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1、 1 2020 高考数学选填题专项测试 01（球）（文理通用）第 I 卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2019湖南长沙一中高三月考（文）某球中内接一个圆柱，其俯视图如图所示，为两个同心圆，半径之比为 1:2，则该圆柱与球的体积的比值为（）A18 B3 316 C316 D38【答案】B【解析】【分析】根据球和圆柱的半径求出球心到圆柱底面的距离，从而得出圆柱的高，再由圆柱的体积公式以及球的体积公式求解即可.【详解】设该圆柱和球的半径分别为,r R，则2Rr，球心到圆柱底面的距离为223Rrr，即该
2、圆柱的高为2 3r，则该圆柱与球的体积的比值为 3242 3:23 3:163rrr，故选：B【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式以及球的体积公式，属于基础题.2（2020宁夏银川一中高三月考（理）已知正四面体ABCD的棱长为3，则其外接球的体积为（）A83 B9 28 C8 29 D92【答案】B【解析】【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的体积.【详解】将正四面体11BACD放在正方体1111ABCDABC D中如图所示，正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为x，由于13AB，即323,2xx，所以正方体的外接球半径为 2 133332222
3、 2x，所以外接球的体积为3439 2382 2.故选：B 【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的求法，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.3（2020山西高三月考（文）在三棱锥PABC中，PA 平面ABC，2PAAB，30ACB，则三棱锥PABC外接球的表面积为_.A10 B20 C15 D40【答案】B【解析】【分析】先用正弦定理求出ABC外接圆的半径r，然后利用222()2PARr求出三棱锥PABC外接球的半径R，即可算出表面积.【详解】设ABC外接圆的半径为r，则4sin2ABA BrC，2r，设三棱锥PABC外接球的半径为R，则222()52PAR
4、r，故外接球的表面积2420SR.故答案为：20【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的表面积，其中根据几何体的结构特征和球的性质，求得三棱锥的外接球的半径是解题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力.4（2019广东高三月考（文）如图，已知球O是棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D的内切球，则平面1ACD截球O的截面面积为（）3 A3 B8 C6 D4 【答案】C【解析】由题意可知：截面是MNP的外接圆，而MNP是边长为22的等边三角形，所以外接圆02222sin603r，则66r，所以226()66Sr.5（2019湖南长沙一中高三月考（文）已知某几何体的三视图如图所示，
5、则该几何体的外接球表面积为 A3 B412 C316 D414【答案】D【解析】【分析】首先根据三视图还原其直观图，再根据直观图找到四棱锥外接球的球心，计算球体的半径和表面积即可.【详解】该几何体是一个四棱锥，其底面是边长为2的正方形，右侧面是腰长为5的等腰三角形，且垂直于底面，由此可得四棱锥的高为2.4 设O为球心，1O为ABC的外心，M底面的中心，D为BC的中点，因为5AB，1BD，所以5 14AD ，2 5sin5ABC，设ABC外接圆的半径为r，得到52255r，154rAO.又因为11MDOO，所以225411()416R.24144SR.故答案为：414【点睛】本题主要考查四棱锥的
6、外接球，同时考查了三视图，将三视图还原其直观图为解题的关键，属于中档题.6.（2020江西高三（理）已知正三棱柱111ABCABC的侧面积为 12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC与1BC所成角的余弦值等于()A514 B513 C56 D314【答案】A【解析】【分析】设正三棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为R，先得出4ah，然后2224433hahRr，即32ah时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出1cosDBC【详解】设正三棱柱的底面边长为a，高为h，球的半径为R，由题意知312ah，即4ah，底面外接圆半径32sin3aar，由球的截面圆性质知222443
7、3hahRr，当且仅当32ah时取等号，将三棱柱补成一四棱柱，如图，知11/ACDB，即1DB C为异面直线1AC与1BC所成角或补角，2211BCDBah，3DCa，所以222122235cos142ahaDB Cah.5 【点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.7（2020广东高三期末（理）已知三棱锥PABC的底面是正三角形，3PA，点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心，当三棱锥PABC体积最大值时，三棱锥PABC的外接球的体积为（）A9 32 B6 3 C6 D92【答案】D【解析】【分析】设点O是点P在底面ABC的射影,先分析可得O是底面ABC的垂心,也是外心
8、,则3PAPBPC,则当,PA PB PC互相垂直时体积最大,再求得外接球的体积即可【详解】设点D为BC的中点,则ADBC,因为点A在侧面PBC内的射影H是PBC的垂心,所以PABC,PCAB,设点O是点P在底面ABC的射影,则BC 平面PAD,所以O一定在AD上,因为ABPC,ABPO,所以COAB,所以O是底面ABC的垂心,也是外心,所以3PAPBPC,则当,PA PB PC互相垂直时体积最大,设球的半径为R,则22223RPAPBPC,所以32R,所以球的体积为3344393322VR，故选:D【点睛】本题考查棱锥的外接球体积,考查空间想象能力 8.（2020安徽六安一中高三月考（理）在
9、四棱锥ABCDE中，ABC是边长为 6 的正三角形，BCDE是正方形，平面ABC 平面BCDE，则该四棱锥的外接球的体积为（）A21 21 B84 C7 21 D28 21【答案】D【解析】【分析】取 BC 的中点为M，,N F分别是正三角形 ABC 的中心和正方形 BCDE 的中心，根据已知条件可 6 得MF平面 ABC，AM平面 BCDE，过,N F分别做,MF AM的平行线交于O，则O为球心，求出ON，即可求出外接球的半径，即可求解.【详解】取 BC 的中点为M，N是正三角形 ABC 的中心,F为正方形 BCDE 的中心，连接,AM FM,则有MFBC，AMBC，平面ABC 平面BCDE
10、，平面ABC平面BCDE=BC，MF平面 ABC，AM平面 BCDE，过,N F分别做1/lMF，2/lAM，则1l平面 ABC，2l平面 BCDE，12,l l交于O，则O为球心，/,/OFMN ONMF，MNMF所以四边形OFMN为矩形，3ONMF，222222 3,3(2 3)213ANAMOAONAN所以外接球的体积为34(21)28 213.故选:D.【点睛】本题考查多面体与球的“接”“切”问题，解题的关键是根据球的性质确定球心，考查空间想象能力，属于中档题.9.（2020山东高三期末）用一个体积为36的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（）A9
11、32 B6 3 C18 D27【答案】D【解析】【分析】画出正三棱柱111ABCABC内接于球O的直观图，设底面边长11ABx，由球的体积公式得3R，再由勾股定理得正三棱柱的2122 93xhOO，代入体积公式VS h，利用基本不等式可求得max27V。【详解】如图所示，正三棱柱111ABCABC内接于球O的直观图，1O为底面111ABC的中心，因为 7 343633RVR球。设底面边长11ABx，则2122 93xhOO，222221332 96(9)2722326 63xx xxVS hx正三棱柱，等号成立当且仅当2293 263xxx，故选 D.【点睛】本题以实际问题为背景，本质考查正三
12、棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁。10.（2019广东深圳中学高三月考（文）如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（）A112 B11 116 C11 D12【答案】B【解析】【分析】由三视图画出三棱锥的空间立体图形，利用球的性质找出球心的位置，再计算体积即可.【详解】由三视图画出三棱锥PABC如图所示，过点P做平面ABC的垂线，交BA的延长线于点Q，由三视图知，1PQQAABBC，ABBC，因为ABC是等腰直角三角形，所以ABC的外接圆圆心为
13、AC的中点M，所以MAMBMC，设三棱锥PABC外接球球心为O，则OM 平面ABC，所以OMAC，所以OAOBOCR，只需让OPOC即可，作QNPQ且交PQ于点N，8 由图222222OPNPNOOMMCOC，设OMNQx，即222221321222xx ，解得，32x，所以外接球半径223211222R，所以外接球体积3411 1136VR.【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体和求棱锥的外接球体积，考查学生的分析转化能力和空间想象能力，属于中档题.11.（2019安徽淮北一中高三月考（理）在三棱锥 A-BCD 中，平面 ABC 丄平面 ADC,AD 丄 AC,AD=AC,3ABC，若此三棱
14、锥的外接球表面积为28，则三棱锥 A-BCD 体积的最大值为（）A7 B12 C6 D5 33【答案】C【解析】【分析】设三棱锥 ABCD 外接球的半径为 R，三棱锥的外接球球心为 O，ABC 的外心为 O1，ABC 的外接圆半径为 r，取 DC 的中点为 O2，过 O2作 O2EAC，则 OO1平面 ABC，OO2平面 ADC，连结 OA，O1A，则 O1Ar，设 ADACb，则 OO1O2E12b，由 S4R228，解得 R7，由正弦正理求出b3r，若三棱锥 ABCD 的体积最大，则只需ABC 的面积最大，由此能求出三棱锥 ABCD 的体积的最大值【详解】根据题意，设三棱锥 ABCD 外接
15、球的半径为 R，三棱锥的外接球球心为 O，ABC 的外心为 O1，ABC 的外接圆半径为 r，取 DC 的中点为 O2，过 O2作 O2EAC，则 OO1平面 ABC，OO2平面 ADC，如图，连结 OA，O1A，则 O1Ar，设 ADACb，则 OO1O2E12b，由 S4R228，解得 R7，在ABC 中，由正弦正理得 2rACsin ABC，2r3bsin，解得 b3r，在 RtOAO1中，7r2+（12b）9 2，解得 r2，b23，AC23，若三棱锥 ABCD 的体积最大，则只需ABC 的面积最大，在ABC 中，AC2AB2+BC22ABBCcosABC，12AB2+BC2ABBC2
16、ABBCABBC，解得 ABBC12，11312222ABCSAB BC sin ABC33，三棱锥 ABCD 的体积的最大值：113 32 333D ABCABCVSAD6故选：C 【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12.（2020四川高三月考（理）在三棱柱111ABCABC中，1AA 上平面ABC,记ABC和四边形11ACC A的外接圆圆心分别为12,O O,若2AC,且三棱柱外接球体积为323,则2212O AO A的值为（）A83 B3 C113 D5【答案】D【解析】【分析】如图，设三棱柱的外接球
17、的球心为 O,连接1,OO OA.设三棱柱的高为 h，外接球的半径为 R,先求出 R,再求2212O AO A的值.【详解】如图，设三棱柱的外接球的球心为 O,连接1,OO OA.设三棱柱的高为 h，外接球的半径为 R,由题得3432,233RR在直角三角形1OAO中，222222114()=424hhOARO AO A，在直角三角形1CAA中，222222422,4hhOAOA,所以2212=5O AO A.故选：D 10【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.第 II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把
18、答案填在题中的横线上。13.（2020四川省泸县第一中学高三月考（文）三棱锥SABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形，SA面ABC，2SA,则三棱锥SABC外接球的表面积是_.【答案】283【解析】由题意可知三棱锥外接球，即为以ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球ABC是边长为2的正三角形ABC的外接圆半径2 33r，球心到ABC的外接圆圆心的距离为1，球的半径为213 外接球的表面积为283，故答案为283 点睛：本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用22224Rabc（,a b c为
19、三棱的长）；若SA面ABC（SAa），则22244Rra（r为ABC外接圆半径）；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.14.（2020山东高三期末）在直三棱柱111ABCABC中，90BAC且3AB,14BB，设其外接球的球心为O，且球O的表面积为28，则ABC的面积为_.【答案】3 32【解析】【分析】先计算球的半径为7，确定球心为HG的中点，根据边角关系得到3AC，计算面积得到答案.【详解】球O的表面积为24287RR，如图所示：,H G为11,BC BC中点，连接HG 90BAC，故三角形的外心在BC中点上，故外接球的球心为HG的中点.，在Rt OGC中：112,
20、72OGBBOCR，故3CG；在Rt ABC中：22 3BCCG，3AB，故3AC，11 故3 32ABCS，故答案为：3 32 【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.15.（2020河南高三期末（理）在矩形 ABCD 中，BC4，M 为 BC 的中点，将ABM 和DCM 分别沿 AM，DM 翻折，使点 B 与 C 重合于点 P.若APD150，则三棱锥 MPAD 的外接球的表面积为_.【答案】68【解析】【分析】计算ADP 外接圆的半径r并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据 PM面 PAD，2222PMRr，可得结果.【详解】
21、由 MPPA，MPPD，PMPAP，PM，PA平面 PAD 所以可得 PM面 PAD，设ADP 外接圆的半径为r，由正弦定理可得sinADAPD2r，即42sin150r，所以4r，设三棱锥 MPAD 外接球的半径 R，外接球的球心在过ADP 外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，则2221 16 172PMRr 所以外接球的表面积为2468SR，答案为：68【点睛】本题考查的是三棱锥的外接球的应用，属中档题.16.（2020河北衡水中学高三月考（理）在边长为2 3的菱形ABCD中，60A，沿对角线BD折起，使二面角A BD C的大小为120，这时点,A B C D在同一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】28【解析】【分析】取BD的中点E,连接AE、CE，可知外接球的球心在面AEC中，再作OGCE，分别求出OG与CG的长度后即可得解.【详解】12 如图 1，取BD的中点E,连接AE、CE，由已知易知面AEC 面BCD，则外接球的球心在面AEC中.由二面角A BD C的大小为120可知120AEC.在面AEC中，设球心为O，作OGCE，连接OE，易知O在面BCD上的投影即为G，OE平分AEC，G为BCD的中心，22CGGE，tan603OGGE，227OCGCGO，2=47=28S球.故答案为：28【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.