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1、解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略专题讲座 与涂色问题有关的试题新颖有趣,其中包含着丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思维能力、分析问题与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求解方法。一、区域涂色问题 1、根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。例1、用 5 种不同的颜色给图中标、的各部分涂色,每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？分析：先给号区域涂色有种方法，再给号涂色有 4 种方法，接着给号涂色方法有种，由于号与、不相邻，因此号有 4 种涂法,根据分步计
2、数原理,不同的涂色方法有5 4 3 4240 2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不同的涂色方法种数。例 2、(03 江苏卷)四种不同的颜色涂在如图所示的 6 个区域，且相邻两个区域不能同色。分析:依题意只能选用 4 种颜色，要分四类:（)与同色、与同色,则有44A;（2)与同色、与同色,则有44A；（3）与同色、与同色,则有44A;(4)与同色、与同色,则有44A；(5)与同色、与同色，则有44A;所以根据加法原理得涂色方法总数为44A=120 例 3、（203 年全国高考题)如图所示，一个地区分为 5 个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用
3、同一颜色，现有 4 种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用种颜色 1)当先用三种颜色时,区域 2 与 4 必须同色,2)区域 3 与 5 必须同色,故有34A种；3)当用四种颜色时，若区域 2 与同色，2 4 3 1 5 4)则区域与不同色,有44A种；若区域与同色，则区域 2 与 4 不同色，有44A种，故用四种颜色时共有 244A种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有34A+244A=24+224=3、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。例 4 用红、黄、蓝、白、黑五
4、种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?分析:可把问题分为三类:（1）四格涂不同的颜色,方法种数为45A;（2）有且仅两个区域相同的颜色,即只 有一组对角小方格涂相同的颜色,涂法种数为 12542C A;5)两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为25A，因此，所求的涂法种数为212255452260AC AA 4、根据相间区使用颜色的种类分类 例 5 如图，6 个扇形区域 A、B、C、E、F,现给这 6 个区域着色，要求同一区域涂同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有 4 种不同的颜色可1A解
5、（1)当相间区域 A、C、E 着同一种颜色时，有 4 种着色方法,此时,、D、F 各有种着色方法，此时,B、F 各有 3 种着色方法故有4 3 3 3108 种方法。（2)当相间区域 A、E 着色两不同的颜色时,有2234C A种着色方法，此时、D、有3 2 2 种着色方法,故共有22343 22432C A 种着色方法。（3）当相间区域 A、着三种不同的颜色时有34A种着色方法,此时 B、各有种着色方法。此时共有34222192A 种方法。故总计有 1+43+192=73种方法。A B C D E F 1 2 3 4 说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。如:如图，把一
6、个圆分成(2)n n 个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色,要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法？解：设分成 n 个扇形时染色方法为na种（1）当 n=时1A、2A有24A=1种，即2a=2（2）当分成 n 个扇形，如图，1A与2A不同色,2A与3A 不同色,1nA 与nA不同色，共有14 3n种染色方法,但由于nA与1A邻,所以应排除nA与1A同色的情形；nA与1A同色时，可把nA、1A看成一个扇形,与前2n个扇形加在一起为1n个扇形，此时有1na种染色法,故有如下递推关系：114 3nnnaa 121124 3(4 3)4 3nnnnnnaaa 21321234 34 34 34
7、34 3nnnnnnnaa 124 33(1)3(1)33nnnnn 二、点的涂色问题 方法有：(）可根据共用了多少种颜色分类讨论，(2）根据相对顶点是否同色分类讨论，(3)将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例、将一个四棱锥SABCD的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色,如果只有 5 种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。（1）若恰用三种颜色,可先从五种颜色中任选一种染顶点，再从余下的四种颜色中任选两种涂 A、B、四点,此时只能 A 与 C、B 与 D 分别同色,故有125460C A 种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点 S,再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与 B,由于 A、B 颜色可以交换，3A1A2A4AnA 3A