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1、 解决球问题的四大策略 The pony was revised in January 2021 解决球问题的四大策略 浙江 曾安雄 一、突出球心 球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决 例 1（2004 年全国高考卷四川、吉林等地）已知球O的半径为 1，A BC，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为2，则球心O到平面ABC的距离为（）13 33 23 63 分析：突出球心O即可由于三点A BC，在球面上，且每两点间的球面距离相等故可构造正三棱锥求解 解：球心O与A B
2、C，三点构成正三棱锥OABC，如图所示，已知1OAOBOCR，90AOBBOCAOC ，由此可得AO 面BOC 12BOCS，32ABCS 由A BOCO ABCVV，得33h 故选（）评注：解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系 二、展示大圆 因为大圆的半径就是球的半径，所以我们可以把球的问题转化为圆的问题，使空间问题 平面化 例 2（2004 年全国高考卷陕西、广西等地）用平面截半径的为R的球，如果球心到平面的距离为2R，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为 分析：只要画出截面及球的大圆，利用R及r的数量关系，即可求出小圆的半径r 解：作出球的大圆截面图，如图所示，易得32
3、rR故得316SS小球表 评注：展示大圆的特征图是将空间问题平面化的重要途径对于球问题通常要抓住其特征Rt（即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形）来解决 三、巧作截面 解与球有关的截面问题通常要作出轴截面，即通过大圆的截面 例 3（2004 年全国高考江苏卷）一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面，球心到这个 平面的距离是 4cm，则该球的体积是（）3100cm3 3208cm3 3500cm3 3416 13cm3 分析：作过大圆的截面，则问题可迎刃而解 解：画出截面图，作图所示，知球的半径5R，求得5003V球，故选（）评注：解有关球的表面积和体积问题，最关键是画出截面图，转化为平面几何问题求出球半径R 四、掌握规律 在解决球问题时，除了以上几种方法外，还应掌握一定的规律如长方体的外接规律：长方体的外接球直径2R恰为其对角线长为222abc，即2222Rabc特别地，正方体的外接球直径2R恰为其对角线长3a，即23Ra 例 4（2001 年北京春季高考题）已知球内接正方体的表面积为S，那么球的体积等 于 解：设正方体的边长为a，则有26aS 又由性质有22(2)3Ra，故有8SR 由此求得342324SSVR球