《专题6.5数列的综合应用(练)(解析版)43985.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题6.5数列的综合应用(练)(解析版)43985.pdf（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 6.5 数列的综合应用 1（贵州省遵义航天高级中学 2019 届高三模拟）已知等比数列中，若，且成等差数列，则（）A2 B2 或 32 C2 或-32 D-1【答案】B【解析】设等比数列的公比为 q（），成等差数列，解得：，故选 B。2（浙江省金华十校 2019 届期末）数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，且，则（）A B C D【答案】B【解析】an=a1qn1，bn=b1+（n1）d，a1q4=b1+5d，=a1q2+a1q6=2（b1+5d）=2b6=2a5 2a5=a1q2+a1q62a1q4=a1q2（q21）20 所以 故选 B。3（四川绵阳中学 2019 届期中
2、）等比数列的前 n 项和，前 2n 项和，前 3n 项的和分别为 A，B，C，则（）A B C D【答案】D【解析】由等比数列的性质可知，等比数列的第一个 n 项和，第二个 n 项和，第三个 n 项和仍然构成等比数列，则有构成等比数列，即，故选 D。4（湖南省湘潭市 2019 届高三第二次模拟）已知数列为等比数列，首项，数列满足，且，则（）A8 B16 C32 D64【答案】C【解析】由题意知为等差数列，因为，所以，因为，所以公差，则，即，故，于是，故选 C。5（山东省日照市 2019 届高三联考）已知等差数列的公差为 2，若成等比数列，是的前项和，则等于（）A-8 B-6 C10 D0【答案
3、】D【解析】a1，a3，a4成等比数列，=a1a4，=a1（a1+32），化为 2a1=-16，解得 a1=-8 则 S9=-89+2=0，故选 D。6（宁夏银川九中 2019 届期中）已知数列an的通项公式 an262n，要使此数列的前 n 项和 Sn最大，则 n 的值为（）A12 B13 C12 或 13 D14【答案】C【解析】令，所以前 n 项和 Sn最大时 n 的值为 12 或 13。7（广东省天河区普通高中 2019 届综合测试）已知数列是为首项，为公差的等差数列，是 1 为首项，2 为公比的等比数列，设，则当时，n 的最大值是()A9 B10 C11 D12【答案】B【解析】是以
4、 1 为首项，2 为公差的等差数列，是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，解得：则当时，n 的最大值是 10 故选 B。8（陕西省 2019 年高三第三次教学质量检测）我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第行的所有数字之和为，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前 15项和为（）A.110 B.114 C.124 D.125【答案】B【解析】由题意，次二项式系数对应的杨辉三角形的第行，令，可得二项展开式的二项式系数的和，其中第 1 行为，第
5、 2 行为，第 3 行为，以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前行的数字之和为，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为 可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则，令，解得，所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B。9（四川省高 2019 届高三第一次诊断性测试）若等差数列的公差且成等比数列，则（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则 a3=a1+2d，a7=a1+6d 因为 a1、a3、a7成等比数列，所以（a1
6、+2d）2=a1（a1+6d），解得：a1=2d所以.故选 A。10（江西省南昌市 2019 届高三第一次模拟）我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第 n 行的所有数 字之和为，若去除所有为 1 的项，依次构成数列，则此数列的前 55 项和为()A4072 B2026 C4096 D2048【答案】A【解析】由题意可知：每一行数字和为首项为 1，公比为 2 的等比数列，则杨辉三角形的前 n 项和为 Sn2n1，若去除所有的为 1 的项，则剩下的每一行的个数为 1，2，3，4，可以看成构成一个首项为
7、 1，公差为 1 的等差数列，则 Tn，可得当 n10，所有项的个数和为 55，则杨辉三角形的前 12 项的和为 S122121，则此数列前 55 项的和为 S12234072，故选 A。11（北京市朝阳区 2019 届高三模拟）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所天坛公园中的圜丘台共有三层（如图 1 所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2 所示）上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则第二十七环的扇面形石
8、块数是_；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_ 【答案】243 3402【解析】第一环的扇面形石有 9 块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多 9 块，则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以 9 为首项，9 为公差的等差数列，所以，an9（n1）99n，所以，a27927243，前 27 项和为：3402.12（江西省新余四中 2019 届高三模拟）已知数列满足，数列是公比为 2 的等比数列，则=_。【答案】【解析】由题可知,则所以 故所以 原式 13（湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三模拟）在各项均为正数的等比数列中，当取最小值时，则数列的前项和为_【答案】【解析】等比数列中，所
9、以 ，令 则，令 解得，因为各项均为正数的等比数列 所以 当时，当时，所以在时取得最小值 设，代入化简可得 所以 两式相减得 14（江苏省 2019 届高三联合调研）若无穷数列满足：，当，时（其中表示，中的最大项），有以下结论：若数列是常数列，则；若数列是公差的等差数列，则；若数列是公比为的等比数列，则；若存在正整数，对任意，都有，则是数列的最大项 则其中正确的结论是_（写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】若数列是常数列，则max，=0，所以（），正确；若数列是公差 d0 的等差数列，则max，=|d|，所以有最大值，因此不可能递增且 d0，所以 d0，正确；若数列是公比为 q 的等比数列
10、，则，且，所以，所以或，又因为，所以,所以 q1，正确；若存在正整数 T，对任意，都有，假设在中最大，则中都是最大，则，且，即，所以，所以是数列的最大项，正确.。故答案为：.15（江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考）已知数列为正项等比数列，满足，且，构成等差数列，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和.【答案】（），；（）【解析】()设等比数列的公比为 q(q)，由题意，得 解得或（舍）又所以 ()，16（江西省新八校 2019 届高三第二次联考）已知数列为正项等比数列，满足，且构成等差数列，数列满足.（1）求数列，的通项公式；（2）若
11、数列的前项和为，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意，得 解得或（舍）又所以 （2）.17（北京市平谷区 2019 届高三质量监控）给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.（1）设数列为 3，4，7，5，2，写出，的值；（2）设是，公比的等比数列，证明：成等比数列；（3）设，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）由题意，可知：当 i1 时，A13，B12，d1A1B1321；当 i2 时，A24，B22，d2A2B2422；当 i3 时，A37，B32，d3A
12、3B3725；当 i4 时，A47，B42，d4A4B4725（2）由题意，可知：a10，公比 q1，数列an是一个单调递增的等比数列 当 i1 时，A1a1，B1a2，d1A1B1a1a2a1（1q）；当 i2 时，A2a2，B2a3，d2A2B2a2a3a1（1q）q；当 i3 时，A3a3，B3a4，d3A3B3a3a4a1（1q）q2；对，.因此且，为首项为 a1（1q），公比为 q 的等比数列 （3）充分性：若是公差为的等差数列，则，因为，.必要性：若，假设是第一个使的项，则，这与相矛盾，故，即，故是公差为的等差数列。18（浙江省三校 2019 年 5 月份第二次联考）已知数列，的各
13、项均不为零，若是单调递增数列，且，.（）求及数列的通项公式；（）若数列满足，求数列的前项的和【答案】（）（）【解析】（）因为，所以.因为，则，所以是等差数列.因为，则，所以.所以（）因为，所以.当时，所以.所以，累加得当时，即.也适合上式，故,所以 19（山东省威海市 2019 届高三二模）已知是递增的等比数列，成等差数列。()求数列的通项公式；()设数列满足，求数列的前项和.【答案】().().【解析】()设等比数列的公比为，成等差数列，即，解得或（舍去）又，.()由条件及（）可得，又满足上式，20（山东省淄博市 2019 届高三模拟）已知等比数列的前项和为成等差数列，且.（1）求数列的通项
14、公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【解析】（1）设等比数列的公比为，由成等差数列知，所以，即.又，所以，所以，所以等差数列的通项公式.（2）由（1）知，所以 所以数列的前项和：所以数列的前项和 1.（2019 年浙江卷）设，数列中，,则（）A.当 B.当 C.当 D.当【答案】A【解析】当 b=0 时，取 a=0，则.当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故 C、D 两项均不正确.当时，则，.（）当时，则，则，故 A 项正确.（）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故 B 项不正确.故本题正确答案为 A.2.
15、（2019全国高考）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，.（1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【答案】（I）见解析；（2），.【解析】（1）由题设得，即 又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列 由题设得，即 又因为a1b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，所以，所以，.3.（2019 年浙江卷）设等差数列的前项和为，数列满足：对每成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记证明：【答案】（1），；（2）证明见解析.【解析】(1)由题意可得：，解得：，则数列的通项公式为.其前 n 项和.则成等比数列，
16、即：，据此有：，故.(2)结合(1)中的通项公式可得：，则.4.（2018 年浙江卷）已知等比数列an的公比 q1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是 a3，a5的等差中项数列 bn满足 b1=1，数列（bn+1bn）an的前 n 项和为 2n2+n（）求 q 的值；（）求数列bn的通项公式 【答案】（）（）【解析】（）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（）设，数列前 n 项和为.由解得.由（）可知，所以，故，.设，所以，因此，又，所以.5.(2018天津高考)设an是等差数列,其前 n 项和为 Sn(nN*);bn是等比数列,公比大于 0,其前 n项和为 Tn(nN*).
17、已知 b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.()求 Sn和 Tn;()若 Sn+(T1+T2+Tn)=an+4bn,求正整数 n 的值.【解析】(I)设等比数列bn的公比为 q,由 b1=1,b3=b2+2,可得 q2-q-2=0.因为 q0,可得 q=2,故bn=2n-1.所以 Tn=2n-1.设等差数列an的公差为 d.由 b4=a3+a5,可得 a1+3d=4.由 b5=a4+2a6,可得 3a1+13d=16,从而 a1=1,d=1,故 an=n,所以 Sn=.(II)由(I),知 T1+T2+Tn=(21+22+2n)-n=2n+1-n-2.由 Sn+(T1
18、+T2+Tn)=an+4bn可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得 n2-3n-4=0,解得 n=-1(舍),或 n=4.所以 n 的值为 4.6.(2018江苏高考)设an是首项为 a1,公差为 d 的等差数列,bn是首项为 b1,公比为 q 的等比数列.(1)设 a1=0,b1=1,q=2,若|an-bn|b1对 n=1,2,3,4 均成立,求 d 的取值范围.(2)若 a1=b10,mN*,q(1,证明:存在 dR,使得|an-bn|b1对 n=2,3,m+1 均成立,并求 d 的取值范围(用 b1,m,q 表示).【解析】(1)由条件知:an=(n-1)d,bn=2n-1.因为|
19、an-bn|b1对 n=1,2,3,4 均成立,即|(n-1)d-2n-1|1 对 n=1,2,3,4 均成立,即 11,1d3,32d5,73d9,得d.因此,d 的取值范围为.(2)由条件知:an=b1+(n-1)d,bn=b1qn-1.若存在 d,使得|an-bn|b1(n=2,3,m+1)成立,即|b1+(n-1)d-b1qn-1|b1(n=2,3,m+1),即当 n=2,3,m+1 时,d 满足 b1db1.因为 q(1,则 10,对 n=2,3,m+1 均成立.因此,取 d=0 时,|an-bn|b1对 n=2,3,m+1 均成立.下面讨论数列的最大值和数列的最小值(n=2,3,m+1).当 2nm 时,-=,当 10.因此,当 2nm+1 时,数列单调递增,故数列的最大值为.设 f(x)=2x(1-x),当 x0 时,f(x)=(ln2-1-xln2)2x0,所以 f(x)单调递减,从而 f(x)f(0)=1.当 2nm 时,=f100 且该数列的前 N 项和为 2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）A440 B330 C220 D110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：则该数列的前项和为，要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和，设，所以，则，此时，所以对应满足条件的最小整数，故选 A.