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1、 第三章 变化率与导数 学习目标 1.会求函数在某点处的导数.2.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程.3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算 知识点一 函数yf(x)在xx0处的导数 1函数yf(x)在xx0处的_称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作_，即f(x0)limx0 yx_.2函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处_，在点P处的切线方程为_ 知识点二 导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为_，f(x)limx0 fxxfxx，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，
2、通常也简称为_ 知识点三 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c(c是常数)f(x)0 f(x)x(为实数)f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ax(a0，a1)f(x)_ f(x)ex f(x)_ f(x)logax(a0，a1)f(x)_ f(x)ln x f(x)_ f(x)tan x f(x)_ f(x)cot x f(x)_ 知识点四 导数的运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 和的导数 f(x)g(x)_ 差的导数 f(x)g(x)_ 积的导数 f(x)g(x)_ 商的导数 fxgxfxgxfxgxg2x 类型一
3、 利用导数的定义解题 例 1 利用导数的定义求函数yx21的导数 反思与感悟(1)对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和 x趋于 0 的方式，函数的改变量 y与自变量的改变量 x的比趋于一个固定的值 即yxlimx0 fx0 xfx0 x.(2)在用定义求导数时，必须掌握三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形 跟踪训练 1 已知s(t)t2t，求 limt0 s5ts5t.类型二 导数的几何意义 例 2 函数yf(x)的图像如图，下列数值的排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(
4、2)0)，若函数yf(x)图像上的点到直线xy30 距离的最小值为 2，求a的值 反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题 解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练 4 已知直线x2y40 与抛物线y2x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧AOB上求一点P，使ABP的面积最大 1自由落体的物体在t4 s 时的瞬时速度是指()A在第 4 秒末的速度 B在第 4 秒始的速度 C在第 3 秒至第 4 秒的平均速度 D在第 4 秒始到第 4 秒末之间的任何时刻的速度 2已知函数f(x)x22
5、x，则f(2)等于()A16ln 2 B168ln 2 C816ln 2 D1616ln 2 3若函数yf(x)x3，且f(a)3，则a等于()A1 B1 C1 D不存在 4若直线y12xb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_.5已知P，Q为抛物线x22y上两点，点P，Q的横坐标分别为 4，2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为_ 1利用定义求函数的导数是逼近思想的应用 2导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率 3对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量 答案精析 知识梳理 知识点一 1瞬时变化率 f(x0)limx0 fx0 xf
6、x0 x 2切线的斜率 yf(x0)f(x0)(xx0)知识点二 f(x)导数 知识点三 x1 cos x sin x axln a ex1xln a 1x 1cos2x 1sin2x 知识点四 f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)题型探究 例 1 解 ylimx0 yx limx0 fxxfxx limx0 xx21x21x limx0 2xxx2xxx21x21 limx0 2xxxx21x21 xx21.跟踪训练 1 解 limx0 s5ts5ts(5)，又s(t)12t2，limx0 s5ts5ts(5)12252325.例 2 B 过点(2，f(2)和点(
7、3，f(3)的割线的斜率kyxf3f232 f(3)f(2)，又由导数的几何意义并结合题干中的图像可知 0f(3)f(3)f(2)f(2)，故选 B.跟踪训练 2 1 f(0)a，yf(x)在点(0,2)处的切线方程为 y2ax，由题意知x2 时，y0，可得a1.例 3 解(1)y(x2ln xax)(x2)(ln x)(ax)2x1xaxln a.(2)y(33x44x3)(33x4)(4x3)(3x43)(4x32)4x136x12 43x6x.(3)因为y(x23x2)(x3)x36x211x6，所以y3x212x11.(4)ycos xx2 cos xx2cos xx2x4 sin x
8、x2cos x2xx4 xsin x2cos xx3.跟踪训练 3 解(1)y3x32x59x12，y3x32x59x12 92x12192x32 92x11x21.(2)ycos 2xsin xcos xcos2xsin2xcos xsin xcos xsin x，y(cos xsin x)(cos x)(sin x)sin xcos x.例 4 解 因为f(x)a2x2，所以f(x)2a2x，令f(x)2a2x1，得x12a2，此时y14a2，则点12a2，14a2到直线xy30 的距离为 2，即 2|12a214a23|2，解得a12或510.跟踪训练 4 解 设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图由于直线x2y40 与抛物线y2x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧AOB上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，yx，y12x，由题意知kAB12.kl12x012，即x01，y01.P(1,1)当堂训练 1A 2.D 3.C 4.ln 21 5.4