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1、1备战2020 年中考数学十大题型专练卷题型07 动态问题试题一、单选题1如图，矩形ABCD中，4AB，2AD，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A 2B 4C2D 2 2【答案】D【分析】根据中位线定理可得出点P 的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP P1P2时，PB取得最小值;由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1 P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可.【详解】解：点P 为 DF 的中点，当 F 运动过程中，点P 的运动轨迹是线段P1P2因此可得当C 点和F 点重合时，BP1 P1P2时使PB 最小为BP1.
2、当 C 和 F 重合时，P1点是CD 的中点12CP222211222 2BPBCCP故选D.【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使PB 最小，就必须使得DF 最长.2如图，在Rt ABC中，90C，5AB，4BC 点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQAB交BC 于点Q，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分ABC时，AP 的长度为（）2A 813B1513C2513D 3213【答案】B【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到QBDBDQ，得到=QBQD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可【详解】解：90C，5AB，4BC，22ACA
3、BBC3，PQAB，ABDBDQ，又ABDQBD，QBDBDQ，QBQD，2QPQB，PQAB，CPQCAB，CPCQPQCACBAB，即42345CPQBQB，解得，2413CP，1513APCACP，故选B【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键3如图是函数223(04)yxxx的图象，直线/lx轴且过点(0,)m，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1 下方的图象保持不变，得到一个新图象若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m 的取值范围是（）3A m1B0m C01mD m1或0m【答案】C【分析】找到最大值和
4、最小值差刚好等于5 的时刻，则M 的范围可知.【详解】解：如图1 所示，当t等于0 时，2(1)4yx，顶点坐标为(1,4)，当0 x时，3y，(0,3)A，当4x时，5y，(4,5)C，当0m 时，(4,5)D，此时最大值为0，最小值为5；如图2 所示，当1m 时，此时最小值为4，最大值为1综上所述：01m，故选：C【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5 的 m 的值为解题关键4矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知(2 3,2)B，点A 在 x轴上，点C 在 y轴上，P是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P 作PDPC，
5、交x轴于点D 下列结论：2 3OABC；当点D 运动到OA 的中点处时，227PCPD；在运动过程中，CDP是一个4定值；当 ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为2 3,03其中正确结论的个数是（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个【答案】D【分析】根据矩形的性质即可得到2 3OABC；故正确；由点D 为 OA 的中点，得到132ODOA，根据勾股定理即可得到2222272(3)PCPDCDOCOD，故正确；如图，过点P 作PFOA于 F，FP 的延长线交BC 于 E，PEa，则2PFEFPEa，根据三角函数的定义得到33BEPEa，求得2 333(2)CEBCBEaa，根据相似三角形
6、的性质得到a3FD，根据三角函数的定义得到60PDC，故正确；当ODP为等腰三角形时，、ODPD，解直角三角形得到32 333ODOC，、OP OD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP，故不合题意舍去；、OPPD，根据等腰三角形的性质和四边形的内角和得到10590OCP，故不合题意舍去；于是得到当ODP为等腰三角形时，点D 的坐标为2 3,03故正确【详解】解：四边形OABC是矩形，(2 3,2)B，2 3OABC；故正确；点D 为 OA 的中点，132ODOA，2222222237PCPDCDOCOD（），故正确；如图，过点P 作PFOAA 于 F，FP 的延长线交BC
7、 于 E，PEBC，四边形OFEC是矩形，2EFOC，5设PEa，则2PFEFPEa，在Rt BEP中，PEOC3BEBC3tan CBO，33BEPEa，2 333(2)CEBCBEaa，PDPC，90CPEFPD，90CPEPCE，,FPDECP，90CEPPFD，CEPPFD，PECPFDPD，3(2)2aaFDa，3aFD，tan33PCaPDCaPD，60PDC，故正确；(2 3,2)B，四边形OABC是矩形，2 3,2OAAB，3tan3ABAOBOA，30AOB，当ODP为等腰三角形时，、ODPD，30DOPDPO，60ODP，60ODC，32 333ODOC6、OPOD75OD
8、POPD，90CODCPD，10590OCP，故不合题意舍去；、OPPD，30PODPDO，15090OCP故不合题意舍去，当ODP为等腰三角形时，点D 的坐标为2 3,03故正确，故选：D【点睛】考查了矩形的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，构造出相似三角形表示出CP 和 PD 是解本题的关键5如图，在Rt ABO中，90OBA，4,4A，点C在边AB上，且13ACCB，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（）A 2,2B5 5,2 2C8 8,3 3D 3,3【答案】C【分析】根据已
9、知条件得到AB=OB=4，AOB=45，求得BC=3，OD=BD=2，得到D（0，2），C（4，3），作 D 关于直线OA 的对称点E，连接EC 交 OA 于 P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），求得直线 EC 的解析式为y=14x+2，解方程组即可得到结论【详解】在Rt ABO 中，OBA=90，A（4，4），7 AB=OB=4，AOB=45，13ACCB，点D 为 OB 的中点，BC=3，OD=BD=2，D（0，2），C（4，3），作 D 关于直线OA 的对称点E，连接EC 交 OA 于 P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA的解析式为y=x，设直线EC
10、的解析式为y=kx+b，243bkb，解得：142kb，直线EC 的解析式为y=14x+2，解124yxyx得，8383xy，P（83，83），故选C【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，正确的找到P 点的位置是解题的关键6如图，菱形的顶点、在轴上（在的左侧），顶点、在轴上方，对角线的长是，点为的中点，点在菱形的边上运动当点到所在直线的距离取得最大值时，点恰好落在的中点处，则菱形的边长等于（）A BCD【答案】A8【分析】如图1 中，当点P 是 AB 的中点时，作FG PE 于 G，连接EF 首先说明点G 与点F 重合时，FG的值最大，如图2 中，当点G 与点E 重合时
11、，连接AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J设BC=2a利用相似三角形的性质构建方程求解即可【详解】如图1 中，当点P 是 AB 的中点时，作FG PE 于 G，连接EF E（-2，0），F（0，6），OE=2，OF=6，EF=，FGE=90，FG EF，当点G 与 E 重合时，FG 的值最大如图2 中，当点G 与点E 重合时，连接AC 交 BD 于 H，PE 交 BD 于 J设BC=2a PA=PB，BE=EC=a，PE AC，BJ=JH，四边形ABCD是菱形，AC BD，BH=DH=，BJ=，PE BD，9BJE=EOF=PEF=90，EBJ=FEO，BJEEOF，a=，BC=2a
12、=，故选A【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题7如图，抛物线2144yx与x轴交于A、B两点，P是以点C（0,3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ.则线段OQ的最大值是（）A 3B412C72D 4【答案】C【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O 点为AB 的中点，又Q 是 AP 上的中点可知OQ=12BP，故OQ 最大即为BP 最大，即连接BC 并延长BC 交圆于点P 时 BP 最大，进而即可求得
13、OQ 的最大值.【详解】抛物线2144yx与x轴交于A、B两点 A（-4,0），B（4,0），即OA=4.在直角三角形COB 中BC=2222345OCOB Q 是 AP 上的中点，O 是 AB 的中点 OQ 为 ABP 中位线，即OQ=12BP又P 在圆C 上，且半径为2，10当B、C、P 共线时BP 最大，即OQ 最大此时BP=BC+CP=7OQ=12BP=72.【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，与圆相离的点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ 最大转化为求BP 最长时的情况.8 如图，ABC 中，ABAC 10，tanA 2，BE AC 于
14、点E，D 是线段BE 上的一个动点，则55CDBD的最小值是()A 2 5B4 5C5 3D 10【答案】B【分析】如图，作DH AB 于 H，CM AB 于 M 由tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=55BD，推出CD+55BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题【详解】如图，作DH AB 于 H，CM AB 于 M BE AC，AEB=90，tanA=BEAE=2，设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，a2=20，a=25或-25（舍弃），BE=2a=45，AB=AC，BE AC，CM AB，11 CM=BE=45（等腰三
15、角形两腰上的高相等）DBH=ABE，BHD=BEA，5sin5DHAEDBHBDAB，DH=55BD，CD+55BD=CD+DH，CD+DH CM，CD+55BD 45，CD+55BD 的最小值为45故选B【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型9如图，已知A B、两点的坐标分别为 8,00,8，点CF、分别是直线5x 和 x轴上的动点，CF10,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E；当ABE面积取得最小值时，tan BAD的值是（）A 817B717C49D 59【答案】B【分析】如图，设直
16、线x=-5交 x轴于K由题意KD=12CF=5，推出点D 的运动轨迹是以K 为圆心，5 为半径的圆，推出当直线AD 与K 相切时，ABE 的面积最小，作EH AB 于 H 求出EH，AH 即可解决问题【详解】如图，设直线x=-5交 x轴于K由题意KD=12CF=5，12点D 的运动轨迹是以K 为圆心，5 为半径的圆，当直线AD 与K 相切时，ABE 的面积最小，AD 是切线，点D 是切点，AD KD，AK=13，DK=5，AD=12，tan EAO=OEDKOAAD，5812OE，OE=103，AE=22263OEOA，作 EH AB 于 H S ABE=12AB EH=SAOB-S AOE，
17、EH=7 23，2217 23AHAEEH，7 273tan1717 23EHBADAH，故选B.【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.10如图，AB是O的直径，M、N是弧AB（异于A、B）上两点，C是弧MN上一动点，ACB13的角平分线交O于点D，BAC的平分线交CD于点E当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（）A 2B2C32D 52【答案】A【分析】连接BE，由题意可得点E 是 ABC 的内心，由此可得AEB 135，为定值，确定出点E 的运动轨迹是是弓形AB 上的圆弧，此圆弧所在
18、圆的圆心在AB 的中垂线上，根据题意过圆心O 作直径CD，则 CD AB，在CD 的延长线上，作DF DA，则可判定A、E、B、F 四点共圆，继而得出DE DA DF，点D为弓形AB 所在圆的圆心，设O 的半径为R，求出点C 的运动路径长为R，DA 2R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为22R，即可求得答案.【详解】连结BE，点E 是ACB 与CAB 的交点，点E 是 ABC 的内心，BE 平分ABC，AB 为直径，ACB 90，AEB 18012(CAB+CBA)135，为定值，ADBD，点E 的轨迹是弓形AB 上的圆弧，此圆弧的圆心一定在弦AB 的中垂线上，ADBD，AD=BD，如
19、下图，过圆心O 作直径CD，则CD AB，14 BDO ADO 45，在 CD 的延长线上，作DF DA，则AFB 45，即AFB+AEB 180，A、E、B、F 四点共圆，DAE DEA 67.5，DE DA DF，点D 为弓形AB 所在圆的圆心，设O 的半径为R，则点C 的运动路径长为：R，DA 2R，点 E 的运动路径为弧AEB，弧长为：90221802RR，C、E 两点的运动路径长比为：222RR，故选A.【点睛】本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E 运动的路径是解题的关键.二、填空题11如图，矩形硬纸片ABCD的顶点
20、A 在y轴的正半轴及原点上滑动，顶点B 在x轴的正半轴及原点上滑动，点E 为 AB 的中点，AB=24,BC=5,给出下列结论：点A 从点O 出发，到点B 运动至点O 为止，点E经过的路径长为12；OAB 的面积的最大值为144；当OD 最大时，点 D 的坐标为25 26 125 26(,)2626，其中正确的结论是_（填写序号）.15【答案】【分析】由条件可知AB=24，则AB 的中点E 的运动轨迹是圆弧，最后根据弧长公式即可计算出点E 所经过的路径长；当 OAB 的面积最大时，因为AB=24，所以 OAB 为等腰直角三角形，即OA=OB，可求出最大面积为144；当O、E、D 三点共线时，O
21、D 最大，过点D 作 DF y轴于点F，可求出OD=25，证明 DFA AOB 和 DFO BOA，可求出DF 长，则D 点坐标可求出【详解】解：点E 为 AB 的中点，AB=24，1122OEAB AB 的中点E 的运动轨迹是以点O 为圆心，12 为半径的一段圆弧，AOB=90，点E 经过的路径长为90 126180，故错误；当 OAB 的面积最大时，因为AB=24，所以 OAB 为等腰直角三角形，即OA=OB，E 为 AB 的中点，1,122OEAB OEAB124 121442AOBS，故正确；如图，当O、E、D 三点共线时，OD 最大，过点D 作 DF y轴于点F，15,122ADBC
22、AEAB222251213DEADAE OD=DE+OE=13+12=25，16设 DF=x，222225OFODDFx四边形ABCD是矩形，DAB=90，DFA=AOB，DAF=ABO，DFA AOBDFDAOAAB524xOA245xOA E 为 AB 的中点，AOB=90，AE=OE，AOE=OAE，DFO BOA，ODOFABOA22252524245xx解得25 2625 26,2626xx 舍去，125 2626OF25 26 125 26,2626D，故正确故答案为【点睛】本题考查四边形综合题、直角形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，
23、构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题12如图，在边长为1的菱形ABCD中，60ABC，将ABD沿射线BD的方向平移得到A B D ，分别连接A C，A D，B C 则A CB C的最小值为_.17【答案】3【分析】过 C 点作BD 的平行线l，以l为对称轴作B 点的对称点1B，连接1AB交直线l于点1C，当11,A B C三点共线时11ACBC取最小值，再根据勾股定理即可求解.【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l，以l为对称轴作B 点的对称点1B，连接1AB交直线l于点1C根据平移和对称可知11A CB CACBC，当11,A B C三点共线时11ACBC取最小值，即1AB，又1AB1B
24、B，根据勾股定理得，13AB，故答案为3【点睛】此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知平移的性质及勾股定理的应用.13如图，在矩形ABCD中，AB 4，DCA 30，点F 是对角线AC 上的一个动点，连接DF，以DF 为斜边作DFE 30的直角三角形DEF，使点E 和点A 位于DF 两侧，点F 从点A 到点C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是_【答案】4 33【分析】当F 与 A 点重合时和F 与 C 重合时，根据E 的位置，可知E 的运动路径是EE 的长；由已知条件可以推导出 DEE 是直角三角形，且DEE=30，在Rt ADE 中，求出DE 2 33即可求解【详解】解：如图18E 的
25、运动路径是EE 的长；AB 4，DCA 30，BC 4 33，当 F 与 A 点重合时，在 Rt ADE 中，AD 4 33，DAE 30，ADE 60，DE 2 33，CDE 30，当 F 与 C 重合时，EDC 60，EDE 90，DEE 30，在 Rt DEE 中，EE 4 33；故答案为4 33【点睛】本题考查点的轨迹；能够根据E 点的运动情况，分析出E 点的运动轨迹是线段，在30 度角的直角三角形中求解是关键14如图，点P是双曲线C：4yx（0 x）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：122yx于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时，POQ面积的最大值是
26、_.【答案】3【分析】令PQ 与 x轴的交点为E，根据双曲线的解析式可求得点A、B 的坐标，由于点P 在双曲线上，由19双曲线解析式中k的几何意义可知 OPE 的面积恒为2，故当 OEQ 面积最大时POQ的面积最大.设 Q（a，122a）则SOEQ=12a（122a）=214aa=21(1)12a，可知当a=2 时 S OEQ最大为1，即当Q为 AB 中点时 OEQ 为 1，则求得POQ面积的最大值是是3.【详解】122yx交 x轴为B 点，交y轴于点A,A（0，-2），B（4，0）即 OB=4，OA=2令 PQ 与 x轴的交点为E P 在曲线C 上OPE 的面积恒为2当 OEQ面积最大时PO
27、Q的面积最大设 Q（a,122a）则 SOEQ=12a（122a）=214aa=21(1)12a当 a=2 时 S OEQ最大为1即当Q 为 AB 中点时 OEQ 为 1故 POQ面积的最大值是是3.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数几何图形面积问题，二次函数求最大值，解本题的关键是掌握反比例函数中k的几何意义，并且建立二次函数模型求最大值.15如图，正方形ABCD 中，1124ABAEAB，点 P 在 BC 上运动（不与B、C 重合），过点P 作PQEP，交 CD 于点Q，则CQ 的最大值为_20【答案】4【分析】先证明BPECQP，得到与CQ 有关的比例式，设CQyBPx，则12CPx
28、，代入解析式，得到y与 x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值【详解】解：9090BEPBPEQPCBPE，BEPCPQ又90BC，BPECQPBEBPPCCQ设CQyBPx，则12CPx912xxy，化简得21129yxx，整理得21(6)49yx，所以当6x时，y有最大值为4故答案为4【点睛】考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，以及二次函数最值问题，几何最值用二次函数最值求解考查了树形结合思想16如图，在平面直角坐标中，一次函数y4x+4 的图象与x轴、y轴分别交于A、B 两点.正方形ABCD的顶点C、D 在第一象限，顶点D 在反比例函数kyx（k0）的图象上.若正方形ABCD
29、向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图象上，则n 的值是_.【答案】3.【分析】过点D 作 DE x轴过点C 作 CF y轴，可证 ABO DAE(AAS)，CBF BAO(AAS)，则可求D(5，1)，C(4，5)，确定函数解析式5yx，C 向左移动n 个单位后为(4 n，5)，进而求n 的值.【详解】过点D 作 DE x轴，过点C 作 CF y轴，21 AB AD，BAO DAE，AB AD，BOA DEA，ABO DAE(AAS)，AE BO，DE OA，y4x+4，当x=0 时，y=4，当 y=0 时，0=-4x+4，x=1，A(1，0)，B(0，4)，OA=1，OB=4
30、，OE=OA+AE=5，D(5，1)，顶点D 在反比例函数kyx上，k 5，5yx，易证 CBF BAO(AAS)，CF 4，BF 1，C(4，5)，C 向左移动n 个单位后为(4 n，5)，5(4 n)5，n 3，故答案为：3.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的平移等，综合性较强，正确添加常用辅助线是解题的关键.17 如图1，在四边形ABCD中，ADBC，30B,直线lAB.当直线l沿射线BC方向，从点B开始向右平移时，直线l与四边形ABCD的边分别相交于点E、F.设直线l向右平移的距离为x，线段EF的22长为y，且y与x的函数关系如
31、图2 所示，则四边形ABCD的周长是_.【答案】102 3【分析】根据图1 直线l的平移过程分为三段，当F 与 A 重合之前，x与 y都不断增大，当当F 与 A 重合之后到点E 与点C 重合之前，x增加y不变，E 与点C 重合后继续运动至F 与 D 重合x增加y减小.结合图2可知BC=5，AD=7-4=3，由lAB且B=30可知AB=2 3，当F 与 A 重合时，把CD 平移到E 点位置可得三角形AED 为正三角形，可得CD=2，进而可求得周长.【详解】由题意和图像易知BC=5，AD=7-4=3当 BE=4 时（即F 与 A 重合），EF=2又lAB且B=30 AB=2 3，当F 与 A 重合
32、时，把CD 平移到E 点位置可得三角形AED 为正三角形 CD=2 AB+BC+CD+AD=2 3+5+2+3=10+2 3故答案时102 3.【点睛】本题考查了30所对的直角边是斜边的一半，对四边形中动点问题几何图像的理解，解本题的关键是清楚掌握直线l平移的距离为x，线段EF的长为的图像和直线运动的过程的联系，找到对应线段长度.18如图，在矩形ABCD中，3,3ABAD，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点1A，连接1AC，设1AC的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为_【答案】3323【分析】如图，连接BA1，取BC 使得中
33、点O，连接OQ，BD 利用三角形的中位线定理证明32OQ=定值，推出点Q 的运动轨迹是以O 为圆心，OQ 为半径的圆弧，圆心角为120，已解决可解决问题【详解】解：如图，连接1BA，取BC使得中点O，连接,OQBD四边形ABCD是矩形，90BAD，tan3ADABDAB，60ABD，1,A QQCBOOC，1113222OQBAAB，点Q的运动轨迹是以O为圆心，OQ为半径的圆弧，圆心角为120，点Q的运动路径长3120321803 故答案为33【点睛】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型19如图，ABC是O 的内接三角形，且AB
34、是O 的直径，点P 为O 上的动点，且60BPC，O 的半径为6，则点P 到 AC 距离的最大值是_【答案】63 3【分析】过O 作 OM AC 于 M，延长MO交O 于 P，则此时，点P 到 AC 距离的最大，且点P 到 AC 距24离的最大值=PM，解直角三角形即可得到结论【详解】过O 作OMAC于 M，延长MO交O 于 P，则此时，点P 到 AC 距离的最大，且点P 到 AC距离的最大值PM，OMAC，60ABPC，O 的半径为6，6OPOA，3363 322OMOA，63 3PMOPOM，则点P 到 AC 距离的最大值是63 3，故答案为：63 3【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心
35、，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键20如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC 与 BD 交于点O，N 是 AO 的中点，点M 在 BC 边上，且BM=6.P 为对角线BD 上一点，则PM PN 的最大值为_.【答案】2.【分析】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N，连接PN，根据对称性质可知，PNPN，由此可得PMPNMN，当,P MN 三点共线时，取“=”，此时即PM PN 的值最大，由正方形的性质求出 AC 的长，继而可得2 2ONON，6 2AN，再证明13CMCNBMAN，可得PM AB CD，CMN 90，判断出N CM为等腰直角三角形，求得N M 长即
36、可得答案.【详解】如图所示，以BD 为对称轴作N 的对称点N，连接PN，根据对称性质可知，PNPN，PMPNMN，当,P MN 三点共线时，取“=”，25正方形边长为8，AC=2AB=8 2，O 为 AC 中点，AO=OC=4 2，N 为 OA 中点，ON=2 2，2 2ONON，6 2AN，BM=6，CM=AB-BM=8-6=2，13CMCNBMAN，PM AB CD，CMN 90，N CM=45，N CM为等腰直角三角形，CM=N M=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.三
37、、解答题21如图，抛物线C1：y x2 2x与抛物线C2：y ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C 两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA 2OB（1）求抛物线C2的解析式；（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC 的值最小？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）M 是直线OC 上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M 运动到什么位置时，MOC面积最大？并求出最大面积26【答案】（1）yx2+4x；（2）线段AC 的长度34；（3）S MOC最大值为458【分析】（1）C1、C2：y=ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a=-1，将点
38、A 的坐标代入C2的表达式，即可求解；（2）作点C 关于C1对称轴的对称点C（-1，3），连接AC 交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC 的值最小，即可求解；（3）S MOC=12MH xC=32（-x2+4x-x）=-32x2+92，即可求解【详解】（1）令：y x2 2x 0，则x 0 或 2，即点B（2，0），C1、C2：y ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a1，则点A（4，0），将点A 的坐标代入C2的表达式得：016+4b，解得：b 4，故抛物线C2的解析式为：yx2+4x；（2）联立C1、C2表达式并解得：x 0 或 3，故点C（3，3），作点C 关于C1对称轴的对称点C
39、（1，3），连接AC 交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC 的值最小为：线段AC 的长度22(4 1)334；（3）直线OC 的表达式为：y x，27过点M 作 y轴的平行线交OC 于点H，设点M（x，x2+4x），则点H（x，x），则 SMOC12MH xC32（x2+4x x）32 x292，320，故x32，S MOC最大值为458【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数22 如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，5 3AD，5CD，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结B
40、M，过点M作BM的垂线交射线DE于点N，连接BN（1）求CAD的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，是否能使AMN为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由MBN的大小是否改变？若不改变，请求出MBN的大小；若改变，请说明理由（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度28【答案】（1）30CAD；（2）能，CM的值为5 或5 3；大小不变，30MBN；（3）5 36FH.【分析】（1）在Rt ADC中，求出DAC的正切值即可解决问题（2）分两种情形：当NANM时，当ANAM时，分别求解即可30MBN利用
41、四点共圆解决问题即可（3）首先证明ABM是等边三角形，再证明BN垂直平分线段AM，解直角三角形即可解决问题【详解】解：（1）如图一（1）中，四边形ABCD是矩形，90ADC，DC53tanAD35 3CAD，30CAD（2）如图一（1）中，当ANNM时，90BANBMN，BNBN，ANNM，RtRt()BNABNMHL，BABM，在Rt ABC中，30ACBDAC，5ABCD，210ACAB，60BAM，BABM，ABM是等边三角形，5AMAB，5CMACAM如图一（2）中，当ANAM时，易证15AMNANM，2990BMN，75CMB，30MCB，180753075CBM，CMBCBM，5
42、5CMCB，综上所述，满足条件的CM的值为5 或5 3结论：30MBN大小不变理由：如图一（1）中，180BANBMN，,A B MN四点共圆，30MBNMAN 如图一（2）中，90BMNBAN，,A N B M四点共圆，180MBNMAN，180DACMAN，30MBNDAC，综上所述，30MBN（3）如图二中，AMMC，BMAMCM，2ACAB，30ABBMAM，ABM是等边三角形，60BAMBMA，90BANBMN，30NAMNMA，NANM，BABM，BN垂直平分线段AM，52FM，5 3cos303FMNM，90NFM，NHHM，15 326FHMN【点睛】本题属于四边形综合题，考查
43、了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题23如图，在ABC中，90A，3AB，4AC，点,M Q分别是边,AB BC上的动点（点M不与,A B重合），且MQBC，过点M作BC的平行线MN，交AC于点N，连接NQ，设BQ为x（1）试说明不论x为何值时，总有QBMABC；（2）是否存在一点Q，使得四边形BMNQ为平行四边形，试说明理由；（3）当x为何值时，四边形BMNQ的面积最大，并求出最大值【答案】（1）见解析；（2）当BQMN时，四边
44、形BMNQ为平行四边形；（3）当458x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为75231【分析】（1）根据题意得到MQB=CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形解答；（3）根据勾股定理求出BC，根据相似三角形的性质用x表示出QM、BM，根据梯形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数性质计算即可【详解】解：（1）MQBC，90MQB，MQBCAB，又QBMABC，QBMABC；（2）当BQMN时，四边形BMNQ为平行四边形，/MNBQ，BQMN，四边形BMNQ为平行四边形；（3）90,3,4AABAC，225BCABAC，QBMABC，QBQMBMA
45、BACBC，即345xQMBM，解得，45,33QMxBMx，/BCMN，MNAMBCAB，即53353xMN，解得，2559MNx，则四边形BMNQ的面积2125432457552932782xxxx，当458x时，四边形BMNQ的面积最大，最大值为752【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理、二次函数的性质是解题的关键24如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC 交于点O，过点O 作OHBC于点H，以点O 为圆心，OH为半径的半圆交AC 于点M 求证：DC 是O 的切线32若4ACMC且8AC，求图中阴影部分的面积在的条件下，P
46、 是线段BD 上的一动点，当PD 为何值时，PHPM的值最小，并求出最小值【答案】证明见解析；2 32 3【分析】作OHBC，证明OH 为圆的半径，即可求解；利用21190=42360OCHSSSCHOHOH阴影圆，即可求解；作M 关于BD 的对称点N，连接HN 交 BD 于点P，OHPMPHPNHN，此时PHPM最小，即可求解【详解】解：过点O 作OGCD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC 是对角线，则AC 平分BCD，OHBC，OGCD，OHOG，OH、OG 都为圆的半径，即DC 是O 的切线；4ACMC且8AC，24OCMC，2MCOM，2OH，33在直角三角形OHC中，1CO2HO，3
47、0OCH，60COH，222 3HCCOOH，21190=2 342360OCHSSSCHOHOH阴影圆；作M 关于BD 的对称点N，连接HN 交 BD 于点P，PMNP，PHPMPHPNHN，此时PHPM最小，ONOMOH，60MOH，30MNH，MNHHCM，2 3HNHC，即：PH+PM 的最小值为2 3，在 Rt NPO 中，2 3tan303OPON，在 Rt COD中，4 3tan303ODOC，则2 3PDOPOD【点睛】本题为圆的综合运用题，涉及到圆切线的性质及应用、点的对称性、解直角三角形等知识，其中，通过点的对称性确定PH+PM 最小，是本题的难点和关键25如图，在正方形A
48、BCD中，点E 是 AB 边上的一点，以DE 为边作正方形DEFG，DF 与 BC 交于点M，延长EM 交 GF 于点H，EF 与 GB 交于点N，连接CG.（1）求证：CD CG；（2）若tan MEN=13，求MNEM的值；（3）已知正方形ABCD的边长为1，点E 在运动过程中，EM 的长能否为12？请说明理由.34【答案】（1）见解析；（2）13MNME；（3）EM 长不可能为12.理由见解析.【分析】（1）由正方形的性质得出A=ADC=EDG=90，AD=CD，DE=DG，即ADE=CDG，由SAS证明 ADE CDG得出A=DCG=90，即可得出结论；（2）先证明 EDM GDM，得
49、出DME=NMF，再证明 DME FMN，得出MNFMMEDM，MNHFMEEF，在Rt EFH 中，tan HEF=13HFEF，所以13MNME；（3）假设EM=12，先判断出点G 在 BC 的延长线上，同（2）的方法得，EM=GM=12，得出GM=12,再判断出BM 12，得出CM 12，进而得出CM GM，即可得出结论【详解】（1）证明：四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，A=ADC=EDG=90，AD=CD，DE=DG，ADE=CDG，在 ADE 和 CDG中，ADCDADECDGDEDG ADE CDG（SAS），A=DCG=90，CD CG；（2）解：35 CD CG，DC
50、BC，G、C、M 三点共线四边形DEFG是正方形，DG=DE，EDM=GDM=45，又DM=DMEDM GDM，DME=DMG又DMG=NMF，DME=NMF，又EDM=NFM=45DME FMN，MNFMMEDM又DE HF，HFFMEDDM，又ED=EF，MNHFMEEF在 Rt EFH 中，tan HEF=13HFEF，13MNME（3）EM 的长不可能为12。理由：假设EM 的长为12，点E 是 AB 边上一点，且EDG=ADC=90，36点G 在 BC 的延长线上，同（2）的方法得，EM=GM=12，GM=12，在 Rt BEM中，EM 是斜边，BM 12正方形ABCD的边长为1，B