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1、卫星椭圆轨道问题探析 通过对万有引力知识的学习，我们知道，发射卫星的最小速度是gR（又称第一宇宙速度），此时卫星以最大速度绕地球表面作圆周运动；当发射速度达gR2时（又称第二宇宙速度），卫星以地球球心为焦点作抛物线运动，当然再也不可能返回地球，因为抛物线为非闭合曲线；当发射速度介于gR和gR2之间时，卫星作椭圆运动，并随发射速度的增大椭圆越扁，地球为椭圆的一个焦点，发射点为近地点；当卫星速度大于gR2而小于第三宇宙速度时，它将在地球引力范围内作双曲线运动，当卫星脱离地球引力后，将绕太阳运动成为太阳的一个行星，如果控制发射速度和轨道，它也可成为其它行星的卫星；当发射速度大于第三宇宙速度时，卫星将
2、脱离太阳系的束缚，向其他星系运动。对于圆轨道，由于卫星受到的万有引力刚好提供卫星运动的向心力，因此可方便地可以求解出卫星在圆轨道上运动的速度、加速度、周期等物理量。但对于椭圆轨道，相对来说求解某些问题有一定的困难，下面就卫星椭圆轨道的几个问题逐一分析说明。一、椭圆上任一点的曲率半径。根据数学知识，曲率半径由公式3222)xyry xx y （给出，为了便于求导，借助椭圆的参数方程cosxa，sinyb（a、b分别为椭圆的半长轴、半短轴），把x、y的一、二阶导数代入r表达式，有322222sincos)abrab（在远地点和近地点，参数分别取0、代入，得到在椭圆上(,0)a这两个点所在处的曲率半
3、径相同，等于2ba,不等于ac或ac，式中 c 为椭圆焦距。该知识点中的数学能力要求已超出高中要求，但是其结论有必要作适当的介绍。例题 1：某卫星沿椭圆轨道绕地球运行，近地点离地球中心的距离是c,远地点离地球中心的距离为d,若卫星在近地点的速率为cv,则卫星在远地点时的速率dv是多少 解析：做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于r。所以，在近地点时有22cvMmGmcr，在远地点时有22dvMmGmdr，上述两式相比得cdvdvc，故dccvvd。学生易错的解是：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有22cvMmGmcc，在远地点时有22dvMmGmdd，上述两
4、式相比得cdVdVc，得dccVVd，以上错误在于认为做椭圆运动的卫星，在近地点和远地点的轨道曲率半径不同，且分别为c和d，这种错误在知道了椭圆曲率半径的概念后就不会犯了。二、卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度和向心加速度。根据牛顿第二定律，卫星在椭圆轨道上运动到任何一点的加速度由公式2MmGmaR求解，式中 R 为地球球心到卫星的距离，即椭圆的一个焦点到卫星的距离。卫星在圆轨道上做匀速圆周运动时，万有引力全部用来提供向心力，这时卫星的加速度就是向心加速度，而在椭圆轨道上运动的卫星，万有引力没有全部用来提供向心力，向心加速度将不再等于卫星在轨道上运动的加速度。卫星在轨道上某点运动的向心力为
5、2nvFmr，式中r是该点所在椭圆轨道的曲率半径，向心加速度nnFam，在远地点，卫星受到地球的万有引力2GMmFGR，式中R是卫星和地球地心之间的距离。卫星此时运动所需要的向心力2nvFmr，rR，且GnFF，卫星此时的加速度等于向心加速度，即naa，卫星之后在万有引力作用下向地球靠近做向心运动，万有引力产生两个作用效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做正功，使卫星速率越来越大，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，万有引力产生的切向加速度a和法向加速度即向心加速度na之间的关系，如图 1 所示。到达近地点时，GnFF，naa，卫星之后远离地球做离心运动，万有引力同样产生两个作用
6、效果，一方面提供沿轨道切向的切向力，对卫星做负功，使卫星速率越来越小，另一方面提供向心力，不断改变卫星的运动方向，直到远地点，周而复始。在整个运动过程中，只有近地点和远地点两个位置，GnFF，naa，其他位置naa。例题 2：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3，轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，如图 2 所示。则在卫星分别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是：A、卫星在轨道 1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的加速度 B、卫星在轨道 2
7、 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道 3 上经过 P 点时的加速度 C、卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 D、卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 解析：根据牛顿第二定律可得2rGMmFa，即卫星的加速度 a 只与卫星到地心的距离r有关，所以 A 选项错误，B 选项正确。因为轨道 1 和轨道 3 是圆轨道，所以222MmvGmrmrr，所以 V=rGM，3rGM，即 D 选项正确，C 选项错误。三、卫星在椭圆轨道上运动的周期。根据开普勒第三定律，所有地球的卫星，无论轨道是圆，还是椭圆，它们运动周期的平方和半长轴的三次方之比是定值。圆形轨道的半长轴就是圆的半径。
8、例题 3：飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T，如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点 A 处将速率降低到适当值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆与地球表面在 B 点相切，地球半径为R0,如图 3 所示。求飞船由 A 点到 B 点所需的时间。解析：设飞船的椭圆轨道的半长轴为a，由图可知02RRa.设飞船沿椭圆轨道运行的周期为 T，由开普勒第三定律得：3323RaTT.飞船从 A 到 B 的时间2Tt.由以上三式求解得3300332842RRRRTTtRR（）（）P Q 1 2 3 图 2 anaa图 1 R R0 A B 图 3 四、圆规道和椭圆轨道之间的变换。根据例题 2
9、可知，在发射卫星的过程中，受运载火箭发射能力的局限，卫星往往不能直接由火箭送入最终运行的空间轨道，而是要在一个椭圆轨道上先行过渡。在地面跟踪测控网的跟踪测控下，选择合适时机向卫星上的发动机发出点火指令，通过一定的推力改变卫星的运行速度，通常要在椭圆轨道与圆轨道相切点开动发动机进行加速来实现变轨，实现发射目标。从圆轨道 1 变换到椭圆轨道 2，火箭要在轨道 1 和轨道 2 的相切点附近进行助推,让此时卫星受到的万有引力不足以提供卫星运动的向心力，卫星开始沿椭圆轨道 2 做离心运动，速率越来越小，在远地点附近卫星的速度较小，卫星所受的万有引力大于所需的向心力，卫星将做向心运动，在此时对卫星进行加速
10、，使万有引力刚好提供卫星在轨道 3 上做圆周运动的向心力，使卫星从椭圆轨道 2 变换到圆规道 3 上运行。卫星返回时，通过相反的过程回到地面。例题 4：如下图是我国“嫦娥一号”发射及绕月简图，设下图中卫星是逆时针方向运动的，阅读如下材料回答问题：2007 年 10 月 25 日 17 时 55 分，北京航天飞行控制中心对嫦娥一号卫星实施首次变轨并获得成功，首次变轨是在远地点发动机点火使卫星加速的。卫星的近地点高度由约 200 公里抬高到了约 600 公里，如图 4 所示，卫星正式进入绕地 16 小时轨道。接下来卫星在近地点处还要借助自身发动机的推动，经过三次变轨即进入绕地 24 小时轨道、绕地
11、48 小时轨道，最后进入地月转移轨道，经过漫长的运行后接近月球，在月球近月点的位置仍要借助自身的发动机的作用，使卫星的速度发生变化，被月球引力俘获后进入绕月 12 小时轨道、绕月小时轨道，最终进入绕月 127 分钟的圆形轨道，进行约一年的月球探索之旅。图 4 关于卫星在绕地由 16 小时轨道到 48 小时轨道、绕月由 12 小时轨道到 127 分钟轨道的过程中下列说法正确的是（）A、卫星绕地、绕月运行均需要向后喷气加速，才能到相应的轨道。B、卫星绕地运行需要向后喷气加速，才能到相应的轨道。C、卫星绕地、绕月运行均需要向前喷气减速，才能到相应的轨道。D、卫星绕月运行需要向前喷气减速，才能到相应的
12、轨道。解析：卫星在绕地 16 小时轨道上运行时，到达近地点处，应该是向后喷气，据反冲现象得速度增大，所需要的向心力增大，而此时地球与卫星之间的引力不变化，即向心力不足，做离心运动，“嫦娥一号”到绕地 24 小时的轨道上运行。同理到达预定时间在近地点加速到绕地48 小时轨道上运行，第四次变轨指的是最后一次在近地点加速到地月转移轨道上，这才是真正意义上的奔月。通过分析知 B 正确。卫星在绕月 12 小时轨道上运行时，到达近月点处，应该是向前喷气，据反冲现象使速度减小，所需要的向心力减小，而此时卫星所受的引力不变化，即引力大于运动物体所需要的向心力，达到此条件，物体就要离开原来的轨迹向内部做向心运动
13、，“嫦娥一号”到绕月小时的轨道上运行。同理到达预定时间在近月点减速到绕月 127 分钟轨道上圆周动，通过分析知 D正确。五、卫星在椭圆轨道上运动的机械能。卫星在轨道上运动的总机械能E等于其动能和势能之和。根据万有引力定律，地球和卫星之间的引力势能为PGMmER，式中R是地球地心和卫星之间的距离。动能212KEmv，卫星在运动过程中，不考虑其他星体对它的作用，其机械能守恒。如图 4 所示，A、B两点为卫星运动的近地点和远地点，Av、Bv分别表示卫星在这两点的速度。根据例题 1 的结论，可得.(1)ABvacvac，卫星在 A、B 两点的机械能分别为：21.(2)2AAGMmEmvac，A B b
14、 a c F 图 4 21.(3)2BBGMmEmvac,根据机械能守恒，.(4)ABEE,由（1）（2）（3）（4）式可解得2()()Aac GMvac a，2()()Bac GMvac a,把结果代入（2）和（3）式，得到卫星运动的总机械能2GMmEa。从此式可看出，在以地球为焦点的若干个椭圆轨道中，椭圆的半长轴越长，卫星的总机械能越大，发射时需要的能量就越大，因此发射高轨道卫星难度较大。以上是针对地球和地球的卫星展开讨论的，对于太阳系或其他星系中行星椭圆轨道的一些规律和上述情况类似。卫星在椭圆轨道上的速度和能量的一个推论 图 1 给出了一个圆轨道和一个椭圆轨道，其中圆轨道的半径与椭圆轨道
15、的半长轴相等。P、Q 两点为两轨道的交点。我们要说的推论是：在椭圆轨道上的卫星运动到 P 或 Q 时，其速率等于在圆轨道上运动的卫星的速率。这个命题的证明是简单的。我可以设在两个轨道上运动的卫星的质量相等而不影响研究它们的速度关系。这样一来，由于圆轨道的半径与椭圆轨道的半长轴相等，由“椭圆轨道上的卫星的速度和能量”一文得到的结论可知，两物体在各自的轨道上运动过程中机械能守恒且二者的机械能相等。当椭圆轨道上的卫星运动到 P 点或 Q 点时，二者具有相同的重力势能，因而具有相同的动能，从而得到具有相同的速率。当椭圆轨道上的卫星运动到P或Q时，有ar。由上面的结果可以知道，此时aGMv，P Q 图
16、1 这正是半径为 a 的圆轨道上的卫星的运行速率。至此，我们证明了前面提到的推论。我们可以把结论用文字表述为（如图 1 所示）当卫星在 P、Q 左边半个椭圆轨道上运动时，由于ar，所以有aGMv，即大于在圆轨道上运动的卫星的速度。当卫星经过 P、Q 点时，由于有由于ar，所以有aGMv，即等于在圆轨道上运动的卫星的速度。当卫星在 P、Q 右边半个椭圆轨道上运动时，由于ar，所以有aGMv，即小于在圆轨道上运动的卫星的速度。我们还可以变形为 rraaGMv2 上式中出现的ra 2是卫星到椭圆另一焦点的距离，如图2 所示，我们用 r来表示，有 rraGMv （9）一方面，用（9）式分析上面得到的三个结论将更加容易，另一方面，这个公式还表现出了漂亮的对称性。如图 2 所示，过长轴和短轴的直线是椭圆的两条对称轴，有 在关于长轴对称的两个点上，必有 rr，速率相等；在关于短轴对称的两个点上，必有aGMvv21。r r 图 2