坐标系 xOy，写出 A，B，C，D 各点的坐标，利用坐标法求解 解法 1(坐标法)以点 A 为坐标原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 xOy(如图所示)，则 A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D1，32，所以直线 AD：y32x，直线 CE：y 2 33x 33.联 立y32x，y2 33x33得 E27，37，
9、所 以 EB197，37，EC97，6 37，从而EBEC18949277.解法 2(向量的数量积)EBECED2DC2CE2.由(2AD)2(ABAC)2，得4AD29467，即AD72.因为SADC12SABC3 34，且SADC12ADCE74CE，所以 CE2277.故EBEC277.解法 3(基底法)因为 E 在中线 AD 上，所以可设AE(ABAC)，则EB(1)ABAC，同理EC(1)ACAB，所以EBEC3(1)2213(1)37(1)由ADE C0，得(ABAC)(1)ACAB0，可解得 17.从而EBEC367277.【变式 4】(2018 苏锡常镇调研）如图，扇形AOB的
10、圆心角为 90，半径为 1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP OQ的取值范围为 【答案】21,1 Q P O B A 【解析】思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方法：坐标法和基底法进行求解.解法 1（坐标法）以OA为x轴，OB为y轴，建立平面直角坐标系，则)0,1(A，)1,0(B，则直线01:yxAB，由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上，可设)sin,(cosP，2,0，设点P关于直线AB的对称点),(11yxQ，则1)1(cossin012sin2cos1111xyyx，可得cos1sin111yx，即)cos1,sin1(Q 所以cossin2
11、cossin)cos1(sin)sin1(cosOQOP 令)4sin(2cossint，则2,1t且1cossin22 t 故45)21(1)(22ttttfOQOP，所以OP OQ的取值范围为 21,1【变式 5】(2017 南通、扬州、泰州、淮安三调）如图，在直角梯形ABCD中，ABDC，90ABC，3AB，2BCDC若E F，分别是线段DC和BC上的动点，则AC EF的取值范围是 【答案】、4,6 【解析】：以BA为x轴，BC为y轴建立平面直角坐标系，则(3,0)A，(0,0)B，(0,2)C，(2,2)D，设(,2),(0,)E xFy，因为E F，分别是线段DC和BC上，所以,0,
12、2x y，则(3,2),(,2)ACEFx y ，324AC EFxy，因为,0,2x y，所以320,10 xy，从而324 4,6xy ，即AC EF的取值范围为 4,6.题型三 平面向量数量积的综合应用 知识点拨：平面向量的数量积计算有两种处理方法：一是通过向量分解转化为基向量来解决；A B C D E F 二是通过建立平面直角坐标系，通过坐标运算来解决.方法 1 比较灵活，方法 2 比较程式化，若有直角坐标系框架，或者便于建系，考试时建议通过建系来解决问题比较稳妥.若题中几何关系明显，且所求向量的长度和夹角未知，首选坐标法;圆中求向量数量积最值问题，优先考虑以角作为参数，来建立函数关系
13、，这样问题转为三角的最值问题，便于求解.例 3、(2018 南京、盐城一模）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为 1，正六边形的顶点称为“晶格点”若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则ABCD的最大值为_ 【答案】24【解析】、思路分析 本题所给AB是确定的，所以根据数量积定义ABCD的最大值即CD在AB上的投影最大，可以选取几个特殊位置逐一检验，也可以用图形作出投影的最大值 解法 1 如图 1 建立平面直角坐标系，A32，92，B(0，0)，那么很容易得到 C(0，5)，此时D的位置可以有三个点可以选择，分别是D132，12，D2(3，0)，D33
14、32，12，分别求出ABCD的值为 21，24，22.5，所以ABCD的最大值为 24.（图 1）（图 2）解法 2 由数量积定义可得：要求ABCD的最大值，即求CD在AB上投影的最大值如图2，FDAB，此时CD在FD上的投影最大，即在AB上的投影最大.ABCD(AEEB)(CFFD)(AEEB)(ABCF)(AEEB)(AE2EB)AE22EB23AEEB1623411224.【变式 1】、(2018 苏中三市、苏北四市三调）如图，已知2AC，B为AC的中点，分别以 AB,AC为直径在AC的同侧作半圆，M,N分别为两半圆上的动点（不含端点ABC，），且BMBN，则AMCN的最大值为 【思路分
15、析】处理向量数量问题，主要是坐标法和基底法，解法 1，建立坐标系，设NBCMABa，(0)2，得到 M,N 坐标，建立以角a的函数关系式；解法 2，两个向量不共起点，可以转化为以B为起点的向量，运用向量数量积的定义得到关于AM的函数，换元转化二次函数，求最值；解法3，建立坐标系后，设出直线BN和BM方程，,M N为直线与圆的交点，联立直线与圆方程，求出,M N的坐标，得到一个关于斜率k的函数关系式，换元后求最值.【答案】14【解析】、【解法 1】（坐标法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系。设NBCMAB，(0)2，则2(sinsincos)M，,(cossin)N，(
16、10)(10)AC，2sinsincoscossinAM CN=（1，）（1，）22sincossincos=（1）(1)+2cossin=1+2coscos=+=211(cos)24a，当1cos,23paa时，AM CN的最大值为14.【解法 2】（定义法）设NBCMAB，(0)2，AM CNBMBABNBC=（）（）BM BCBA BNBA BC=cos1BM BA=sincos1BM BA=21BMAM=2AMAM=，令AMt=，01t 2104AMCNtt，所以AM CN的最大值为14.【解法 3】（解析几何法）以点B为坐标原点，线段AC所在的直线为x轴，建立平面坐标系。，设直线BN
17、的斜率为(0)k k，则直线BM的斜率为1k，则直线BN的方程为ykx，直线BM的方程为1yxk，联立22,1ykxxy解得221()11kNkk，联立221,11+24yxkxy（）解得222()11kkMkk，因为(1,0)A ，(1,0)C，所以221()11kAMkk=，221(1)11kCNkk=-，AM CN=222211(1)1111kkkkkk+-22211(1)11kkk+-221111kk-令211tk，则01t，2104AM CNtt，所以AM CN的最大值为14.【关联 1】、（2016 苏锡常镇一调）在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f(x)x24x(x0)的图像上
18、任意一点，过点M向直线yx和y轴作垂线，垂足分别是点A，B，则MAMB_.【答案】2 【解析】、思路分析 因为用点到直线的距离公式求MA比较方便，且MA与MB的夹角为 135，所以利用MAMBMAMBcos135解答更容易 设Mt，t24t(t0)，则MAtt24t22 2t，MBt，所以MAMBMAMBcos1352 2tt222.【关联 2】、(2016 苏北四市期末）已知|OA|OB|2，且OAOB1.若点C满足|OACB|1，则|OC|的取值范围是_【答案】61，61 【解析】、如图，以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则ODOAOB，因为|OA|OB|2，OAOB1，所以|OD|OAOB|OAOB2OA2OB22OAOB6，由|OACB|1 得|OACB|OAOBOC|ODOC|CD|1，所以点C在以点D为圆心，1 为半径的圆上，而|OC|表示点C到点O的距离，从而|OD|1|OC|OD|1，即 61|OC|61，即|OC|的取值范围是 61，61