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1、 专题 8.2 空间几何体的表面积与积 1.（吉林省四平一中 2019 届期末）一个球的表面积是 16，那么这个球的体积为()A.163 B.323 C.16 D.24【答案】B【解析】设球的半径为 R，则 S4R216，解得 R2，则球的体积 V43R3323.2.（湖北省荆门一中 2019 届期中）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62
2、 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有()A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【答案】B【解析】设米堆的底面半径为 r 尺，则2r8，所以 r16.所以米堆的体积为 V1413r251216253209(立方尺).故堆放的米约有32091.6222(斛).3.（浙江省衢州一中 2019 届期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是()A.7 B.152 C.233 D.476【答案】D【解析】由三视图可知，该几何体是正方体去掉一个三棱锥，正方体的棱长为 2，三棱锥的三个侧棱长为 1，则该几何体的体积 V231312111816476.4.（福建省厦门一中 20
3、19 届期中）榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式.我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构.图中网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积与表面积分别为()A.2452，3452 B.2452，3654 C.2454，3654 D.2454，3452【答案】C【解析】由三视图可知，这榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积 V4233262454，表面积 S2322364322235436.5.（广东省珠海一中 2019 届期末）一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视
4、图都是边长为10 cm 的正方形，将该材料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近()A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm【答案】A 【解析】由题意，知该硬质材料为三棱柱(底面为等腰直角三角形)，所以最大球的半径等于侧视图直角三角形内切圆的半径，设为 r cm，则 10r10r10 2.r105 23(cm).6.（安徽省铜陵一中 2019 届调研）现有橡皮泥制作的底面半径为 5、高为 4 的圆锥和底面半径为 2、高为 8 的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_.【答案】7【解析】设新的底面半径
5、为 r，由题意得13r24r2813524228，解得 r 7.7.（一中 2019 届期末）如图，三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 1，P 为侧棱 B1B 上的一点，则四棱锥 PACC1A1的体积为_.【答案】23【解析】设点 P 到平面 ABC、平面 A1B1C1的距离分别为 h1，h2，则棱柱的高为 hh1h2，又记 SSABCSA1B1C1，则三棱柱的体积为 VSh1.而从三棱柱中去掉四棱锥 PACC1A1的剩余体积为 VVPABCVPA1B1C113Sh113Sh213S(h1h2)13，从而 VPACC1A1VV11323.8.（江西省九江一中 2019 届质检）如图是一个几何体
6、的三视图，其中正视图和侧视图均是高为 2，底边长为 2 2的等腰三角形，俯视图是边长为 2 的正方形，则该几何体的外接球的体积是_.【答案】4 3【解析】如图所示，由三视图可得该几何体是三棱锥 ABCD，其中点 A，B，C，D 均是该三棱锥所在长方体的棱的中点，ABCD2 2，长方体的高为 2，易得该三棱锥的外接球的半径 R12（2）2 3，因此该三棱锥的外接球的体积为4R334 3.9.（山东省东营一中 2019 届期末）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥 PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱 ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高 O1O是正
7、四棱锥的高 PO1的 4 倍，若 AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？【解析】由 PO12 m，知 O1O4PO18 m.因为 A1B1AB6 m，所以正四棱锥 PA1B1C1D1的体积V锥13A1B21PO11362224(m3)；正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积 VV锥V柱24288312(m3).故仓库的容积是 312 m3.10.（四川省自贡一中 2019 届期中）如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点 E，F 的平面
8、与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.【解析】(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示.(2)如图，作 EMAB，垂足为 M，则 AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EHEFBC10.于是 MH EH2EM26，AH10，HB6.故 S 四边形 A1EHA12(410)856，S 四边形 EB1BH12(126)872.因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为9779也正确.11（贵州贵阳一中 2019 届高三模拟）圆柱的底面
9、积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是()A4S B2S CS D.2 33S【答案】A【解析】由 r2S 得圆柱的底面半径是S，故侧面展开图的边长为 2S2 S，所以圆柱的侧面积是 4S，故选 A.12（湖南长沙一中 2019 届高三质检）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A.112 B.94 C.92 D3【答案】D【解析】如图，三棱锥 P-ABC 为三视图所对应几何体的直观图，由三视图可知，SABC12233，点 P 到平面 ABC 的距离 h3，则 VP-ABC13SABCh13333，故选 D.13（北京人大附中 2
10、019 届高三模拟）古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为()A63 B72 C79 D99【答案】A【解析】由三视图得，凿去部分是一个半球与一个圆柱的组合体，其中半球的半径为 3，体积为12433318，圆柱的底面半径为 3，高为 5，体积为 32545.所以凿去部分的体积为 184563.故选 A。14（天津耀华中学 2019 届高三调研）已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为()A14 B32 C24 D4 【答案】D【
11、解析】由题设知，该几何体是棱长为 1 的正方体被截去底面半径为 1 的14圆柱后得到的，如图所示，所以表面积 S2(111412)2(11)142114.故选 D.15（河北衡水中学 2019 届高三模拟）已知圆锥的高为 3，底面半径为 3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A.83 B.323 C16 D32【答案】B【解析】设该圆锥的外接球的半径为 R，依题意得，R2(3R)2(3)2，解得 R2，所以所求球的体积 V43R34323323，故选 B。16.（山西省实验中学 2019 届高三质检）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.
12、36 B.66 C.312 D.12【答案】A【解析】由三视图还原几何体如图，该几何体为组合体，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，则其体积 V1413324131233436.故选 A.17.（内蒙古师大附中 2019 届高三模拟）用长度分别为 2，3，5，6，9(单位：cm)的五根木棒连接(只允许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为()A.258 cm2 B.414 cm2 C.416 cm2 D.418 cm2【答案】C【解析】设长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 a，b，c，则长方体的表面积 S2(abbcac)12(ab)2(bc
13、)2(ac)2，当且仅当 abc 时上式“”成立.由题意可知，a，b，c，不可能相等，故当 a，b，c 的大小最接近时，长方体的表面积最大，此时从同一顶点出发的三条棱的长为 8，8，9，用长度为 2，6 的木棒连接，长度为 3，5 的木棒连接各为一条棱，长度为 9 的木棒为第三条棱，组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为 2(888989)416(cm2).18（辽宁省实验中学 2019 届高三模拟）如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A.34 B.2 C.32 D.94【答案】C【解析】正方体的表面被
14、该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 32432.故选 C.19（吉林省吉林一中 2019 届高三调研）三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是边长为 3的正三角形，侧棱 AA1底面 ABC，若球 O 与三棱柱 ABC-A1B1C1各侧面、底面均相切，则侧棱 AA1的长为()A.12 B.32 C1 D.3【答案】C【解析】因为球 O 与直三棱柱的侧面、底面均相切，所以侧棱 AA1的长等于球的直径，设球的半径为R，则球心在底面上的射影是底面正三角形 ABC 的中心，如图所示因为 AC 3，所以 AD12AC32.
15、因为 tan 6MDAD，所以球的半径 RMDADtan 6323312，所以 AA12R2121.20（黑龙江哈尔滨师大附中 2019 届高三模拟）已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为 45.若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_【答案】40 2【解析】如图所示，设 S 在底面的射影为 S，连接 AS，SS.SAB 的面积为12SASBsinASB12SA21cos2ASB1516SA25 15，所以 SA280，SA4 5.因为 SA 与底面所成的角为 45，所以SAS45，ASSAcos 454 5222 10.所以底面周长
16、l2AS4 10，所以圆锥的侧面积为124 54 1040 2.1.【2019 年高考北京卷】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示如果网格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的体积为_ 【答案】40【解析】如图所示，在棱长为 4 的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD ANQC B之后余下的几何体，则几何体的体积314242 4402V .2.【2019 年高考全国卷】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90，则球 O 的体积为()A68
17、B64 C62 D6【答案】D【解析】解法一：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正三棱锥，PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EFPB，EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC，2APBPAPBPC，PABC为正方体的一部分，22226R，即36446 6,62338RVR，故选 D。解法二：设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB的中点，EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为 2 的等边三角形，3CF，又90CEF，213,2CExAEPAx，AEC中，由余弦定理可得2243cos2 2xxEACx，作PDAC于D，PAPC，
18、D为AC的中点，1cos2ADEACPAx，2243142xxxx，221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两垂直，22226R，62R，3446 66338VR，故选 D.3.【2019 年高考天津卷】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_【答案】4【解析】由题意，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5，借助勾股定理，可知四棱锥的高为5 12.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱
19、的高为1，圆柱的底面半径为12，故圆柱的体积为21124.4.【2019 年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCDABC D的体积是 120，E 为1CC的中点，则三棱锥EBCD 的体积是 .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCDABC D的体积为 120，所以1120AB BC CC，因为E为1CC的中点，所以112CECC，由长方体的性质知1CC 底面ABCD，所以CE是三棱锥EBCD的底面BCD上的高，所以三棱锥EBCD的体积1132VAB BC CE111111201032212AB BCCC.5.(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 所成角的余弦值为78
20、，SA 与圆锥底面所成角为 45，若SAB 的面积为 5 15，则该圆锥的侧面积为_ 【答案】40 2【解析】如图，SA 与底面成 45角，SAO 为等腰直角三角形 设 OAr，则 SOr，SASB 2r.在SAB 中，cos ASB78，sin ASB158，SSAB12SASBsin ASB 12(2r)21585 15，解得 r2 10，SA 2r4 5，即母线长 l4 5，S圆锥侧rl2 104 540 2.6.(2018天津卷)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，除面 ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥 MEFGH 的体积
21、为_.【答案】112【解析】连接 AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为 E，H 分别为 AD1，CD1的中点，所以 EHAC，EH12AC.因为 F，G 分别为 B1A，B1C 的中点，所以 FGAC，FG12AC.所以 EHFG，EHFG，所以四边形 EHGF 为平行四边形，又 EGHF，EHHG，所以四边形 EHGF 为正方形.又点 M 到平面 EHGF 的距离为12，所以四棱锥 MEFGH 的体积为1322212112.7.(2018浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A2 B4 C6 D8【答案】C【解析】(1)根据三视图可得几何
22、体为一个直四棱柱，高为 2，底面为直角梯形，上下底分别为 1,2，梯形的高为 2，因此几何体的体积为12(12)226.故选 C.8.(2018浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为_.【答案】6 【解析】由三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形的直四棱柱，所以该几何体的体积 V12(12)226.9.(2018天津高考)如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1-BB1D1D 的体积为_ 【答案】13【解析】连接 BD1，则四棱锥 A1-BB1D1D 分成两个三棱锥 B-A1DD1与 B-A1B1D1，所以 VA1-BB1D1DVB-A1DD1VB-A1B1D11312111131211113.10.(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A.B.34 C.2 D.4【答案】B【解析】如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 ROA1，球心到底面圆的距离为 OM12.底面圆半径 r OA2OM232，故圆柱体积 Vr2h322134.